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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zehnte Vorlesung.
von Argumenten (für ein Argument mehr) dann gelten muss ("Schluss
von n auf n + 1" oder "Verfahren der vollständigen Induktion").

Hinreichend wird dies erhellen, wenn wir es für zwei und drei
Argumente durchführen.

Ist f der vorige Ausdruck, so kann man, denselben nach y an-
ordnend, schreiben:
f = (a x + c x1) y + (b x + d x1) y1.
Nach dem für ein Argument (y) bereits bewiesenen Satze muss also
a b x + c d x1 f (a + b) x + (c + d) x1
sein, und kann f jeden zwischen diesen "Grenzen" oder "einschliessenden
Werten" gelegenen Wert auch wirklich annehmen. Nach dem für ein
Argument (x) bewiesenen Satze ist aber a b · c d der Minimalwert des
Subjektes von f, links, und (a + b) + (c + d) der Maximalwert seines
Prädikates rechts (bei variablem x). Folglich kann f jeden zwischen
a b c d und a + b + c + d gelegnen Wert wirklich annehmen, q. e. d.

Sei s = F (x, y, z) irgend eine Funktion von drei Argumenten und
mögen a, b, c, d, e, f, g, h die Koeffizienten ihrer geordneten Ent-
wickelung heissen, so ist nach z entwickelt:
s = F (x, y, 1) z + F (x, y, 0) z1,
folglich
F (x, y, 1) · F (x, y, 0) s F (x, y, 1) + F (x, y, 0),
d. h.
a b x y + c d x y1 + e f x1 y + g h x1 y1 s (a + b) x y + (c + d) x y1 + (e + f) x1 y + (g + h) x1 y1,
mithin s jedes Zwischenwertes zwischen dem Minimalwert a b · c d · e f · g h
der linken und dem Maximalwert (a + b) + (c + d) + (e + f) + (g + h) der
rechten Seite, also zwischen a b c d e f g h und a + b + c + d + e + f + g + h, fähig.

Man hätte auch zuerst nach x, y anordnen und die für ein und
zwei Argumente schon bewiesenen Sätze in der umgekehrten Folge
anwenden können. --

Um hiernach die Bedeutungen, welche einem Ausdruck für irgend-
welche Werte einer bestimmten Gruppe von Buchstaben zukommen
können, sofort zu überschauen, braucht man nur den Ausdruck nach
ebendiesen Buchstaben zu entwickeln und alsdann das Th. 48) anzu-
wenden.

Zusatz zu Th. 48+).

Jede Menge von arbiträren Gebietssymbolen, die in einer Funktion
im identischen Kalkul vorkommen, lässt sich stets durch ein einziges
arbiträres Gebiet ersetzen.

Zehnte Vorlesung.
von Argumenten (für ein Argument mehr) dann gelten muss („Schluss
von n auf n + 1“ oder „Verfahren der vollständigen Induktion“).

Hinreichend wird dies erhellen, wenn wir es für zwei und drei
Argumente durchführen.

Ist f der vorige Ausdruck, so kann man, denselben nach y an-
ordnend, schreiben:
f = (a x + c x1) y + (b x + d x1) y1.
Nach dem für ein Argument (y) bereits bewiesenen Satze muss also
a b x + c d x1 ⋹ f ⋹ (a + b) x + (c + d) x1
sein, und kann f jeden zwischen diesen „Grenzen“ oder „einschliessenden
Werten“ gelegenen Wert auch wirklich annehmen. Nach dem für ein
Argument (x) bewiesenen Satze ist aber a b · c d der Minimalwert des
Subjektes von f, links, und (a + b) + (c + d) der Maximalwert seines
Prädikates rechts (bei variablem x). Folglich kann f jeden zwischen
a b c d und a + b + c + d gelegnen Wert wirklich annehmen, q. e. d.

