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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.
sich selbst und durch die übrigen Unbekannten linear und eindeutig
ausdrücken.

Thun wir dies für jede Unbekannte, so erhalten wir ein System
von Gleichungen, deren jede mit der ursprünglichen vereinigten Gleichung
äquivalent ist (und je für eine Unbekannte einen Ausdruck angibt).

Jede Vertauschung von Symbolen, welche die ursprüngliche Glei-
chung in sich selbst verwandelt, muss darum auch bei dem System
dieser aus ihr gezogenen Folgerungen zulässig sein, dasselbe in sich
selbst verwandeln.

In unsern Darstellungen für die Unbekannten kommen nun freilich
rechterhand neben den Koeffizienten der vereinigten Gleichung auch
diese Unbekannten selbst wieder vor. Ersetzt man aber (blos rechter-
hand) jede einzelne von diesen letztern durchweg durch einen besondern
nunmehr unbestimmt zu lassenden Parameter oder griechischen Buch-
staben, so wird man ein allgemeineres System von Darstellungen für
die Unbekannten erhalten, welches jedenfalls fähig ist, ein jedes be-
sondere System von Wurzelwerten (für gewisse Parameterwerte) dar-
zustellen, welches (m. a. W.) alle Wurzelsysteme notwendig mitumfasst
oder in sich begreift.

Ausserdem wird dieses System von Gleichungen unfehlbar die An-
forderungen der Symmetrie auch erfüllen. Wenn nämlich vor der Er-
setzung durch die griechischen Buchstaben eine Gleichung des Systems
aus einer andern hervorging durch eine vielleicht zwischen den Koef-
fizienten und jedenfalls auch zwischen den Unbekannten der vereinigten
Gleichung vorgenommene Vertauschung, so muss das gleiche auch
nach jener Ersetzung noch der Fall sein sobald man nur mit der Ver-
tauschung eben der Unbekannten auch die entsprechende zwischen den
für sie eingesetzten griechischen Parametern parallel gehen lässt.

Also die Anforderung der Allgemeinheit und die Anforderung der
Symmetrie erfüllen bereits die so gewonnenen Darstellungen für die
Unbekannten. Um sie als "symmetrisch allgemeine Lösungen" der
vereinigten Gleichung hinstellen zu dürfen, müssen wir nur noch zu-
sehen, ob sie auch Lösungen derselben sind, ob sie als Wurzeln die-
selbe erfüllen schon bei beliebig gelassenen Parameterwerten. Zu dem
Ende ist nunmehr die Probe zu machen; die Ausdrücke sind für die
Unbekannten in die vereinigte Gleichung einzusetzen.

Nicht selten, wie gesagt, stimmt diese Probe: es resultirt aus der
Substitution der Ausdrücke, die wir dann als die "Wurzeln" bezeichnen
dürfen, eine von den Parametern analytisch erfüllte Identität; man ist
schon mit dem einen geschilderten als dem ersten Schritt der Methode
am Ziele.

§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.
sich selbst und durch die übrigen Unbekannten linear und eindeutig
ausdrücken.

Thun wir dies für jede Unbekannte, so erhalten wir ein System
von Gleichungen, deren jede mit der ursprünglichen vereinigten Gleichung
äquivalent ist (und je für eine Unbekannte einen Ausdruck angibt).

Jede Vertauschung von Symbolen, welche die ursprüngliche Glei-
chung in sich selbst verwandelt, muss darum auch bei dem System
dieser aus ihr gezogenen Folgerungen zulässig sein, dasselbe in sich
selbst verwandeln.

In unsern Darstellungen für die Unbekannten kommen nun freilich
rechterhand neben den Koeffizienten der vereinigten Gleichung auch
diese Unbekannten selbst wieder vor. Ersetzt man aber (blos rechter-
hand) jede einzelne von diesen letztern durchweg durch einen besondern
nunmehr unbestimmt zu lassenden Parameter oder griechischen Buch-
staben, so wird man ein allgemeineres System von Darstellungen für
die Unbekannten erhalten, welches jedenfalls fähig ist, ein jedes be-
sondere System von Wurzelwerten (für gewisse Parameterwerte) dar-
zustellen, welches (m. a. W.) alle Wurzelsysteme notwendig mitumfasst
oder in sich begreift.

