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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
der Arithmetik etwa das Durchlaufen der reellen Zahlen von 0 bis 1, die
daselbst ja eine bestimmte Reihenfolge haben.

Zunächst unterscheiden sich nur solche Werte von
x = a + w b = a + w a1 b
-- cf. Th. 33+) Zusatz -- bei denen der Term w a1 b verschieden ausfällt.
Es kommt nur auf die ausserhalb a zugleich aber innerhalb b liegenden
Gebietsteile von w an, wogegen es gleichgültig ist, wie man die inuerhalb
a oder ausserhalb b fallenden Teile von w festlegt, welche Punkte von a
sowie von b1 man zu w rechnet oder nicht rechnet.

Wenn w den Wert 0 verlässt, so erhalten wir demnach die nächsten
Bedeutungen von x, wenn wir w nur einen Punkt des Gebietes a1 b be-
deuten lassen, aber jeden, einzeln genommen, successive. Hernach werden
wir dem w die Bedeutung jedes denkbaren Punktepaares, Punktetripels,
Quadrupels etc. von innerhalb des Gebietes a1 b unterzulegen haben. Es
folgen Punktmengen aus unendlich vielen diskreten Punkten von a1 b, die
sich in der Nähe einer oder mehrerer Stellen unendlich dicht häufen, dann
solche, die längs eines Linienstücks überall dicht sind, solche Punktmengen,
die ein Linienstück stetig ausfüllen, dieses wieder kombinirt mit allen
früheren Punkten, Punktmengen, etc. dasselbe verlängert oder dazu ein
zweites genommen, und so weiter, dann folgen Flächengebiete aus a1 b
herausgegriffen, dann auch mit früherem kombinirt, etc. Zuletzt die ganze
Fläche a1 b ohne irgend ein Punktetripel, ohne ein gewisses Punktepaar,
ohne einen einzelnen Punkt dieser Fläche auf jede denkbare Weise ge-
bildet, zu allerletzt diese Fläche a1 b voll genommen -- immerfort mit be-
liebiger Besetzung der ausserhalb a1 b liegenden (dem Gebiete a + b1 ange-
hörigen) Punkte.

Insbesondre fliesst aus Th. 47) jetzt auch das Th. 43x), indem,
wenn a b ist, auch 0 a b, mithin a ein Zwischenwert zwischen
0 und b zu nennen sein wird. Derselbe kann hienach durch 0 + w b,
also w b dargestellt werden, und umgekehrt stellt a = w b stets einen
solchen vor.

Nach diesen vorbetrachtungen wird der Satz verständlich sein:
48+) Theorem.

Eine Funktion im identischen Kalkul liegt immer zwischen dem
Produkte und der Summe der Koeffizienten ihrer Entwickelung, und zwar
ist sie fähig, jeden zwischen diesen beiden Grenzen liegenden Wert
(mit Einschluss ebendieser Grenzen) auch wirklich anzunehmen dadurch,
dass man für ihre Argumente geeignete Werte wählt.

Beweis -- zunächst für ein Argument. Sei
f = a x + b x1,
so berechnet sich:
f · a b = a b und (a + b) · f = f,

§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
der Arithmetik etwa das Durchlaufen der reellen Zahlen von 0 bis 1, die
daselbst ja eine bestimmte Reihenfolge haben.

Zunächst unterscheiden sich nur solche Werte von
x = a + w b = a + w a1 b
— cf. Th. 33+) Zusatz — bei denen der Term w a1 b verschieden ausfällt.
Es kommt nur auf die ausserhalb a zugleich aber innerhalb b liegenden
Gebietsteile von w an, wogegen es gleichgültig ist, wie man die inuerhalb
a oder ausserhalb b fallenden Teile von w festlegt, welche Punkte von a
sowie von b1 man zu w rechnet oder nicht rechnet.

Wenn w den Wert 0 verlässt, so erhalten wir demnach die nächsten
Bedeutungen von x, wenn wir w nur einen Punkt des Gebietes a1 b be-
deuten lassen, aber jeden, einzeln genommen, successive. Hernach werden
wir dem w die Bedeutung jedes denkbaren Punktepaares, Punktetripels,
Quadrupels etc. von innerhalb des Gebietes a1 b unterzulegen haben. Es
folgen Punktmengen aus unendlich vielen diskreten Punkten von a1 b, die
sich in der Nähe einer oder mehrerer Stellen unendlich dicht häufen, dann
solche, die längs eines Linienstücks überall dicht sind, solche Punktmengen,
die ein Linienstück stetig ausfüllen, dieses wieder kombinirt mit allen
früheren Punkten, Punktmengen, etc. dasselbe verlängert oder dazu ein
zweites genommen, und so weiter, dann folgen Flächengebiete aus a1 b
herausgegriffen, dann auch mit früherem kombinirt, etc. Zuletzt die ganze
Fläche a1 b ohne irgend ein Punktetripel, ohne ein gewisses Punktepaar,
ohne einen einzelnen Punkt dieser Fläche auf jede denkbare Weise ge-
bildet, zu allerletzt diese Fläche a1 b voll genommen — immerfort mit be-
liebiger Besetzung der ausserhalb a1 b liegenden (dem Gebiete a + b1 ange-
hörigen) Punkte.

