lornen Terme von selbst oder analytisch verschwinden, wie dies z. B. ein- treten würde, wenn sich a d als von der Form a b1 · a1b und c d als von der Form a b · a1b1 oder vielleicht g d · e d1, und dergleichen, herausstellte.
Es haben durch solchen Verstoss einzelne meiner amerikanischen Mit- arbeiter auf dem Feld der logischen Algebra bei der Behandlung spezieller Aufgaben einen Vorsprung vor mir gewonnen, indem sie allerhand Weit- läufigkeiten des Druckes ersparten und mit einfacherem Formelansatz zum Ziel kamen, als wenn sie nach den von mir empfohlenen Schemata streng systematisch zuwerke gegangen wären. Solchen Vorsprung muss ich aber als einen illegitimen bezeichnen, sofern sich die dabei befolgte Taktik bei andern Gelegenheiten rächen müsste.
Durch die vorstehenden Überlegungen wurde das Eliminations- problem für eine beliebige Menge von Eliminanden erledigt.
th) Es frägt sich noch, wie das Auflösungsproblem bei einer Mehr- zahl von Unbekannten sich gestaltet.
Im Gegensatz zur numerisch rechnenden Mathematik muss das Problem der Auflösung eines Propositionensystems nach mehreren ebenso wie schon nach einer Unbekannten allemal mit der Elimination eben- dieser Unbekannten verbunden werden in der Art, dass diese Elimina- tion der eigentlichen Auflösung jeweils vorauszuschicken ist. Und ferner scheint das Auflösen nach mehrern Unbekannten für die Logik nicht die entsprechende Wichtigkeit zu besitzen, wie für die Arith- metik.
Die Unbekannten mögen x, y, z, ... heissen. Eliminirt man (aus der vereinigten Gleichung des Problemes) sie sämtlich -- z. B. succes- sive in der umgekehrten Ordnung als wie sie angegeben sind -- so ergibt sich als Resultante eine Gleichung, in der nur noch bekannte Gebiete 0, 1, a, b, c, d, ... vorkommen werden.
Die Resultante -- R = 0 möge sie heissen -- kann eine analy- tische Identität sein, wie es namentlich der Fall sein wird, wenn sie auf die Gleichung 0 = 0 sich zusammenzieht, während auch umge- kehrt, nachdem sie rechts auf 0 gebracht ist, die linke Seite R der- selben auf Grund der Regeln des Kalkuls dann ebenfalls identisch 0 sein wird. In diesem Falle wird die Aufgabe der Berechnung von x, y, z, ... unbedingt lösbar sein für alle denkbaren Wertsysteme der Parameter oder Symbole a, b, ...
Oder aber: die Resultante R = 0 ist selbst eine synthetische Glei- chung, eine Relation.
Ist dieselbe von den gegebenen Symbolen a, b, .. nicht erfüllt, in- dem sich für ihre linke Seite R eben ein gemäss den Voraussetzungen des Problems von 0 verschieden zu denkender Wert herausstellt (und
§ 22. Elimination von mehreren Unbekannten.
lornen Terme von selbst oder analytisch verschwinden, wie dies z. B. ein- treten würde, wenn sich a d als von der Form α β1 · α1β und c d als von der Form α β · α1β1 oder vielleicht γ δ · ε δ1, und dergleichen, herausstellte.
Es haben durch solchen Verstoss einzelne meiner amerikanischen Mit- arbeiter auf dem Feld der logischen Algebra bei der Behandlung spezieller Aufgaben einen Vorsprung vor mir gewonnen, indem sie allerhand Weit- läufigkeiten des Druckes ersparten und mit einfacherem Formelansatz zum Ziel kamen, als wenn sie nach den von mir empfohlenen Schemata streng systematisch zuwerke gegangen wären. Solchen Vorsprung muss ich aber als einen illegitimen bezeichnen, sofern sich die dabei befolgte Taktik bei andern Gelegenheiten rächen müsste.
Durch die vorstehenden Überlegungen wurde das Eliminations- problem für eine beliebige Menge von Eliminanden erledigt.
ϑ) Es frägt sich noch, wie das Auflösungsproblem bei einer Mehr- zahl von Unbekannten sich gestaltet.
Im Gegensatz zur numerisch rechnenden Mathematik muss das Problem der Auflösung eines Propositionensystems nach mehreren ebenso wie schon nach einer Unbekannten allemal mit der Elimination eben- dieser Unbekannten verbunden werden in der Art, dass diese Elimina- tion der eigentlichen Auflösung jeweils vorauszuschicken ist. Und ferner scheint das Auflösen nach mehrern Unbekannten für die Logik nicht die entsprechende Wichtigkeit zu besitzen, wie für die Arith- metik.
