§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
(a1 + x1) (b1 + x) = 1, so träfe die letzte Regel nicht mehr zu, ebensowenig, wie es bei der ursprünglichen Form der Gleichung a x + b x1 = 0 der Fall war -- indem ja nach derselben fälschlich a1b1 = 1, resp. a + b = 0 entstehen würde. --
Ein bequemeres Eliminationsverfahren als das Fortlassen, Aus- löschen, die Tilgung der Eliminanden ist nun überhaupt nicht denkbar.*)
Es ist deshalb bei Eliminationsaufgaben mitunter vorteilhaft zu operiren mit rechts auf 1 (anstatt auf 0) gebrachten Gleichungen (in- dem man links Aggregate, nach wie vor, Produkten vorzieht). Be- sonders wird dies -- auch noch aus einem andern Grunde: der Inter- pretation halber -- im Aussagenkalkul sich empfehlen.
03D1;) Lautet f (x) = 0 eine nach x aufzulösende Gleichung, so entsteht durch Entwickelung des Polynoms derselben nach x gemäss Th. 44+): f (1) · x + f (0) · x1 = 0 und ist daher: f (0) · f (1) = 0 die Resultante der Elimination von x und zugleich die Bedingung für die Auflösbarkeit der Gleichung nach x und für ihre mögliche Geltung.
Die Auflösung selbst würde heissen: x = f (0) · u1 + f1 (1) · u.
i) Von praktischem Nutzen ist noch diese Bemerkung. Wir setzten beim Eliminiren bisher das Polynom der Gleichung als bezüglich des Eliminanden x (durch Entwickelung nach demselben) homogen gemacht voraus. Von dieser Voraussetzung ist es vorteilhaft, sich unabhängig zu machen. Ist nämlich: a x + b x1 + c = 0 die Gleichung, aus welcher x zu eliminiren ist, wo die linke Seite als nicht homogene lineare Funktion jetzt ein Absolutglied c enthält, so würde diese Gleichung, homogen gemacht, lauten: (a + c) x + (b + c) x1 = 0 und gäbe nach der Regel:
*) Die Bemerkung ist wol, unter Leitung von Mr. Peirce, zuerst von Miss Ladd gemacht und von Mr. Mitchell noch weiter ausgedehnt worden.
§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
(a1 + x1) (b1 + x) = 1, so träfe die letzte Regel nicht mehr zu, ebensowenig, wie es bei der ursprünglichen Form der Gleichung a x + b x1 = 0 der Fall war — indem ja nach derselben fälschlich a1b1 = 1, resp. a + b = 0 entstehen würde. —
Ein bequemeres Eliminationsverfahren als das Fortlassen, Aus- löschen, die Tilgung der Eliminanden ist nun überhaupt nicht denkbar.*)
Es ist deshalb bei Eliminationsaufgaben mitunter vorteilhaft zu operiren mit rechts auf 1 (anstatt auf 0) gebrachten Gleichungen (in- dem man links Aggregate, nach wie vor, Produkten vorzieht). Be- sonders wird dies — auch noch aus einem andern Grunde: der Inter- pretation halber — im Aussagenkalkul sich empfehlen.
03D1;) Lautet f (x) = 0 eine nach x aufzulösende Gleichung, so entsteht durch Entwickelung des Polynoms derselben nach x gemäss Th. 44+): f (1) · x + f (0) · x1 = 0 und ist daher: f (0) · f (1) = 0 die Resultante der Elimination von x und zugleich die Bedingung für die Auflösbarkeit der Gleichung nach x und für ihre mögliche Geltung.
Die Auflösung selbst würde heissen: x = f (0) · u1 + f1 (1) · u.
ι) Von praktischem Nutzen ist noch diese Bemerkung. Wir setzten beim Eliminiren bisher das Polynom der Gleichung als bezüglich des Eliminanden x (durch Entwickelung nach demselben) homogen gemacht voraus. Von dieser Voraussetzung ist es vorteilhaft, sich unabhängig zu machen. Ist nämlich: a x + b x1 + c = 0 die Gleichung, aus welcher x zu eliminiren ist, wo die linke Seite als nicht homogene lineare Funktion jetzt ein Absolutglied c enthält, so würde diese Gleichung, homogen gemacht, lauten: (a + c) x + (b + c) x1 = 0 und gäbe nach der Regel:
*) Die Bemerkung ist wol, unter Leitung von Mr. Peirce, zuerst von Miss Ladd gemacht und von Mr. Mitchell noch weiter ausgedehnt worden.
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§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
(a1 + x1) (b1 + x) = 1,
so träfe die letzte Regel nicht mehr zu, ebensowenig, wie es bei der
ursprünglichen Form der Gleichung
a x + b x1 = 0
der Fall war — indem ja nach derselben fälschlich a1 b1 = 1, resp.
a + b = 0 entstehen würde. —
Ein bequemeres Eliminationsverfahren als das Fortlassen, Aus-
löschen, die Tilgung der Eliminanden ist nun überhaupt nicht denkbar. *)
Es ist deshalb bei Eliminationsaufgaben mitunter vorteilhaft zu
operiren mit rechts auf 1 (anstatt auf 0) gebrachten Gleichungen (in-
dem man links Aggregate, nach wie vor, Produkten vorzieht). Be-
sonders wird dies — auch noch aus einem andern Grunde: der Inter-
pretation halber — im Aussagenkalkul sich empfehlen.
03D1;) Lautet
f (x) = 0
eine nach x aufzulösende Gleichung, so entsteht durch Entwickelung
des Polynoms derselben nach x gemäss Th. 44+):
f (1) · x + f (0) · x1 = 0
und ist daher:
f (0) · f (1) = 0
die Resultante der Elimination von x und zugleich die Bedingung für
die Auflösbarkeit der Gleichung nach x und für ihre mögliche Geltung.
Die Auflösung selbst würde heissen:
x = f (0) · u1 + f1 (1) · u.
ι) Von praktischem Nutzen ist noch diese Bemerkung. Wir setzten
beim Eliminiren bisher das Polynom der Gleichung als bezüglich des
Eliminanden x (durch Entwickelung nach demselben) homogen gemacht
voraus. Von dieser Voraussetzung ist es vorteilhaft, sich unabhängig
zu machen. Ist nämlich:
a x + b x1 + c = 0
die Gleichung, aus welcher x zu eliminiren ist, wo die linke Seite als
nicht homogene lineare Funktion jetzt ein Absolutglied c enthält, so
würde diese Gleichung, homogen gemacht, lauten:
(a + c) x + (b + c) x1 = 0
und gäbe nach der Regel:
*) Die Bemerkung ist wol, unter Leitung von Mr. Peirce, zuerst von Miss
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 457. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/477>, abgerufen am 20.05.2024.
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