lässt dies die Annahme x = a + b w erkennen, in welcher auch w ein ar- biträres Gebiet vorstellt; denn diese Annahme genügt in der That, wie leicht zu proben, der Forderung a + b x = x -- und nebenbei gesagt, wie sich mittelst Th. 50+) zeigen lassen würde, auch auf die allgemeinste Weise.
Der vereinfachte Satz würde nur so sich umkehren lassen: Wenn a + b x = x und zugleich ab ist, so muss x zwischen a und b liegen. In der That kommt dann die Voraussetzung, wie so eben gezeigt, auf die des früheren (umgekehrten) Satzes: a x1 + b x = x hinaus.
Nunmehr beantwortet die aufgeworfene Frage der Satz: 47+) Theorem. Stellt w ein arbiträres Gebiet vor, so ist: x = a w1 + b w die allgemeine Form aller zwischen a und b liegenden Gebiete -- sobald überhaupt zwischen a und b Gebiete liegen können, d. h. ab ist.
Beweis. Ist irgend ein x zwischen a und b gelegen, so sind immer Werte für w angebbar derart, dass unsre Formel gerade dieses x vorstellt. Ein solcher Wert von w ist sicher x selber, indem für w = x in der That a x1 + b x = x nach dem vorigen Hülfssatze sein wird.
Umgekehrt muss bei beliebig angenommenem w der Ausdruck a w1 + b w immer zwischen a und b liegen, sobald nur ab ist.
Da nämlich dann b = a + b ist, so haben wir ähnlich wie oben: a w1 + b w = a w1 + (a + b) w = a + b w und folgt erstens aa + b w nach Th. 6+), und zweitens, wegen b wb -- cf. Th. 6x) -- auch a + b wa + b, d. h. a + b wb. Es ist also a + b w oder a w1 + b w oder x dann zwischen a und b gelegen, q. e. d.
Im Einklang mit der Anschauung wird also der Ausdruck: x = a + w b uns jeden zwischen a und b liegenden Wert vorstellen und nur solche Werte, sobald nämlich von solchen überhaupt zu sprechen, nämlich ab oder a + b = b ist.
Der Mindestbetrag oder "minimale" Wert des x ist der für w = 0 sich ergebende Wert a selber, sein Höchstbetrag oder "maximaler" Wert der für w = 1 sich ergebende Wert b. Und alle dazwischen liegenden Werte überhaupt erhält man, indem man in einer der beiden obigen Gleichungen w von 0 bis 1 variiren lässt -- das heisst, im identischen Kalkul: indem man w alle denkbaren Gebiete unsrer Mannig- faltigkeit vom gänzlich leeren bis zur vollen Tafelfläche als Bedeutung nach einander annehmen, oder wie man sagt "durchlaufen" lässt.
Der Vorgang dieses Durchlaufens ist hier nicht so einfach, wie in
Zehnte Vorlesung.
lässt dies die Annahme x = a + b w erkennen, in welcher auch w ein ar- biträres Gebiet vorstellt; denn diese Annahme genügt in der That, wie leicht zu proben, der Forderung a + b x = x — und nebenbei gesagt, wie sich mittelst Th. 50+) zeigen lassen würde, auch auf die allgemeinste Weise.
Der vereinfachte Satz würde nur so sich umkehren lassen: Wenn a + b x = x und zugleich a ⋹ b ist, so muss x zwischen a und b liegen. In der That kommt dann die Voraussetzung, wie so eben gezeigt, auf die des früheren (umgekehrten) Satzes: a x1 + b x = x hinaus.
Nunmehr beantwortet die aufgeworfene Frage der Satz: 47+) Theorem. Stellt w ein arbiträres Gebiet vor, so ist: x = a w1 + b w die allgemeine Form aller zwischen a und b liegenden Gebiete — sobald überhaupt zwischen a und b Gebiete liegen können, d. h. a ⋹ b ist.
Beweis. Ist irgend ein x zwischen a und b gelegen, so sind immer Werte für w angebbar derart, dass unsre Formel gerade dieses x vorstellt. Ein solcher Wert von w ist sicher x selber, indem für w = x in der That a x1 + b x = x nach dem vorigen Hülfssatze sein wird.
Umgekehrt muss bei beliebig angenommenem w der Ausdruck a w1 + b w immer zwischen a und b liegen, sobald nur a ⋹ b ist.
