Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Zwölfte Vorlesung.

Hätte man für die Auflösung einer gleichung a x + b x₁ = 0 an-
statt des vollen Schemas x = b x₁ + a₁ x₁ das verkürzte: x = a₁ x —
vergl. unser Hülfstheorem — benutzt, so würden sich die ebenfalls
richtigen aber weniger einfachen Formeln als Lösung des Problems
ergeben haben:

x = α (β γ_1 + β_1 γ),	x_1 = α_1 + β γ + β_1 γ_1,
y = β (γ α_1 + γ_1 α),	etc.
z = γ (α β_1 + α_1 β),

Man ersieht hieraus, dass das Problem der symmetrisch allgemeinen
Darstellung eines Systems von Unbekannten nicht nur auf verschiedene
Weisen, sondern auch in verschiedener Weise lösbar ist.

Aufgabe 7. Die Gleichung
x y₁ z₁ + y z₁ x₁ + z x₁ y₁ = 0,
welche nur die letzten drei Glieder der vorigen enthält, symmctrisch
allgemein zu lösen.

Auflösung. Systematisch ergibt sich:
x = α (β + γ) + α₁ (β γ₁ + β₁ γ) = (β + γ) (α + β₁ + γ₁) =
= α β γ + β γ₁ + β₁ γ,
wozu x₁ = α₁ β γ + β₁ γ₁
gehört, und so weiter — x, y, z nebst α, β, γ cyklisch (im Ringe her-
um) vertauscht.

Die Lösungen sind richtige, aber nicht die einfachst möglichen.
Bessere ergeben sich hier merkwürdigerweise, indem man anstatt des
„vollen“ Schema's das „gekürzte“ in Anwendung bringt. So kommt:

x = α (β + γ),	x_1 = α_1 + β_1 γ_1,
y = β (γ + α),	etc.
z = γ (α + β),

als eine schon beträchtlich einfachere unter den möglichen Lösungen
der Aufgabe. Man mache hier die Probe und überzeuge sich, dass
mittelst der Annahme α = x, β = y, γ = z die Lösungen auch jedes
gewünschte die Data erfüllende System von Wurzelwerten zu liefern
im stande sind; Elimination von α, β, γ führt blos auf die obige
Gleichung.

Aufgabe 8. Die Gleichung
x y z + x₁ y z + y₁ z x + z₁ x y = 0
nach x, y, z symmetrisch allgemein zu lösen.