Ausserdem wird dieses System von Gleichungen unfehlbar die An-
forderungen der Symmetrie auch erfüllen. Wenn nämlich vor der Er-
setzung durch die griechischen Buchstaben eine Gleichung des Systems
aus einer andern hervorging durch eine vielleicht zwischen den Koef-
fizienten und jedenfalls auch zwischen den Unbekannten der vereinigten
Gleichung vorgenommene Vertauschung, so muss das gleiche auch
nach jener Ersetzung noch der Fall sein sobald man nur mit der Ver-
tauschung eben der Unbekannten auch die entsprechende zwischen den
für sie eingesetzten griechischen Parametern parallel gehen lässt.

Also die Anforderung der Allgemeinheit und die Anforderung der
Symmetrie erfüllen bereits die so gewonnenen Darstellungen für die
Unbekannten. Um sie als „symmetrisch allgemeine Lösungen“ der
vereinigten Gleichung hinstellen zu dürfen, müssen wir nur noch zu-
sehen, ob sie auch Lösungen derselben sind, ob sie als Wurzeln die-
selbe erfüllen schon bei beliebig gelassenen Parameterwerten. Zu dem
Ende ist nunmehr die Probe zu machen; die Ausdrücke sind für die
Unbekannten in die vereinigte Gleichung einzusetzen.

Nicht selten, wie gesagt, stimmt diese Probe: es resultirt aus der
Substitution der Ausdrücke, die wir dann als die „Wurzeln“ bezeichnen
dürfen, eine von den Parametern analytisch erfüllte Identität; man ist
schon mit dem einen geschilderten als dem ersten Schritt der Methode
am Ziele.

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[503/0523] § 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen. sich selbst und durch die übrigen Unbekannten linear und eindeutig ausdrücken. Thun wir dies für jede Unbekannte, so erhalten wir ein System von Gleichungen, deren jede mit der ursprünglichen vereinigten Gleichung äquivalent ist (und je für eine Unbekannte einen Ausdruck angibt). Jede Vertauschung von Symbolen, welche die ursprüngliche Glei- chung in sich selbst verwandelt, muss darum auch bei dem System dieser aus ihr gezogenen Folgerungen zulässig sein, dasselbe in sich selbst verwandeln. In unsern Darstellungen für die Unbekannten kommen nun freilich rechterhand neben den Koeffizienten der vereinigten Gleichung auch diese Unbekannten selbst wieder vor. Ersetzt man aber (blos rechter- hand) jede einzelne von diesen letztern durchweg durch einen besondern nunmehr unbestimmt zu lassenden Parameter oder griechischen Buch- staben, so wird man ein allgemeineres System von Darstellungen für die Unbekannten erhalten, welches jedenfalls fähig ist, ein jedes be- sondere System von Wurzelwerten (für gewisse Parameterwerte) dar- zustellen, welches (m. a. W.) alle Wurzelsysteme notwendig mitumfasst oder in sich begreift. Ausserdem wird dieses System von Gleichungen unfehlbar die An- forderungen der Symmetrie auch erfüllen. Wenn nämlich vor der Er- setzung durch die griechischen Buchstaben eine Gleichung des Systems aus einer andern hervorging durch eine vielleicht zwischen den Koef- fizienten und jedenfalls auch zwischen den Unbekannten der vereinigten Gleichung vorgenommene Vertauschung, so muss das gleiche auch nach jener Ersetzung noch der Fall sein sobald man nur mit der Ver- tauschung eben der Unbekannten auch die entsprechende zwischen den für sie eingesetzten griechischen Parametern parallel gehen lässt. Also die Anforderung der Allgemeinheit und die Anforderung der Symmetrie erfüllen bereits die so gewonnenen Darstellungen für die Unbekannten. Um sie als „symmetrisch allgemeine Lösungen“ der vereinigten Gleichung hinstellen zu dürfen, müssen wir nur noch zu- sehen, ob sie auch Lösungen derselben sind, ob sie als Wurzeln die- selbe erfüllen schon bei beliebig gelassenen Parameterwerten. Zu dem Ende ist nunmehr die Probe zu machen; die Ausdrücke sind für die Unbekannten in die vereinigte Gleichung einzusetzen. Nicht selten, wie gesagt, stimmt diese Probe: es resultirt aus der Substitution der Ausdrücke, die wir dann als die „Wurzeln“ bezeichnen dürfen, eine von den Parametern analytisch erfüllte Identität; man ist schon mit dem einen geschilderten als dem ersten Schritt der Methode am Ziele.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 503. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/523>, abgerufen am 20.05.2024.