ebenfalls die Forderung x y z w = 0 erfüllen müssen, in Anbetracht, dass sie nach o samt und sonders entwickelt erscheinen und man also behufs Multiplikation derselben nur die Koeffizienten ihrer gleichnamigen Glieder übereinander zu legen braucht.
Um die beim vorstehenden Spezialproblem erlangten Fingerzeige in der Richtung einer zum Ziel führenden Methode zu verallgemeinern, müssen wir noch dem Th. 50) eine neue Ausdrucksform geben, durch welche dasselbe mit dem Zusatze zum Th. 47+) in Zusammenhang ge- bracht wird. Das letztere sagte (mit neuer Bezeichnung) aus, dass sooft AxB ist, auch immer A x1 + B x = x sein müsse. Sagen wir hier b für A und a1 für B, so gelangen wir -- in Anbetracht, dass die Gleichung a x + b x1 = 0 auch mit der Doppelsubsumtion bxa1 nach Th. 49+) äquivalent ist, zu dem Satze, den wir be- zeichnen als das
Hülfstheorem des § 24: Die Gleichung a x + b x1 = 0 ist äqui- valent der: x = b x1 + a1x.
In der That kann diese Äquivalenz auch leicht direkt nachgewiesen werden, indem man einfach die letztere rechterhand auf 0 bringt.
Die letztere Gleichung, obwol sie rechterhand die Unbekannte x selbst noch enthält, kann gleichwol als eine partikulare "Lösung" der erstern hin- gestellt werden, in Anbetracht, dass sie aus der allgemeinen Lösung x = b u1 + a1u auch hervorgeht, indem man den willkürlichen Parameter u gleich x selbst annimmt. Sie stellt aber mit gleichem Rechte jede Partikularlösung vor, indem es offen blieb, welche von diesen unter x gedacht wurde.
Man könnte, im Hinblick auf die erste, unsre zweite Gleichung auch noch zu: x = a1x (mittelst Unterdrückung von b x1, welches ja 0 sein sollte) vereinfachen. Für unsre beabsichtigten Anwendungen wird sich dieses aber nur selten empfehlen, -- so, natürlich, wenn der Term b x1 analytisch ver- schwinden sollte, wie es oben bei Aufgabe 4, wo b = 0 war, der Fall gewesen.
Wir werden darnach ein Arbeiten nach dem "vollen" und ein solches nach dem "verkürzten" Schema unsres Hülfstheorems zu unter- scheiden haben.
Nach obigem Hülfstheorem können wir nun die vereinigte Gleichung unsres Problems nach irgend einer Unbekannten so auflösen, dass wir ohne Zuhülfenahme eines arbiträren Parameters diese Unbekannte durch
Zwölfte Vorlesung.
ebenfalls die Forderung x y z w = 0 erfüllen müssen, in Anbetracht, dass sie nach ω samt und sonders entwickelt erscheinen und man also behufs Multiplikation derselben nur die Koeffizienten ihrer gleichnamigen Glieder übereinander zu legen braucht.
Um die beim vorstehenden Spezialproblem erlangten Fingerzeige in der Richtung einer zum Ziel führenden Methode zu verallgemeinern, müssen wir noch dem Th. 50) eine neue Ausdrucksform geben, durch welche dasselbe mit dem Zusatze zum Th. 47+) in Zusammenhang ge- bracht wird. Das letztere sagte (mit neuer Bezeichnung) aus, dass sooft A ⋹ x ⋹ B ist, auch immer A x1 + B x = x sein müsse. Sagen wir hier b für A und a1 für B, so gelangen wir — in Anbetracht, dass die Gleichung a x + b x1 = 0 auch mit der Doppelsubsumtion b ⋹ x ⋹ a1 nach Th. 49+) äquivalent ist, zu dem Satze, den wir be- zeichnen als das
Hülfstheorem des § 24: Die Gleichung a x + b x1 = 0 ist äqui- valent der: x = b x1 + a1x.
In der That kann diese Äquivalenz auch leicht direkt nachgewiesen werden, indem man einfach die letztere rechterhand auf 0 bringt.