Da nämlich dann b = a + b ist, so haben wir ähnlich wie oben: a w1 + b w = a w1 + (a + b) w = a + b w und folgt erstens a ⋹ a + b w nach Th. 6+), und zweitens, wegen b w ⋹ b — cf. Th. 6×) — auch a + b w ⋹ a + b, d. h. a + b w ⋹ b. Es ist also a + b w oder a w1 + b w oder x dann zwischen a und b gelegen, q. e. d.
Im Einklang mit der Anschauung wird also der Ausdruck: x = a + w b uns jeden zwischen a und b liegenden Wert vorstellen und nur solche Werte, sobald nämlich von solchen überhaupt zu sprechen, nämlich a ⋹ b oder a + b = b ist.
Der Mindestbetrag oder „minimale“ Wert des x ist der für w = 0 sich ergebende Wert a selber, sein Höchstbetrag oder „maximaler“ Wert der für w = 1 sich ergebende Wert b. Und alle dazwischen liegenden Werte überhaupt erhält man, indem man in einer der beiden obigen Gleichungen w von 0 bis 1 variiren lässt — das heisst, im identischen Kalkul: indem man w alle denkbaren Gebiete unsrer Mannig- faltigkeit vom gänzlich leeren bis zur vollen Tafelfläche als Bedeutung nach einander annehmen, oder wie man sagt „durchlaufen“ lässt.
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[426/0446]
Zehnte Vorlesung.
lässt dies die Annahme x = a + b w erkennen, in welcher auch w ein ar-
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leicht zu proben, der Forderung a + b x = x — und nebenbei gesagt, wie
sich mittelst Th. 50+) zeigen lassen würde, auch auf die allgemeinste Weise.
Der vereinfachte Satz würde nur so sich umkehren lassen: Wenn
a + b x = x und zugleich a ⋹ b ist, so muss x zwischen a und b liegen. In
der That kommt dann die Voraussetzung, wie so eben gezeigt, auf die des
früheren (umgekehrten) Satzes: a x1 + b x = x hinaus.
Nunmehr beantwortet die aufgeworfene Frage der Satz:
47+) Theorem. Stellt w ein arbiträres Gebiet vor, so ist:
x = a w1 + b w
die allgemeine Form aller zwischen a und b liegenden Gebiete — sobald
überhaupt zwischen a und b Gebiete liegen können, d. h. a ⋹ b ist.
Beweis. Ist irgend ein x zwischen a und b gelegen, so sind
immer Werte für w angebbar derart, dass unsre Formel gerade dieses
x vorstellt. Ein solcher Wert von w ist sicher x selber, indem für
w = x in der That a x1 + b x = x nach dem vorigen Hülfssatze sein wird.
Umgekehrt muss bei beliebig angenommenem w der Ausdruck
a w1 + b w immer zwischen a und b liegen, sobald nur a ⋹ b ist.
Da nämlich dann b = a + b ist, so haben wir ähnlich wie oben:
a w1 + b w = a w1 + (a + b) w = a + b w
und folgt erstens a ⋹ a + b w nach Th. 6+), und zweitens, wegen
b w ⋹ b — cf. Th. 6×) — auch a + b w ⋹ a + b, d. h. a + b w ⋹ b. Es
ist also a + b w oder a w1 + b w oder x dann zwischen a und b gelegen,
q. e. d.
Im Einklang mit der Anschauung wird also der Ausdruck:
x = a + w b
uns jeden zwischen a und b liegenden Wert vorstellen und nur solche
Werte, sobald nämlich von solchen überhaupt zu sprechen, nämlich
a ⋹ b oder a + b = b ist.
Der Mindestbetrag oder „minimale“ Wert des x ist der für w = 0
sich ergebende Wert a selber, sein Höchstbetrag oder „maximaler“
Wert der für w = 1 sich ergebende Wert b. Und alle dazwischen
liegenden Werte überhaupt erhält man, indem man in einer der beiden
obigen Gleichungen w von 0 bis 1 variiren lässt — das heisst, im
identischen Kalkul: indem man w alle denkbaren Gebiete unsrer Mannig-
faltigkeit vom gänzlich leeren bis zur vollen Tafelfläche als Bedeutung
nach einander annehmen, oder wie man sagt „durchlaufen“ lässt.
Der Vorgang dieses Durchlaufens ist hier nicht so einfach, wie in
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 426. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/446>, abgerufen am 09.05.2024.
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