Insbesondre fliesst aus Th. 47) jetzt auch das Th. 43×), indem,
wenn a ⋹ b ist, auch 0 ⋹ a ⋹ b, mithin a ein Zwischenwert zwischen
0 und b zu nennen sein wird. Derselbe kann hienach durch 0 + w b,
also w b dargestellt werden, und umgekehrt stellt a = w b stets einen
solchen vor.

Nach diesen vorbetrachtungen wird der Satz verständlich sein:
48+) Theorem.

Eine Funktion im identischen Kalkul liegt immer zwischen dem
Produkte und der Summe der Koeffizienten ihrer Entwickelung, und zwar
ist sie fähig, jeden zwischen diesen beiden Grenzen liegenden Wert
(mit Einschluss ebendieser Grenzen) auch wirklich anzunehmen dadurch,
dass man für ihre Argumente geeignete Werte wählt.

Beweis — zunächst für ein Argument. Sei
f = a x + b x1,
so berechnet sich:
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[427/0447] § 19. Funktionen und deren Entwickelung. der Arithmetik etwa das Durchlaufen der reellen Zahlen von 0 bis 1, die daselbst ja eine bestimmte Reihenfolge haben. Zunächst unterscheiden sich nur solche Werte von x = a + w b = a + w a1 b — cf. Th. 33+) Zusatz — bei denen der Term w a1 b verschieden ausfällt. Es kommt nur auf die ausserhalb a zugleich aber innerhalb b liegenden Gebietsteile von w an, wogegen es gleichgültig ist, wie man die inuerhalb a oder ausserhalb b fallenden Teile von w festlegt, welche Punkte von a sowie von b1 man zu w rechnet oder nicht rechnet. Wenn w den Wert 0 verlässt, so erhalten wir demnach die nächsten Bedeutungen von x, wenn wir w nur einen Punkt des Gebietes a1 b be- deuten lassen, aber jeden, einzeln genommen, successive. Hernach werden wir dem w die Bedeutung jedes denkbaren Punktepaares, Punktetripels, Quadrupels etc. von innerhalb des Gebietes a1 b unterzulegen haben. Es folgen Punktmengen aus unendlich vielen diskreten Punkten von a1 b, die sich in der Nähe einer oder mehrerer Stellen unendlich dicht häufen, dann solche, die längs eines Linienstücks überall dicht sind, solche Punktmengen, die ein Linienstück stetig ausfüllen, dieses wieder kombinirt mit allen früheren Punkten, Punktmengen, etc. dasselbe verlängert oder dazu ein zweites genommen, und so weiter, dann folgen Flächengebiete aus a1 b herausgegriffen, dann auch mit früherem kombinirt, etc. Zuletzt die ganze Fläche a1 b ohne irgend ein Punktetripel, ohne ein gewisses Punktepaar, ohne einen einzelnen Punkt dieser Fläche auf jede denkbare Weise ge- bildet, zu allerletzt diese Fläche a1 b voll genommen — immerfort mit be- liebiger Besetzung der ausserhalb a1 b liegenden (dem Gebiete a + b1 ange- hörigen) Punkte. Insbesondre fliesst aus Th. 47) jetzt auch das Th. 43×), indem, wenn a ⋹ b ist, auch 0 ⋹ a ⋹ b, mithin a ein Zwischenwert zwischen 0 und b zu nennen sein wird. Derselbe kann hienach durch 0 + w b, also w b dargestellt werden, und umgekehrt stellt a = w b stets einen solchen vor. Nach diesen vorbetrachtungen wird der Satz verständlich sein: 48+) Theorem. Eine Funktion im identischen Kalkul liegt immer zwischen dem Produkte und der Summe der Koeffizienten ihrer Entwickelung, und zwar ist sie fähig, jeden zwischen diesen beiden Grenzen liegenden Wert (mit Einschluss ebendieser Grenzen) auch wirklich anzunehmen dadurch, dass man für ihre Argumente geeignete Werte wählt. Beweis — zunächst für ein Argument. Sei f = a x + b x1, so berechnet sich: f · a b = a b und (a + b) · f = f,

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 427. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/447>, abgerufen am 08.05.2024.