Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Eilfte Vorlesung.

wie es namentlich vorliegen wird, sobald die Resultante etwa auf die
Gleichung 1 = 0 sich zusammenzieht), so wird unsre Aufgabe unlös-
bar, unmöglich sein, nicht etwa, weil man alsdann die Werte der Un-
bekannten nicht sollte zu entdecken vermögen, sondern weil es dann
gar keine solchen Werte geben kann, welche die aufzulösende Glei-
chung erfüllen.

Ist dagegen die resultirende Relation R = 0 von den gegebenen
Gebieten a, b, ‥ erfüllt, so ist die Aufgabe lösbar, die Auflösung mög-
lich, und kann man alsdann gleichwie im ersten Falle schreiten zur
Ermittelung der „Wurzeln“, d. h. der (aller derjenigen) Wertsysteme,
welche für x, y, z, ‥ eingesetzt die vereinigte Gleichung erfüllen.

ι) Häufig sind auch die Parameter a, b, c, … nicht speziell gegeben,
sondern selbst noch unbestimmte, als gegeben blos zu denkende Gebiete; sie
werden etwa, da man in der Wissenschaft sogleich möglichst allgemeine
Probleme zu lösen bestrebt ist, uns allgemeine Gebiete von vornherein vor-
zustellen haben.

In solchem Falle kann man nach der gleichen Methode, die wir hin-
sichtlich x, y, z, ‥ noch auseinanderzusetzen haben, die Parameter a, b, …
zuerst selbst als Unbekannte so bestimmen, dass sie jene Resultante R = 0
auf die allgemeinste Weise befriedigen. Alsdann ist in der That auch kein
Unterschied mehr vorhanden zwischen gegebenen und gesuchten Gebieten;
wir mögen dann sämtliche Buchstabengebiete, welche in die vereinigte Glei-
chung eingehen, gleichmässig als „Unbekannte“ bezeichnen und erlangen
den Vorteil, dass das Auflösungsproblem nun stets lösbar wird, sofern die
Gleichung nicht geradezu auf die Absurdität 1 = 0 hinausläuft.

Denken wir uns nämlich alle Buchstaben eliminirt, bis auf einen a,
so kann die Resultante nur eine von folgenden vier Formen haben:
0 · a + 0 · a₁ = 0, d. h. 0 = 0, wo a dann unbestimmt bleibt,
1 · a + 0 · a₁ = 0, wo dann a = 0 sich bestimmt,
0 · a + 1 · a₁ = 0, d. h. a₁ = 0, wo sich a = 1 bestimmt,
1 · a + 1 · a₁ = 0, d. h. 1 = 0, was (für jedes a) unmöglich —
— in Anbetracht, dass ja ausser a keine Buchstaben mehr in der Resul-
tante vorkommen werden, sonach das Polynom der letztern, nach a ent-
wickelt, als Koeffizienten nur 0 oder 1 aufweisen kann.

Im ersten Fall war die Resultante als eine analytische Gleichung er-
füllt, hier fiel a mit den übrigen Buchstaben von selbst heraus und bleibt
es willkürlich.

Im zweiten und dritten Falle erwies sich a (= 0 oder aber 1) als
absolut bestimmt; man wird diesen seinen ermittelten Wert in die ver-
einigte Gleichung einsetzen unter Vereinfachung derselben in der dadurch
bedingten Weise, und wird es fortan ausser Betracht lassen um sich nur
noch mit der Aufgabe zu beschäftigen diese vereinfachte Gleichung aufzu-
lösen, so als wenn sie die ursprünglich gegebene gewesen wäre; dieselbe
enthält dann mindestens einen Buchstaben weniger.