Negation) bevorzugt erscheint (desgleichen keine Gruppe von Unbe- kannten und Negationen solcher, kein Konstituent der Entwickelung), m. a. W. schon aus der Symmetrie dieser Relation (in Bezug auf die den verschiedenen Konstituenten zugeordneten Koeffizienten) ist zu er- sehen, dass die Reihenfolge und Gruppirung, in welcher die Eliminan- den beseitigt werden, dass die ganze "Anordnung des Eliminations- prozesses" gleichgültig sein muss für die zu erwartende Resultante. Genauer:
Zusatz 2 zu Th. 50). Es ist für das Ergebniss ohne Belang, in welcher Reihenfolge man aus einer Gleichung die verschiedenen Unbekannten, sei es einzeln, sei es in beliebigen Gruppen eliminirt, auch einerlei, in welchen Gruppen, und ob man sie successive oder ob man sämtliche Un- bekannte auf einmal eliminirt.
Da das Entwickeln nach vielen Symbolen zugleich S. 416 eine er- müdende Operation ist, bei welcher leicht auch Versehen mitunter- laufen, so wird man behufs Elimination einer Gruppe von solchen am besten so verfahren, dass man erst eine Unbekannte allein eliminirt, z. B. x. Die Resultante wird nur noch die übrigen Unbekannten y, z,... enthalten. Aus dieser wird man hernach eine zweite von den Unbekannten eliminiren, z. B. y, aus der so gewonnenen neuen Resul- tante eine dritte z, und so weiter fortschreitend nach und nach die sämtlichen Unbekannten.
z) Auf Grund des Zusatzes 1 zu Th. 50) wäre -- in Erweiterung der unter e) des § 21 gemachten Bemerkungen -- leicht zu zeigen, dass wenn die vereinigte Gleichung rechterhand auf 1 gebracht ist, auch hier (bei beliebig vielen Eliminanden) wieder die Resultante erhalten wird, indem man einfach die Konstituenten des nach den Eliminanden entwickelten Polynoms der Gleichung (mithin diese Eliminanden selbst samt ihren Negationen) durchweg auslöscht.
War z. B. f(x, y) = 0 die Gleichung nach zweien von den Unbekannten entwickelt, so wird sie nun f1 (x, y) = 1 oder a1x y + b1x y1 + c1x1y + d1x1y1 = 1, und gibt durch Ausstreichen der Konstituenten: a1 + b1 + c1 + d1 = 1, was mit a b c d = 0 äquivalent ist. Etc.
e) Anmerkung zum Zusatz 2 des Th. 50).
Im Gegensatz zu vorstehendem ist es aber nicht gleichgültig, wel- ches Verfahren man beim Eliminiren einschlägt in folgender Hinsicht.
§ 22. Elimination von mehreren Unbekannten.
Negation) bevorzugt erscheint (desgleichen keine Gruppe von Unbe- kannten und Negationen solcher, kein Konstituent der Entwickelung), m. a. W. schon aus der Symmetrie dieser Relation (in Bezug auf die den verschiedenen Konstituenten zugeordneten Koeffizienten) ist zu er- sehen, dass die Reihenfolge und Gruppirung, in welcher die Eliminan- den beseitigt werden, dass die ganze „Anordnung des Eliminations- prozesses“ gleichgültig sein muss für die zu erwartende Resultante. Genauer:
Zusatz 2 zu Th. 50). Es ist für das Ergebniss ohne Belang, in welcher Reihenfolge man aus einer Gleichung die verschiedenen Unbekannten, sei es einzeln, sei es in beliebigen Gruppen eliminirt, auch einerlei, in welchen Gruppen, und ob man sie successive oder ob man sämtliche Un- bekannte auf einmal eliminirt.
Da das Entwickeln nach vielen Symbolen zugleich S. 416 eine er- müdende Operation ist, bei welcher leicht auch Versehen mitunter- laufen, so wird man behufs Elimination einer Gruppe von solchen am besten so verfahren, dass man erst eine Unbekannte allein eliminirt, z. B. x. Die Resultante wird nur noch die übrigen Unbekannten y, z,… enthalten. Aus dieser wird man hernach eine zweite von den Unbekannten eliminiren, z. B. y, aus der so gewonnenen neuen Resul- tante eine dritte z, und so weiter fortschreitend nach und nach die sämtlichen Unbekannten.
