Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.

Resultante der Elimination von x aus der Gleichung a x + b x₁ = 0 zu
bezeichnen sein, sintemal, wenn jene erfüllt ist, es nach β) auch immer
Werte von x gibt welche diese erfüllen.

Die erste Gleichung des Theorems exemplifizirt das B, die zweite
das R der obigen allgemeinen Betrachtungen.

Sollte die vereinigte Gleichung das x gar nicht enthalten, so wird
sie, wenn wir a ihre linke Seite nennen, die Form a = 0 haben.
Nach Früherem können wir ihr Polynom gleichwol nach x „entwickeln“,
wodurch sie wird:
a x + a x₁ = 0,
und wenn wir jetzt x wieder regelrecht eliminiren, so ergibt sich
a a = 0 oder a = 0 als die Resultante — somit in der That wiederum
die ursprüngliche Gleichung in Bestätigung des oben Gesagten.

Ungeachtet der durchgängigen Übereinstimmung der Begriffe von „Eli-
mination“, „Resultante“, „Wurzeln“ und „Auflösung“ in Bezug auf Glei-
chungen des arithmetischen, wie auf Propositionen des identischen Kalkuls
gestaltet sich die Anwendung dieser Begriffe in beiden Disziplinen doch
sehr verschieden!

In der Arithmetik erweist sich das Eliminationsproblem sowol als das
Auflösungsproblem in bestimmter Weise abhängig von der Anzahl der zur
Verfügung stehenden („von einander unabhängigen“) Gleichungen in ihrem
Verhältniss zur Anzahl der zu eliminirenden, beziehungsweise als Unbe-
kannte zu berechnenden Zahlgrössen. Im identischen Kalkul, in Bezug auf
Gebiete, ist dieses, wie sich zeigte, durchaus nicht der Fall.

In der Arithmetik kann man aus einer Gleichung überhaupt nichts
eliminiren — sofern die Resultante wieder eine Gleichung werden soll.
[Allerdings liesse sich z. B. im Gebiet der positiven Zahlen eine Unglei-
chung, wie a > b, auch als die Resultante der Elimination des x aus der
Gleichung a = b + x hinstellen.]

Man ist nicht im stande, aus einer (synthetischen) Gleichung eine andre
abzuleiten, welche eine oder mehrere Buchstabenzahlen, die in der erstern
vorkamen, nicht mehr enthält, wofern diese nicht nach den Regeln der
Arithmetik von selbst aus ihr herausfallen.

Damit Elimination möglich sei, dürfen erstens die gegebenen Glei-
chungen einander nicht widersprechen und muss zweitens die Anzahl der
„unabhängigen“ Gleichungen (d. h. solcher von welchen keine aus den
übrigen folgt), um eins grösser sein als die Anzahl der Eliminanden.

Um eine Grösse zu eliminiren sind also in der Arithmetik mindestens
zwei Gleichungen erforderlich, für n Grössen mindestens n + 1 Gleichungen.

Im identischen Kalkul kann schon aus einer Gleichung jedes beliebige
Gebietsymbol eliminirt werden, und gleichwie eines, so auch mehrere nach-
einander oder auch a tempo, auf einmal (eine Aufgabe die wir noch zu
betrachten haben werden). Hier ist das Eliminationsproblem ganz allgemein
lösbar. Aus jeder beliebigen Menge von Propositionen lässt sich eine be-
liebige Gruppe von symbolen jederzeit eliminiren. Nur wird die Resul-