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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Eilfte Vorlesung.
tante nicht immer eine Relation sein, sondern manchmal nur eine analytische
Proposition, eine Identität.

Soll in der Arithmetik ein System von Gleichungen nach einem System
von Unbekannten auflösbar sein, so darf die Anzahl der unabhängigen
Gleichungen nicht grösser sein, als die Anzahl der Unbekannten und dürfen
auch keine den andern widersprechende Gleichungen mit vorliegen.

Im identischen Kalkul darf sie beliebig gross sein.

Eine Ähnlichkeit zwischen beiden Disziplinen erblicken wir aber darin,
dass hier wie dort das Auflösungsproblem nicht unbedingt, nicht in allen
Fällen lösbar ist.

In der Arithmetik erscheinen durch die Gleichungen die Unbekannten
nicht völlig bestimmt, sie bleiben teilweise willkürlich, die Auflösungen
sind vieldeutige, jedenfalls dann, wenn (Auflösbarkeit vorausgesetzt) die An-
zahl der Gleichungen kleiner ist, wie die der Unbekannten.

Im identischen Kalkul ist die Auflösung in der Regel eine mehrdeu-
tige, auch schon bei einer Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten,
und mit andern Problemen als mit einer Gleichung ersten Grades können
wir hier zunächst überhaupt nicht zu thun haben.

e) Um für die Anwendungen das Th. 50+) sich einzuprägen, merke
man (einerseits):

Die Resultante der Elimination eines Symbols, einer Unbekannten x,
aus einer rechts auf 0 gebrachten links nach dieser entwickelten Glei-
chung ergibt sich, indem man das Produkt der Koeffizienten von dieser
Unbekannten und ihrer Negation gleich 0 setzt.

Man kann aber -- auf zwei Arten -- der Gleichung eine solche
Form geben, dass die Elimination sich schon vollzieht, indem man ein-
fach den Eliminanden und seine Negation ausstreicht, unterdrückt.

Einmal nämlich trifft dies zu,
wenn man die linke Seite der Glei-
chung als Produkt schreibt, sie in
ihre "letzten Faktoren" zerlegt. So
wird sie:
(a + x1) (b + x) = 0
und unterdrückt man hier die zwei-
ten Glieder der Binome, so ergibt
sich in der That die Resultante:
a b = 0.		Ebenso trifft es zu, wenn man,
die linke Seite wie früher entwickelt
lassend, die Gleichung rechts auf 1
bringt -- vergl. Th. 32).
Für a x + b x1 = 0 haben wir
dann zu sagen:
a1 x + b1 x1 = 1
und wird durch Löschen von x
und x1 hier in der That entstehen:
a1 + b1 = 1,
eine Gleichung die mit der Resul-
tante a b = 0 nach Th. 32 und 36)
äquivalent ist.

Stellte man aber, während die Gleichung rechts auf 1 gebracht ist,
zugleich auch die linke Seite als Produkt dar, schriebe man also:

Eilfte Vorlesung.
tante nicht immer eine Relation sein, sondern manchmal nur eine analytische
Proposition, eine Identität.

Soll in der Arithmetik ein System von Gleichungen nach einem System
von Unbekannten auflösbar sein, so darf die Anzahl der unabhängigen
Gleichungen nicht grösser sein, als die Anzahl der Unbekannten und dürfen
auch keine den andern widersprechende Gleichungen mit vorliegen.

Im identischen Kalkul darf sie beliebig gross sein.

Eine Ähnlichkeit zwischen beiden Disziplinen erblicken wir aber darin,
dass hier wie dort das Auflösungsproblem nicht unbedingt, nicht in allen
Fällen lösbar ist.

In der Arithmetik erscheinen durch die Gleichungen die Unbekannten
nicht völlig bestimmt, sie bleiben teilweise willkürlich, die Auflösungen
sind vieldeutige, jedenfalls dann, wenn (Auflösbarkeit vorausgesetzt) die An-
zahl der Gleichungen kleiner ist, wie die der Unbekannten.

Im identischen Kalkul ist die Auflösung in der Regel eine mehrdeu-
tige, auch schon bei einer Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten,
und mit andern Problemen als mit einer Gleichung ersten Grades können
wir hier zunächst überhaupt nicht zu thun haben.

