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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zehnte Vorlesung.
daher ist nach Th. 20x):
a b f und f a + b,
somit f in der That zwischen a b und a + b gelegen.

Ebenso leicht wäre dies auch mittelst a b + f = f und f + (a + b) = a + b
zu zeigen gewesen. Desgleichen ganz direkt: Es ist nach 6x) a x a,
b x1 b, woraus durch überschiebendes Addiren folgt: f a + b. Und
ferner ist: f = (a + a b) x + (a b + b) x1 = x a + a b + b x1,
sonach kraft 6+): a b f.

Daher muss nach Th. 47) nun f sich darstellen lassen in der Form:
f = a b w1 + (a + b) w.

Damit aber diese Gleichung, d. h.
a x + b x1 = a b + w (a + b),
zu einer richtigen Identität werde, kann man zu jedem gegebenen x
ein w angeben, und zu jedem gegebenen w ein x, das sie erfüllt. Für
ersteres genügt die Annahme:
w = a x + b x1,
für letzteres die Annahme:
x = a1 b w1 + a b1 w,
wie man leicht nachrechnet.

In der That ist also f zwischen a · b und a + b auch jedes Zwischen-
wertes fähig, und zwar wird der Ausdruck a x + b x1 einen gegebenen
Wert f, für den nur
a b f a + b
ist, annehmen, indem man
x = a1 b f1 + a b1 f, somit x1 = (a + b1) f1 + (a1 + b) f
nimmt, da nach dem Hülfstheorem zu 47+) dann sein wird:
a b f1 + (a + b) f = f.

Beweis für zwei Argumente. Sei
f = a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1,
so sieht man, dass
a b c d · f = a b c d und (a + b + c + d) + f = a + b + c + d
ist. Nach Th. 20) haben wir also in der That:
a b c d f und f a + b + c + d,
wie dies auch noch auf verschiedene andere Arten wieder nachweis-
bar wäre.

Zehnte Vorlesung.
daher ist nach Th. 20×):
a b ⋹ f und f ⋹ a + b,
somit f in der That zwischen a b und a + b gelegen.

Ebenso leicht wäre dies auch mittelst a b + f = f und f + (a + b) = a + b
zu zeigen gewesen. Desgleichen ganz direkt: Es ist nach 6×) a x ⋹ a,
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ferner ist: f = (a + a b) x + (a b + b) x1 = x a + a b + b x1,
sonach kraft 6+): a b ⋹ f.

Daher muss nach Th. 47) nun f sich darstellen lassen in der Form:
f = a b w1 + (a + b) w.

Damit aber diese Gleichung, d. h.
a x + b x1 = a b + w (a + b),
zu einer richtigen Identität werde, kann man zu jedem gegebenen x
ein w angeben, und zu jedem gegebenen w ein x, das sie erfüllt. Für
ersteres genügt die Annahme:
w = a x + b x1,
für letzteres die Annahme:
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wie man leicht nachrechnet.

In der That ist also f zwischen a · b und a + b auch jedes Zwischen-
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Beweis für zwei Argumente. Sei
f = a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1,
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[428/0448] Zehnte Vorlesung. daher ist nach Th. 20×): a b ⋹ f und f ⋹ a + b, somit f in der That zwischen a b und a + b gelegen. Ebenso leicht wäre dies auch mittelst a b + f = f und f + (a + b) = a + b zu zeigen gewesen. Desgleichen ganz direkt: Es ist nach 6×) a x ⋹ a, b x1 ⋹ b, woraus durch überschiebendes Addiren folgt: f ⋹ a + b. Und ferner ist: f = (a + a b) x + (a b + b) x1 = x a + a b + b x1, sonach kraft 6+): a b ⋹ f. Daher muss nach Th. 47) nun f sich darstellen lassen in der Form: f = a b w1 + (a + b) w. Damit aber diese Gleichung, d. h. a x + b x1 = a b + w (a + b), zu einer richtigen Identität werde, kann man zu jedem gegebenen x ein w angeben, und zu jedem gegebenen w ein x, das sie erfüllt. Für ersteres genügt die Annahme: w = a x + b x1, für letzteres die Annahme: x = a1 b w1 + a b1 w, wie man leicht nachrechnet. In der That ist also f zwischen a · b und a + b auch jedes Zwischen- wertes fähig, und zwar wird der Ausdruck a x + b x1 einen gegebenen Wert f, für den nur a b ⋹ f ⋹ a + b ist, annehmen, indem man x = a1 b f1 + a b1 f, somit x1 = (a + b1) f1 + (a1 + b) f nimmt, da nach dem Hülfstheorem zu 47+) dann sein wird: a b f1 + (a + b) f = f. Beweis für zwei Argumente. Sei f = a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1, so sieht man, dass a b c d · f = a b c d und (a + b + c + d) + f = a + b + c + d ist. Nach Th. 20) haben wir also in der That: a b c d ⋹ f und f ⋹ a + b + c + d, wie dies auch noch auf verschiedene andere Arten wieder nachweis- bar wäre.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 428. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/448>, abgerufen am 08.05.2024.