Behufs Beweises ist nur zu zeigen, dass man zwei arbiträre Gebiete u, v jeweils durch eines w vertreten lassen kann (ohne dass. dies von Einfluss auf den Variabilitätsbereich des Ausdrucks wäre). Auf diese Weise wird man dann die Anzahl der vorkommenden arbi- trären Symbole solange fortgesetzt um eins vermindern können, bis sie gleich eins geworden ist.
Denkt man sich aber den die arbiträren Gebiete u, v enthaltenden Ausdruck f nach diesen entwickelt, so wird er nach Th. 44+) die ("bi-")lineare homogene Form haben: f = a u v + b u v1 + c u1v + d u1v1, und alle Werte, deren dieser Ausdruck fähig ist, sowie nur solche, können nach Th. 48+) auch von dem folgenden Ausdruck angenommen werden: f = a b c d + w (a + b + c + d) und umgekehrt, sodass dieser letztere für eine offen gelassene Be- deutung des Gebietes w gerade so allgemein ist, wie der vorhergehende für unbestimmte u, v.
Die Gesamtheit der Bedeutungen des erstern fällt zusammen mit der Gesamtheit der Bedeutungen des letzteren Ausdrucks, weshalb es gestattet war, denselben Buchstaben f zur Bezeichnung beider zu ver- wenden.
Exempel 1. Auf diese Weise, wenn immerfort u, v, w ganz willkürliche Gebiete vorstellen, vereinfacht sich der folgende Ausdruck linkerhand zu demjenigen rechterhand in der Gleichung: a d u v1 + b c u1v + v {a d (b + c) + b c (a + d)} = w (a d + b c). Es stellt also die linke Seite unter allen Umständen, was immer auch u und v bedeuten mögen, einen Teil des Gebietes a d + b c vor, und zwar jeden gewünschten.
Exempel 2. Es ist ganz allgemein: {a (u + b1) + b (u1 + a1)} (v + c1d1) + {c (u + d1) + d (u1 + c1)} (v1 + a1b1) = a + b + c + d. Die linke Seite ist hier trotz der Unbestimmtheit von u, v ein eindeu- tiger Ausdruck, sie ist konstant bezüglich u, v, wie man bereits durch die, der Anwendung unsres Zusatzes ohnehin voranzuschickende, Ent- wickelung der linken Seite nach u, v erkennt.
Hier, meinen wir einmal, ist der gemeine Verstand ohne die Technik des Kalkuls nicht ausreichend. Die intuitiv anschauliche Erkenntniss dürfte wol bei vorliegender Aufgabe die Rechnung nicht einholen. Man versuche doch einmal, auch nur für einen konkreten Fall das, was die Gleichung behauptet zu begreifen, indem man etwa
§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
Behufs Beweises ist nur zu zeigen, dass man zwei arbiträre Gebiete u, v jeweils durch eines w vertreten lassen kann (ohne dass. dies von Einfluss auf den Variabilitätsbereich des Ausdrucks wäre). Auf diese Weise wird man dann die Anzahl der vorkommenden arbi- trären Symbole solange fortgesetzt um eins vermindern können, bis sie gleich eins geworden ist.
Denkt man sich aber den die arbiträren Gebiete u, v enthaltenden Ausdruck f nach diesen entwickelt, so wird er nach Th. 44+) die („bi-“)lineare homogene Form haben: f = a u v + b u v1 + c u1v + d u1v1, und alle Werte, deren dieser Ausdruck fähig ist, sowie nur solche, können nach Th. 48+) auch von dem folgenden Ausdruck angenommen werden: f = a b c d + w (a + b + c + d) und umgekehrt, sodass dieser letztere für eine offen gelassene Be- deutung des Gebietes w gerade so allgemein ist, wie der vorhergehende für unbestimmte u, v.
Die Gesamtheit der Bedeutungen des erstern fällt zusammen mit der Gesamtheit der Bedeutungen des letzteren Ausdrucks, weshalb es gestattet war, denselben Buchstaben f zur Bezeichnung beider zu ver- wenden.
