§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
(a1 + x1) (b1 + x) = 1, so träfe die letzte Regel nicht mehr zu, ebensowenig, wie es bei der ursprünglichen Form der Gleichung a x + b x1 = 0 der Fall war -- indem ja nach derselben fälschlich a1b1 = 1, resp. a + b = 0 entstehen würde. --
Ein bequemeres Eliminationsverfahren als das Fortlassen, Aus- löschen, die Tilgung der Eliminanden ist nun überhaupt nicht denkbar.*)
Es ist deshalb bei Eliminationsaufgaben mitunter vorteilhaft zu operiren mit rechts auf 1 (anstatt auf 0) gebrachten Gleichungen (in- dem man links Aggregate, nach wie vor, Produkten vorzieht). Be- sonders wird dies -- auch noch aus einem andern Grunde: der Inter- pretation halber -- im Aussagenkalkul sich empfehlen.
03D1;) Lautet f (x) = 0 eine nach x aufzulösende Gleichung, so entsteht durch Entwickelung des Polynoms derselben nach x gemäss Th. 44+): f (1) · x + f (0) · x1 = 0 und ist daher: f (0) · f (1) = 0 die Resultante der Elimination von x und zugleich die Bedingung für die Auflösbarkeit der Gleichung nach x und für ihre mögliche Geltung.
Die Auflösung selbst würde heissen: x = f (0) · u1 + f1 (1) · u.
i) Von praktischem Nutzen ist noch diese Bemerkung. Wir setzten beim Eliminiren bisher das Polynom der Gleichung als bezüglich des Eliminanden x (durch Entwickelung nach demselben) homogen gemacht voraus. Von dieser Voraussetzung ist es vorteilhaft, sich unabhängig zu machen. Ist nämlich: a x + b x1 + c = 0 die Gleichung, aus welcher x zu eliminiren ist, wo die linke Seite als nicht homogene lineare Funktion jetzt ein Absolutglied c enthält, so würde diese Gleichung, homogen gemacht, lauten: (a + c) x + (b + c) x1 = 0 und gäbe nach der Regel:
*) Die Bemerkung ist wol, unter Leitung von Mr. Peirce, zuerst von Miss Ladd gemacht und von Mr. Mitchell noch weiter ausgedehnt worden.
§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
(a1 + x1) (b1 + x) = 1, so träfe die letzte Regel nicht mehr zu, ebensowenig, wie es bei der ursprünglichen Form der Gleichung a x + b x1 = 0 der Fall war — indem ja nach derselben fälschlich a1b1 = 1, resp. a + b = 0 entstehen würde. —
Ein bequemeres Eliminationsverfahren als das Fortlassen, Aus- löschen, die Tilgung der Eliminanden ist nun überhaupt nicht denkbar.*)
Es ist deshalb bei Eliminationsaufgaben mitunter vorteilhaft zu operiren mit rechts auf 1 (anstatt auf 0) gebrachten Gleichungen (in- dem man links Aggregate, nach wie vor, Produkten vorzieht). Be- sonders wird dies — auch noch aus einem andern Grunde: der Inter- pretation halber — im Aussagenkalkul sich empfehlen.
03D1;) Lautet f (x) = 0 eine nach x aufzulösende Gleichung, so entsteht durch Entwickelung des Polynoms derselben nach x gemäss Th. 44+): f (1) · x + f (0) · x1 = 0 und ist daher: f (0) · f (1) = 0 die Resultante der Elimination von x und zugleich die Bedingung für die Auflösbarkeit der Gleichung nach x und für ihre mögliche Geltung.
Die Auflösung selbst würde heissen: x = f (0) · u1 + f1 (1) · u.
ι) Von praktischem Nutzen ist noch diese Bemerkung. Wir setzten beim Eliminiren bisher das Polynom der Gleichung als bezüglich des Eliminanden x (durch Entwickelung nach demselben) homogen gemacht voraus. Von dieser Voraussetzung ist es vorteilhaft, sich unabhängig zu machen. Ist nämlich: a x + b x1 + c = 0 die Gleichung, aus welcher x zu eliminiren ist, wo die linke Seite als nicht homogene lineare Funktion jetzt ein Absolutglied c enthält, so würde diese Gleichung, homogen gemacht, lauten: (a + c) x + (b + c) x1 = 0 und gäbe nach der Regel:
*) Die Bemerkung ist wol, unter Leitung von Mr. Peirce, zuerst von Miss Ladd gemacht und von Mr. Mitchell noch weiter ausgedehnt worden.