Sei s = F (x, y, z) irgend eine Funktion von drei Argumenten und
mögen a, b, c, d, e, f, g, h die Koeffizienten ihrer geordneten Ent-
wickelung heissen, so ist nach z entwickelt:
s = F (x, y, 1) z + F (x, y, 0) z1,
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mithin s jedes Zwischenwertes zwischen dem Minimalwert a b · c d · e f · g h
der linken und dem Maximalwert (a + b) + (c + d) + (e + f) + (g + h) der
rechten Seite, also zwischen a b c d e f g h und a + b + c + d + e + f + g + h, fähig.

Man hätte auch zuerst nach x, y anordnen und die für ein und
zwei Argumente schon bewiesenen Sätze in der umgekehrten Folge
anwenden können. —

Um hiernach die Bedeutungen, welche einem Ausdruck für irgend-
welche Werte einer bestimmten Gruppe von Buchstaben zukommen
können, sofort zu überschauen, braucht man nur den Ausdruck nach
ebendiesen Buchstaben zu entwickeln und alsdann das Th. 48) anzu-
wenden.

Zusatz zu Th. 48+).

Jede Menge von arbiträren Gebietssymbolen, die in einer Funktion
im identischen Kalkul vorkommen, lässt sich stets durch ein einziges
arbiträres Gebiet ersetzen.

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[430/0450] Zehnte Vorlesung. von Argumenten (für ein Argument mehr) dann gelten muss („Schluss von n auf n + 1“ oder „Verfahren der vollständigen Induktion“). Hinreichend wird dies erhellen, wenn wir es für zwei und drei Argumente durchführen. Ist f der vorige Ausdruck, so kann man, denselben nach y an- ordnend, schreiben: f = (a x + c x1) y + (b x + d x1) y1. Nach dem für ein Argument (y) bereits bewiesenen Satze muss also a b x + c d x1 ⋹ f ⋹ (a + b) x + (c + d) x1 sein, und kann f jeden zwischen diesen „Grenzen“ oder „einschliessenden Werten“ gelegenen Wert auch wirklich annehmen. Nach dem für ein Argument (x) bewiesenen Satze ist aber a b · c d der Minimalwert des Subjektes von f, links, und (a + b) + (c + d) der Maximalwert seines Prädikates rechts (bei variablem x). Folglich kann f jeden zwischen a b c d und a + b + c + d gelegnen Wert wirklich annehmen, q. e. d. Sei s = F (x, y, z) irgend eine Funktion von drei Argumenten und mögen a, b, c, d, e, f, g, h die Koeffizienten ihrer geordneten Ent- wickelung heissen, so ist nach z entwickelt: s = F (x, y, 1) z + F (x, y, 0) z1, folglich F (x, y, 1) · F (x, y, 0) ⋹ s ⋹ F (x, y, 1) + F (x, y, 0), d. h. a b x y + c d x y1 + e f x1 y + g h x1 y1 ⋹ s ⋹ (a + b) x y + (c + d) x y1 + (e + f) x1 y + (g + h) x1 y1, mithin s jedes Zwischenwertes zwischen dem Minimalwert a b · c d · e f · g h der linken und dem Maximalwert (a + b) + (c + d) + (e + f) + (g + h) der rechten Seite, also zwischen a b c d e f g h und a + b + c + d + e + f + g + h, fähig. Man hätte auch zuerst nach x, y anordnen und die für ein und zwei Argumente schon bewiesenen Sätze in der umgekehrten Folge anwenden können. — Um hiernach die Bedeutungen, welche einem Ausdruck für irgend- welche Werte einer bestimmten Gruppe von Buchstaben zukommen können, sofort zu überschauen, braucht man nur den Ausdruck nach ebendiesen Buchstaben zu entwickeln und alsdann das Th. 48) anzu- wenden. Zusatz zu Th. 48+). Jede Menge von arbiträren Gebietssymbolen, die in einer Funktion im identischen Kalkul vorkommen, lässt sich stets durch ein einziges arbiträres Gebiet ersetzen.

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Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 430. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/450>, abgerufen am 08.05.2024.