Die Unbekannten mögen x, y, z, … heissen. Eliminirt man (aus der vereinigten Gleichung des Problemes) sie sämtlich — z. B. succes- sive in der umgekehrten Ordnung als wie sie angegeben sind — so ergibt sich als Resultante eine Gleichung, in der nur noch bekannte Gebiete 0, 1, a, b, c, d, … vorkommen werden.
Die Resultante — R = 0 möge sie heissen — kann eine analy- tische Identität sein, wie es namentlich der Fall sein wird, wenn sie auf die Gleichung 0 = 0 sich zusammenzieht, während auch umge- kehrt, nachdem sie rechts auf 0 gebracht ist, die linke Seite R der- selben auf Grund der Regeln des Kalkuls dann ebenfalls identisch 0 sein wird. In diesem Falle wird die Aufgabe der Berechnung von x, y, z, … unbedingt lösbar sein für alle denkbaren Wertsysteme der Parameter oder Symbole a, b, …
Oder aber: die Resultante R = 0 ist selbst eine synthetische Glei- chung, eine Relation.
Ist dieselbe von den gegebenen Symbolen a, b, ‥ nicht erfüllt, in- dem sich für ihre linke Seite R eben ein gemäss den Voraussetzungen des Problems von 0 verschieden zu denkender Wert herausstellt (und
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§ 22. Elimination von mehreren Unbekannten.
lornen Terme von selbst oder analytisch verschwinden, wie dies z. B. ein-
treten würde, wenn sich a d als von der Form α β1 · α1 β und c d als von
der Form α β · α1 β1 oder vielleicht γ δ · ε δ1, und dergleichen, herausstellte.
Es haben durch solchen Verstoss einzelne meiner amerikanischen Mit-
arbeiter auf dem Feld der logischen Algebra bei der Behandlung spezieller
Aufgaben einen Vorsprung vor mir gewonnen, indem sie allerhand Weit-
läufigkeiten des Druckes ersparten und mit einfacherem Formelansatz zum
Ziel kamen, als wenn sie nach den von mir empfohlenen Schemata streng
systematisch zuwerke gegangen wären. Solchen Vorsprung muss ich aber
als einen illegitimen bezeichnen, sofern sich die dabei befolgte Taktik bei
andern Gelegenheiten rächen müsste.
Durch die vorstehenden Überlegungen wurde das Eliminations-
problem für eine beliebige Menge von Eliminanden erledigt.
ϑ) Es frägt sich noch, wie das Auflösungsproblem bei einer Mehr-
zahl von Unbekannten sich gestaltet.
Im Gegensatz zur numerisch rechnenden Mathematik muss das
Problem der Auflösung eines Propositionensystems nach mehreren ebenso
wie schon nach einer Unbekannten allemal mit der Elimination eben-
dieser Unbekannten verbunden werden in der Art, dass diese Elimina-
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ferner scheint das Auflösen nach mehrern Unbekannten für die Logik
nicht die entsprechende Wichtigkeit zu besitzen, wie für die Arith-
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Die Unbekannten mögen x, y, z, … heissen. Eliminirt man (aus
der vereinigten Gleichung des Problemes) sie sämtlich — z. B. succes-
sive in der umgekehrten Ordnung als wie sie angegeben sind — so ergibt
sich als Resultante eine Gleichung, in der nur noch bekannte Gebiete
0, 1, a, b, c, d, … vorkommen werden.
Die Resultante — R = 0 möge sie heissen — kann eine analy-
tische Identität sein, wie es namentlich der Fall sein wird, wenn sie
auf die Gleichung 0 = 0 sich zusammenzieht, während auch umge-
kehrt, nachdem sie rechts auf 0 gebracht ist, die linke Seite R der-
selben auf Grund der Regeln des Kalkuls dann ebenfalls identisch 0
sein wird. In diesem Falle wird die Aufgabe der Berechnung von
x, y, z, … unbedingt lösbar sein für alle denkbaren Wertsysteme der
Parameter oder Symbole a, b, …
Oder aber: die Resultante R = 0 ist selbst eine synthetische Glei-
chung, eine Relation.
Ist dieselbe von den gegebenen Symbolen a, b, ‥ nicht erfüllt, in-
dem sich für ihre linke Seite R eben ein gemäss den Voraussetzungen
des Problems von 0 verschieden zu denkender Wert herausstellt (und
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 471. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/491>, abgerufen am 22.07.2024.
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