Die letztere Gleichung, obwol sie rechterhand die Unbekannte x selbst noch enthält, kann gleichwol als eine partikulare „Lösung“ der erstern hin- gestellt werden, in Anbetracht, dass sie aus der allgemeinen Lösung x = b u1 + a1u auch hervorgeht, indem man den willkürlichen Parameter u gleich x selbst annimmt. Sie stellt aber mit gleichem Rechte jede Partikularlösung vor, indem es offen blieb, welche von diesen unter x gedacht wurde.
Man könnte, im Hinblick auf die erste, unsre zweite Gleichung auch noch zu: x = a1x (mittelst Unterdrückung von b x1, welches ja 0 sein sollte) vereinfachen. Für unsre beabsichtigten Anwendungen wird sich dieses aber nur selten empfehlen, — so, natürlich, wenn der Term b x1 analytisch ver- schwinden sollte, wie es oben bei Aufgabe 4, wo b = 0 war, der Fall gewesen.
Wir werden darnach ein Arbeiten nach dem „vollen“ und ein solches nach dem „verkürzten“ Schema unsres Hülfstheorems zu unter- scheiden haben.
Nach obigem Hülfstheorem können wir nun die vereinigte Gleichung unsres Problems nach irgend einer Unbekannten so auflösen, dass wir ohne Zuhülfenahme eines arbiträren Parameters diese Unbekannte durch
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ebenfalls die Forderung x y z w = 0 erfüllen müssen, in Anbetracht, dass
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Multiplikation derselben nur die Koeffizienten ihrer gleichnamigen Glieder
übereinander zu legen braucht.
Um die beim vorstehenden Spezialproblem erlangten Fingerzeige
in der Richtung einer zum Ziel führenden Methode zu verallgemeinern,
müssen wir noch dem Th. 50) eine neue Ausdrucksform geben, durch
welche dasselbe mit dem Zusatze zum Th. 47+) in Zusammenhang ge-
bracht wird. Das letztere sagte (mit neuer Bezeichnung) aus, dass
sooft A ⋹ x ⋹ B ist, auch immer A x1 + B x = x sein müsse. Sagen
wir hier b für A und a1 für B, so gelangen wir — in Anbetracht,
dass die Gleichung a x + b x1 = 0 auch mit der Doppelsubsumtion
b ⋹ x ⋹ a1 nach Th. 49+) äquivalent ist, zu dem Satze, den wir be-
zeichnen als das
Hülfstheorem des § 24: Die Gleichung a x + b x1 = 0 ist äqui-
valent der:
x = b x1 + a1 x.
In der That kann diese Äquivalenz auch leicht direkt nachgewiesen
werden, indem man einfach die letztere rechterhand auf 0 bringt.
Die letztere Gleichung, obwol sie rechterhand die Unbekannte x selbst
noch enthält, kann gleichwol als eine partikulare „Lösung“ der erstern hin-
gestellt werden, in Anbetracht, dass sie aus der allgemeinen Lösung
x = b u1 + a1 u auch hervorgeht, indem man den willkürlichen Parameter u
gleich x selbst annimmt. Sie stellt aber mit gleichem Rechte jede
Partikularlösung vor, indem es offen blieb, welche von diesen unter x
gedacht wurde.
Man könnte, im Hinblick auf die erste, unsre zweite Gleichung
auch noch zu:
x = a1 x
(mittelst Unterdrückung von b x1, welches ja 0 sein sollte) vereinfachen.
Für unsre beabsichtigten Anwendungen wird sich dieses aber nur
selten empfehlen, — so, natürlich, wenn der Term b x1 analytisch ver-
schwinden sollte, wie es oben bei Aufgabe 4, wo b = 0 war, der Fall
gewesen.
Wir werden darnach ein Arbeiten nach dem „vollen“ und ein
solches nach dem „verkürzten“ Schema unsres Hülfstheorems zu unter-
scheiden haben.
Nach obigem Hülfstheorem können wir nun die vereinigte Gleichung
unsres Problems nach irgend einer Unbekannten so auflösen, dass wir
ohne Zuhülfenahme eines arbiträren Parameters diese Unbekannte durch
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 502. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/522>, abgerufen am 19.05.2024.
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