Exempel 1. Auf diese Weise, wenn immerfort u, v, w ganz willkürliche Gebiete vorstellen, vereinfacht sich der folgende Ausdruck linkerhand zu demjenigen rechterhand in der Gleichung: a d u v1 + b c u1v + v {a d (b + c) + b c (a + d)} = w (a d + b c). Es stellt also die linke Seite unter allen Umständen, was immer auch u und v bedeuten mögen, einen Teil des Gebietes a d + b c vor, und zwar jeden gewünschten.
Exempel 2. Es ist ganz allgemein: {a (u + b1) + b (u1 + a1)} (v + c1d1) + {c (u + d1) + d (u1 + c1)} (v1 + a1b1) = a + b + c + d. Die linke Seite ist hier trotz der Unbestimmtheit von u, v ein eindeu- tiger Ausdruck, sie ist konstant bezüglich u, v, wie man bereits durch die, der Anwendung unsres Zusatzes ohnehin voranzuschickende, Ent- wickelung der linken Seite nach u, v erkennt.
Hier, meinen wir einmal, ist der gemeine Verstand ohne die Technik des Kalkuls nicht ausreichend. Die intuitiv anschauliche Erkenntniss dürfte wol bei vorliegender Aufgabe die Rechnung nicht einholen. Man versuche doch einmal, auch nur für einen konkreten Fall das, was die Gleichung behauptet zu begreifen, indem man etwa
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[431/0451]
§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
Behufs Beweises ist nur zu zeigen, dass man zwei arbiträre
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dies von Einfluss auf den Variabilitätsbereich des Ausdrucks wäre).
Auf diese Weise wird man dann die Anzahl der vorkommenden arbi-
trären Symbole solange fortgesetzt um eins vermindern können, bis
sie gleich eins geworden ist.
Denkt man sich aber den die arbiträren Gebiete u, v enthaltenden
Ausdruck f nach diesen entwickelt, so wird er nach Th. 44+) die
(„bi-“)lineare homogene Form haben:
f = a u v + b u v1 + c u1 v + d u1 v1,
und alle Werte, deren dieser Ausdruck fähig ist, sowie nur solche,
können nach Th. 48+) auch von dem folgenden Ausdruck angenommen
werden:
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und umgekehrt, sodass dieser letztere für eine offen gelassene Be-
deutung des Gebietes w gerade so allgemein ist, wie der vorhergehende
für unbestimmte u, v.
Die Gesamtheit der Bedeutungen des erstern fällt zusammen mit
der Gesamtheit der Bedeutungen des letzteren Ausdrucks, weshalb es
gestattet war, denselben Buchstaben f zur Bezeichnung beider zu ver-
wenden.
Exempel 1. Auf diese Weise, wenn immerfort u, v, w ganz
willkürliche Gebiete vorstellen, vereinfacht sich der folgende Ausdruck
linkerhand zu demjenigen rechterhand in der Gleichung:
a d u v1 + b c u1 v + v {a d (b + c) + b c (a + d)} = w (a d + b c).
Es stellt also die linke Seite unter allen Umständen, was immer auch
u und v bedeuten mögen, einen Teil des Gebietes a d + b c vor, und
zwar jeden gewünschten.
Exempel 2. Es ist ganz allgemein:
{a (u + b1) + b (u1 + a1)} (v + c1 d1) + {c (u + d1) + d (u1 + c1)} (v1 + a1 b1) = a + b + c + d.
Die linke Seite ist hier trotz der Unbestimmtheit von u, v ein eindeu-
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die, der Anwendung unsres Zusatzes ohnehin voranzuschickende, Ent-
wickelung der linken Seite nach u, v erkennt.
Hier, meinen wir einmal, ist der gemeine Verstand ohne die Technik
des Kalkuls nicht ausreichend. Die intuitiv anschauliche Erkenntniss dürfte
wol bei vorliegender Aufgabe die Rechnung nicht einholen. Man versuche
doch einmal, auch nur für einen konkreten Fall das, was die Gleichung
behauptet zu begreifen, indem man etwa
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 431. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/451>, abgerufen am 25.08.2024.
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