ζ) Auf Grund des Zusatzes 1 zu Th. 50) wäre — in Erweiterung der unter η) des § 21 gemachten Bemerkungen — leicht zu zeigen, dass wenn die vereinigte Gleichung rechterhand auf 1 gebracht ist, auch hier (bei beliebig vielen Eliminanden) wieder die Resultante erhalten wird, indem man einfach die Konstituenten des nach den Eliminanden entwickelten Polynoms der Gleichung (mithin diese Eliminanden selbst samt ihren Negationen) durchweg auslöscht.
War z. B. f(x, y) = 0 die Gleichung nach zweien von den Unbekannten entwickelt, so wird sie nun f1 (x, y) = 1 oder a1x y + b1x y1 + c1x1y + d1x1y1 = 1, und gibt durch Ausstreichen der Konstituenten: a1 + b1 + c1 + d1 = 1, was mit a b c d = 0 äquivalent ist. Etc.
η) Anmerkung zum Zusatz 2 des Th. 50).
Im Gegensatz zu vorstehendem ist es aber nicht gleichgültig, wel- ches Verfahren man beim Eliminiren einschlägt in folgender Hinsicht.
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§ 22. Elimination von mehreren Unbekannten.
Negation) bevorzugt erscheint (desgleichen keine Gruppe von Unbe-
kannten und Negationen solcher, kein Konstituent der Entwickelung),
m. a. W. schon aus der Symmetrie dieser Relation (in Bezug auf die
den verschiedenen Konstituenten zugeordneten Koeffizienten) ist zu er-
sehen, dass die Reihenfolge und Gruppirung, in welcher die Eliminan-
den beseitigt werden, dass die ganze „Anordnung des Eliminations-
prozesses“ gleichgültig sein muss für die zu erwartende Resultante.
Genauer:
Zusatz 2 zu Th. 50). Es ist für das Ergebniss ohne Belang, in
welcher Reihenfolge man aus einer Gleichung die verschiedenen Unbekannten,
sei es einzeln, sei es in beliebigen Gruppen eliminirt, auch einerlei, in
welchen Gruppen, und ob man sie successive oder ob man sämtliche Un-
bekannte auf einmal eliminirt.
Da das Entwickeln nach vielen Symbolen zugleich S. 416 eine er-
müdende Operation ist, bei welcher leicht auch Versehen mitunter-
laufen, so wird man behufs Elimination einer Gruppe von solchen am
besten so verfahren, dass man erst eine Unbekannte allein eliminirt,
z. B. x. Die Resultante wird nur noch die übrigen Unbekannten y,
z,… enthalten. Aus dieser wird man hernach eine zweite von den
Unbekannten eliminiren, z. B. y, aus der so gewonnenen neuen Resul-
tante eine dritte z, und so weiter fortschreitend nach und nach die
sämtlichen Unbekannten.
ζ) Auf Grund des Zusatzes 1 zu Th. 50) wäre — in Erweiterung
der unter η) des § 21 gemachten Bemerkungen — leicht zu zeigen,
dass wenn die vereinigte Gleichung rechterhand auf 1 gebracht ist, auch
hier (bei beliebig vielen Eliminanden) wieder die Resultante erhalten
wird, indem man einfach die Konstituenten des nach den Eliminanden
entwickelten Polynoms der Gleichung (mithin diese Eliminanden selbst
samt ihren Negationen) durchweg auslöscht.
War z. B. f(x, y) = 0 die Gleichung nach zweien von den Unbekannten
entwickelt, so wird sie nun
f1 (x, y) = 1 oder a1 x y + b1 x y1 + c1 x1 y + d1 x1 y1 = 1,
und gibt durch Ausstreichen der Konstituenten:
a1 + b1 + c1 + d1 = 1,
was mit a b c d = 0 äquivalent ist. Etc.
η) Anmerkung zum Zusatz 2 des Th. 50).
Im Gegensatz zu vorstehendem ist es aber nicht gleichgültig, wel-
ches Verfahren man beim Eliminiren einschlägt in folgender Hinsicht.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 469. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/489>, abgerufen am 20.05.2024.
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