η) Um für die Anwendungen das Th. 50+) sich einzuprägen, merke
man (einerseits):

Die Resultante der Elimination eines Symbols, einer Unbekannten x,
aus einer rechts auf 0 gebrachten links nach dieser entwickelten Glei-
chung ergibt sich, indem man das Produkt der Koeffizienten von dieser
Unbekannten und ihrer Negation gleich 0 setzt.

Man kann aber — auf zwei Arten — der Gleichung eine solche
Form geben, dass die Elimination sich schon vollzieht, indem man ein-
fach den Eliminanden und seine Negation ausstreicht, unterdrückt.

Einmal nämlich trifft dies zu,
wenn man die linke Seite der Glei-
chung als Produkt schreibt, sie in
ihre „letzten Faktoren“ zerlegt. So
wird sie:
(a + x1) (b + x) = 0
und unterdrückt man hier die zwei-
ten Glieder der Binome, so ergibt
sich in der That die Resultante:
a b = 0.		Ebenso trifft es zu, wenn man,
die linke Seite wie früher entwickelt
lassend, die Gleichung rechts auf 1
bringt — vergl. Th. 32).
Für a x + b x1 = 0 haben wir
dann zu sagen:
a1 x + b1 x1 = 1
und wird durch Löschen von x
und x1 hier in der That entstehen:
a1 + b1 = 1,
eine Gleichung die mit der Resul-
tante a b = 0 nach Th. 32 und 36)
äquivalent ist.

Stellte man aber, während die Gleichung rechts auf 1 gebracht ist,
zugleich auch die linke Seite als Produkt dar, schriebe man also:

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[456/0476] Eilfte Vorlesung. tante nicht immer eine Relation sein, sondern manchmal nur eine analytische Proposition, eine Identität. Soll in der Arithmetik ein System von Gleichungen nach einem System von Unbekannten auflösbar sein, so darf die Anzahl der unabhängigen Gleichungen nicht grösser sein, als die Anzahl der Unbekannten und dürfen auch keine den andern widersprechende Gleichungen mit vorliegen. Im identischen Kalkul darf sie beliebig gross sein. Eine Ähnlichkeit zwischen beiden Disziplinen erblicken wir aber darin, dass hier wie dort das Auflösungsproblem nicht unbedingt, nicht in allen Fällen lösbar ist. In der Arithmetik erscheinen durch die Gleichungen die Unbekannten nicht völlig bestimmt, sie bleiben teilweise willkürlich, die Auflösungen sind vieldeutige, jedenfalls dann, wenn (Auflösbarkeit vorausgesetzt) die An- zahl der Gleichungen kleiner ist, wie die der Unbekannten. Im identischen Kalkul ist die Auflösung in der Regel eine mehrdeu- tige, auch schon bei einer Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten, und mit andern Problemen als mit einer Gleichung ersten Grades können wir hier zunächst überhaupt nicht zu thun haben. η) Um für die Anwendungen das Th. 50+) sich einzuprägen, merke man (einerseits): Die Resultante der Elimination eines Symbols, einer Unbekannten x, aus einer rechts auf 0 gebrachten links nach dieser entwickelten Glei- chung ergibt sich, indem man das Produkt der Koeffizienten von dieser Unbekannten und ihrer Negation gleich 0 setzt. Man kann aber — auf zwei Arten — der Gleichung eine solche Form geben, dass die Elimination sich schon vollzieht, indem man ein- fach den Eliminanden und seine Negation ausstreicht, unterdrückt. Einmal nämlich trifft dies zu, wenn man die linke Seite der Glei- chung als Produkt schreibt, sie in ihre „letzten Faktoren“ zerlegt. So wird sie: (a + x1) (b + x) = 0 und unterdrückt man hier die zwei- ten Glieder der Binome, so ergibt sich in der That die Resultante: a b = 0. Ebenso trifft es zu, wenn man, die linke Seite wie früher entwickelt lassend, die Gleichung rechts auf 1 bringt — vergl. Th. 32). Für a x + b x1 = 0 haben wir dann zu sagen: a1 x + b1 x1 = 1 und wird durch Löschen von x und x1 hier in der That entstehen: a1 + b1 = 1, eine Gleichung die mit der Resul- tante a b = 0 nach Th. 32 und 36) äquivalent ist. Stellte man aber, während die Gleichung rechts auf 1 gebracht ist, zugleich auch die linke Seite als Produkt dar, schriebe man also:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 456. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/476>, abgerufen am 19.05.2024.