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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Eilfte Vorlesung.
(a + c) (b + c) = 0
als die Resultante. Diese vereinfacht sich aber zu:
a b + c = 0 oder c + a b = 0.
Daher kann man merken: Das Absolutglied (Aggregat der Glieder
welche x und x1 nicht zum Faktor haben) geht jeweils unverändert in
die Resultante über; es braucht demselben nur noch das Produkt der
Koeffizienten hinzugefügt zu werden, mit welchen x und x1 ursprüng-
lich behaftet sind.

k) Ist nun bei einer Gleichung a x + b x1 = 0 die Bedingung für
ihre Zulässigkeit oder Auflösbarkeit, die Valenzbedingung für x oder
Resultante seiner Elimination, erfüllt, so handelt es sich auch noch
darum, den allgemeinsten Ausdruck für die Unbekannte oder Wurzel
x der Gleichung jederzeit richtig herstellen zu können. Es ist zu dem
Ende nicht praktisch, etwa nur die Formel
x = b u1 + a1 u
auswendig zu lernen, schon weil in einer solchen die für die Unbe-
kannte (x), die Koeffizienten (a, b) und den Parameter (u) zugrunde
gelegte Bezeichnung sehr häufig kollidirt, in Konflikt gerät, nicht
stimmt mit denjenigen Bezeichnungen welche gegeben sind in den Pro-
blemen auf die der Satz angewendet, für welche er verwertet werden
soll. Es empfiehlt sich deshalb, dass man die durch die Formel der
Auflösung (allerdings am kürzesten) ausgedrückte Regel sich oben-
drein in Worten einpräge, und merke man darum (andrerseits):

Um nach einer Unbekannten eine Gleichung aufzulösen, nachdem
dieselbe rechts auf 0 gebracht, links nach der Unbekannten entwickelt
und als auflösbar erkannt ist, setze man die Unbekannte gleich der
Negation ihres Koeffizienten multiplizirt mit einem unbestimmten Gebiete,
plus dem Koeffizienten ihrer Negation mal der Negation dieses Gebietes.

Für die Gleichung
a x + b x1 = 0, wo a b = 0
ist, hat man also die Wurzeln x, neben welchen auch deren Negation
angegeben werden mag:
k) x = a1 u + b u1, x1 = a u + b1 u1,
worin man wegen der Willkürlichkeit von u natürlich auch u und u1
hätte vertauschen können.

l) Die Auflösungen lassen sich nun aber auch noch in folgenden
Formen schreiben:
l) x = b + a1 u = a1 (b + u), x1 = b1 (a + u1) = a + b1 u1,

Eilfte Vorlesung.
(a + c) (b + c) = 0
als die Resultante. Diese vereinfacht sich aber zu:
a b + c = 0 oder c + a b = 0.
Daher kann man merken: Das Absolutglied (Aggregat der Glieder
welche x und x1 nicht zum Faktor haben) geht jeweils unverändert in
die Resultante über; es braucht demselben nur noch das Produkt der
Koeffizienten hinzugefügt zu werden, mit welchen x und x1 ursprüng-
lich behaftet sind.

ϰ) Ist nun bei einer Gleichung a x + b x1 = 0 die Bedingung für
ihre Zulässigkeit oder Auflösbarkeit, die Valenzbedingung für x oder
Resultante seiner Elimination, erfüllt, so handelt es sich auch noch
darum, den allgemeinsten Ausdruck für die Unbekannte oder Wurzel
x der Gleichung jederzeit richtig herstellen zu können. Es ist zu dem
Ende nicht praktisch, etwa nur die Formel
x = b u1 + a1 u
auswendig zu lernen, schon weil in einer solchen die für die Unbe-
kannte (x), die Koeffizienten (a, b) und den Parameter (u) zugrunde
gelegte Bezeichnung sehr häufig kollidirt, in Konflikt gerät, nicht
stimmt mit denjenigen Bezeichnungen welche gegeben sind in den Pro-
blemen auf die der Satz angewendet, für welche er verwertet werden
soll. Es empfiehlt sich deshalb, dass man die durch die Formel der
Auflösung (allerdings am kürzesten) ausgedrückte Regel sich oben-
drein in Worten einpräge, und merke man darum (andrerseits):

Um nach einer Unbekannten eine Gleichung aufzulösen, nachdem
dieselbe rechts auf 0 gebracht, links nach der Unbekannten entwickelt
und als auflösbar erkannt ist, setze man die Unbekannte gleich der
Negation ihres Koeffizienten multiplizirt mit einem unbestimmten Gebiete,
plus dem Koeffizienten ihrer Negation mal der Negation dieses Gebietes.

Für die Gleichung
a x + b x1 = 0, wo a b = 0
ist, hat man also die Wurzeln x, neben welchen auch deren Negation
angegeben werden mag:
ϰ) x = a1 u + b u1, x1 = a u + b1 u1,
worin man wegen der Willkürlichkeit von u natürlich auch u und u1
hätte vertauschen können.

λ) Die Auflösungen lassen sich nun aber auch noch in folgenden
Formen schreiben:
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[458/0478] Eilfte Vorlesung. (a + c) (b + c) = 0 als die Resultante. Diese vereinfacht sich aber zu: a b + c = 0 oder c + a b = 0. Daher kann man merken: Das Absolutglied (Aggregat der Glieder welche x und x1 nicht zum Faktor haben) geht jeweils unverändert in die Resultante über; es braucht demselben nur noch das Produkt der Koeffizienten hinzugefügt zu werden, mit welchen x und x1 ursprüng- lich behaftet sind. ϰ) Ist nun bei einer Gleichung a x + b x1 = 0 die Bedingung für ihre Zulässigkeit oder Auflösbarkeit, die Valenzbedingung für x oder Resultante seiner Elimination, erfüllt, so handelt es sich auch noch darum, den allgemeinsten Ausdruck für die Unbekannte oder Wurzel x der Gleichung jederzeit richtig herstellen zu können. Es ist zu dem Ende nicht praktisch, etwa nur die Formel x = b u1 + a1 u auswendig zu lernen, schon weil in einer solchen die für die Unbe- kannte (x), die Koeffizienten (a, b) und den Parameter (u) zugrunde gelegte Bezeichnung sehr häufig kollidirt, in Konflikt gerät, nicht stimmt mit denjenigen Bezeichnungen welche gegeben sind in den Pro- blemen auf die der Satz angewendet, für welche er verwertet werden soll. Es empfiehlt sich deshalb, dass man die durch die Formel der Auflösung (allerdings am kürzesten) ausgedrückte Regel sich oben- drein in Worten einpräge, und merke man darum (andrerseits): Um nach einer Unbekannten eine Gleichung aufzulösen, nachdem dieselbe rechts auf 0 gebracht, links nach der Unbekannten entwickelt und als auflösbar erkannt ist, setze man die Unbekannte gleich der Negation ihres Koeffizienten multiplizirt mit einem unbestimmten Gebiete, plus dem Koeffizienten ihrer Negation mal der Negation dieses Gebietes. Für die Gleichung a x + b x1 = 0, wo a b = 0 ist, hat man also die Wurzeln x, neben welchen auch deren Negation angegeben werden mag: ϰ) x = a1 u + b u1, x1 = a u + b1 u1, worin man wegen der Willkürlichkeit von u natürlich auch u und u1 hätte vertauschen können. λ) Die Auflösungen lassen sich nun aber auch noch in folgenden Formen schreiben: λ) x = b + a1 u = a1 (b + u), x1 = b1 (a + u1) = a + b1 u1,

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 458. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/478>, abgerufen am 19.05.2024.