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><p><pbfacs="#f0477"n="457"/><fwplace="top"type="header">§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.</fw><lb/><hirendition="#c">(<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sub">1</hi>) (<hirendition="#i">b</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">x</hi>) = 1,</hi><lb/>
so träfe die letzte Regel nicht mehr zu, ebensowenig, wie es bei der<lb/>
ursprünglichen Form der Gleichung<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">a x</hi> + <hirendition="#i">b x</hi><hirendition="#sub">1</hi> = 0</hi><lb/>
der Fall war — indem ja nach derselben fälschlich <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">b</hi><hirendition="#sub">1</hi> = 1, resp.<lb/><hirendition="#i">a</hi> + <hirendition="#i">b</hi> = 0 entstehen würde. —</p><lb/><p>Ein bequemeres Eliminationsverfahren als das Fortlassen, <hirendition="#i">Aus-<lb/>
löschen</hi>, die Tilgung der Eliminanden ist nun überhaupt nicht denkbar.<noteplace="foot"n="*)">Die Bemerkung ist wol, unter Leitung von Mr. <hirendition="#g">Peirce</hi>, zuerst von Miss<lb/>
Ladd gemacht und von Mr. <hirendition="#g">Mitchell</hi> noch weiter ausgedehnt worden.</note></p><lb/><p>Es ist deshalb bei Eliminationsaufgaben mitunter vorteilhaft zu<lb/>
operiren mit rechts auf 1 (anstatt auf 0) gebrachten Gleichungen (in-<lb/>
dem man links Aggregate, nach wie vor, Produkten vorzieht). Be-<lb/>
sonders wird dies — auch noch aus einem andern Grunde: der Inter-<lb/>
pretation halber — im Aussagenkalkul sich empfehlen.</p><lb/><p><hirendition="#i">03D1;</hi>) Lautet<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">f</hi> (<hirendition="#i">x</hi>) = 0</hi><lb/>
eine nach <hirendition="#i">x</hi> aufzulösende Gleichung, so entsteht durch Entwickelung<lb/>
des Polynoms derselben nach <hirendition="#i">x</hi> gemäss Th. 44<hirendition="#sub">+</hi>):<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">f</hi> (1) · <hirendition="#i">x</hi> + <hirendition="#i">f</hi> (0) · <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sub">1</hi> = 0</hi><lb/>
und ist daher:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">f</hi> (0) · <hirendition="#i">f</hi> (1) = 0</hi><lb/>
die Resultante der Elimination von <hirendition="#i">x</hi> und zugleich die Bedingung für<lb/>
die Auflösbarkeit der Gleichung nach <hirendition="#i">x</hi> und für ihre mögliche Geltung.</p><lb/><p>Die Auflösung selbst würde heissen:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">x</hi> = <hirendition="#i">f</hi> (0) · <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">f</hi><hirendition="#sub">1</hi> (1) · <hirendition="#i">u</hi>.</hi></p><lb/><p><hirendition="#i">ι</hi>) Von praktischem Nutzen ist noch diese Bemerkung. Wir setzten<lb/>
beim Eliminiren bisher das Polynom der Gleichung als bezüglich des<lb/>
Eliminanden <hirendition="#i">x</hi> (durch Entwickelung nach demselben) <hirendition="#i">homogen</hi> gemacht<lb/>
voraus. Von dieser Voraussetzung ist es vorteilhaft, sich unabhängig<lb/>
zu machen. Ist nämlich:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">a x</hi> + <hirendition="#i">b x</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">c</hi> = 0</hi><lb/>
die Gleichung, aus welcher <hirendition="#i">x</hi> zu eliminiren ist, wo die linke Seite als<lb/>
nicht homogene lineare Funktion jetzt ein Absolutglied <hirendition="#i">c</hi> enthält, so<lb/>
würde diese Gleichung, homogen gemacht, lauten:<lb/><hirendition="#c">(<hirendition="#i">a</hi> + <hirendition="#i">c</hi>) <hirendition="#i">x</hi> + (<hirendition="#i">b</hi> + <hirendition="#i">c</hi>) <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sub">1</hi> = 0</hi><lb/>
und gäbe nach der Regel:<lb/></p></div></div></body></text></TEI>
[457/0477]
§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
(a1 + x1) (b1 + x) = 1,
so träfe die letzte Regel nicht mehr zu, ebensowenig, wie es bei der
ursprünglichen Form der Gleichung
a x + b x1 = 0
der Fall war — indem ja nach derselben fälschlich a1 b1 = 1, resp.
a + b = 0 entstehen würde. —
Ein bequemeres Eliminationsverfahren als das Fortlassen, Aus-
löschen, die Tilgung der Eliminanden ist nun überhaupt nicht denkbar. *)
Es ist deshalb bei Eliminationsaufgaben mitunter vorteilhaft zu
operiren mit rechts auf 1 (anstatt auf 0) gebrachten Gleichungen (in-
dem man links Aggregate, nach wie vor, Produkten vorzieht). Be-
sonders wird dies — auch noch aus einem andern Grunde: der Inter-
pretation halber — im Aussagenkalkul sich empfehlen.
03D1;) Lautet
f (x) = 0
eine nach x aufzulösende Gleichung, so entsteht durch Entwickelung
des Polynoms derselben nach x gemäss Th. 44+):
f (1) · x + f (0) · x1 = 0
und ist daher:
f (0) · f (1) = 0
die Resultante der Elimination von x und zugleich die Bedingung für
die Auflösbarkeit der Gleichung nach x und für ihre mögliche Geltung.
Die Auflösung selbst würde heissen:
x = f (0) · u1 + f1 (1) · u.
ι) Von praktischem Nutzen ist noch diese Bemerkung. Wir setzten
beim Eliminiren bisher das Polynom der Gleichung als bezüglich des
Eliminanden x (durch Entwickelung nach demselben) homogen gemacht
voraus. Von dieser Voraussetzung ist es vorteilhaft, sich unabhängig
zu machen. Ist nämlich:
a x + b x1 + c = 0
die Gleichung, aus welcher x zu eliminiren ist, wo die linke Seite als
nicht homogene lineare Funktion jetzt ein Absolutglied c enthält, so
würde diese Gleichung, homogen gemacht, lauten:
(a + c) x + (b + c) x1 = 0
und gäbe nach der Regel:
*) Die Bemerkung ist wol, unter Leitung von Mr. Peirce, zuerst von Miss
Ladd gemacht und von Mr. Mitchell noch weiter ausgedehnt worden.
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 457. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/477>, abgerufen am 22.11.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
