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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
von einem "Mittelwerte" nur gesprochen werden kann bei solchen zwei
Gebieten, zwischen welchen die Beziehung der Einordnung, Subsumtion
besteht, von denen das eine im andern enthalten ist. Dies ist stets
vorauszusetzen -- oder es wird mit behauptet -- sobald wir die
Redensart gebrauchen.

Sobald a b ist gibt es immer Mittelwerte (mindestens einen
solchen) zwischen a und b; nach Prinzip I und der Voraussetzung ist
nämlich x = a sowol als x = b alsdann ein solcher. Es kann dar-
nach irgend ein Gebiet a als ein Mittelwert zwischen ihm und sich
selber hingestellt werden -- wie bei der durch die Voraussetzung
a b mit zugelassenen Annahme b = a zu sehen ist.

Wir gehen nun darauf aus, die allgemeine Form der zwischen a
und b liegenden Gebiete, falls es solche gibt, zu finden.

Hier haben wir zunächst das kleine

Hülfstheorem zu Th. 47+). Wenn x zwischen a und b liegt, so
ist stets:
a x1 + b x = x,
und umgekehrt.

Beweis. Ist x zwischen a und b gelegen, so gilt nach der ge-
gebenen Definition und Th. 38x):
a x1 = 0 und b1 x = 0.

Ersetzen wir darnach in dem Ausdrucke a x1 + b x das a x1 durch 0
und dieses durch b1 x, so wird derselbe:
a x1 + b x = b1 x + b x = (b1 + b) x = 1 · x = x
wie einerseits zu zeigen gewesen.

Ist andrerseits a x1 + b x = x, so können wir diese Gleichung mit
x1 beiderseits multipliziren ("durchmultipliziren") und erhalten: a x1 = 0
oder a x -- cf. Th. 38x). Darnach vereinfacht sich aber die Glei-
chung zu: b x = x, was nach Th. 20x) äquivalent ist: x b. Damit
ist also gezeigt dass a x und x b, somit auch a b sein muss,
d. h. dass in der That x zwischen a und b liegt.

Man könnte dem Satze auch die einfachere Form geben: Liegt x
zwischen a und b, so ist
a + b x = x,
in Anbetracht, dass wegen a b nach Th. 20+) b = a + b sein muss.
Setzt man in der That diesen Wert für b in den früheren Ausdruck ein, so
wird derselbe: a x1 + b x = a x1 + (a + b) x = a (x1 + x) + b x = a + b x.

In dieser vereinfachten Gestalt ist aber der Satz nicht rein umkehrbar,
wie in der früheren, vielmehr kann sehr wohl a + b x = x sein, ohne dass
doch a x b, ohne dass überhaupt a b ist. Bei beliebigem a und b

§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
von einem „Mittelwerte“ nur gesprochen werden kann bei solchen zwei
Gebieten, zwischen welchen die Beziehung der Einordnung, Subsumtion
besteht, von denen das eine im andern enthalten ist. Dies ist stets
vorauszusetzen — oder es wird mit behauptet — sobald wir die
Redensart gebrauchen.

Sobald a ⋹ b ist gibt es immer Mittelwerte (mindestens einen
solchen) zwischen a und b; nach Prinzip I und der Voraussetzung ist
nämlich x = a sowol als x = b alsdann ein solcher. Es kann dar-
nach irgend ein Gebiet a als ein Mittelwert zwischen ihm und sich
selber hingestellt werden — wie bei der durch die Voraussetzung
a ⋹ b mit zugelassenen Annahme b = a zu sehen ist.

Wir gehen nun darauf aus, die allgemeine Form der zwischen a
und b liegenden Gebiete, falls es solche gibt, zu finden.

Hier haben wir zunächst das kleine

Hülfstheorem zu Th. 47+). Wenn x zwischen a und b liegt, so
ist stets:
a x1 + b x = x,
und umgekehrt.

Beweis. Ist x zwischen a und b gelegen, so gilt nach der ge-
gebenen Definition und Th. 38×):
a x1 = 0 und b1 x = 0.

Ersetzen wir darnach in dem Ausdrucke a x1 + b x das a x1 durch 0
und dieses durch b1 x, so wird derselbe:
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wie einerseits zu zeigen gewesen.

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x1 beiderseits multipliziren („durchmultipliziren“) und erhalten: a x1 = 0
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chung zu: b x = x, was nach Th. 20×) äquivalent ist: x ⋹ b. Damit
ist also gezeigt dass a ⋹ x und x ⋹ b, somit auch a ⋹ b sein muss,
d. h. dass in der That x zwischen a und b liegt.

Man könnte dem Satze auch die einfachere Form geben: Liegt x
zwischen a und b, so ist
a + b x = x,
in Anbetracht, dass wegen a ⋹ b nach Th. 20+) b = a + b sein muss.
Setzt man in der That diesen Wert für b in den früheren Ausdruck ein, so
wird derselbe: a x1 + b x = a x1 + (a + b) x = a (x1 + x) + b x = a + b x.

In dieser vereinfachten Gestalt ist aber der Satz nicht rein umkehrbar,
wie in der früheren, vielmehr kann sehr wohl a + b x = x sein, ohne dass
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[425/0445] § 19. Funktionen und deren Entwickelung. von einem „Mittelwerte“ nur gesprochen werden kann bei solchen zwei Gebieten, zwischen welchen die Beziehung der Einordnung, Subsumtion besteht, von denen das eine im andern enthalten ist. Dies ist stets vorauszusetzen — oder es wird mit behauptet — sobald wir die Redensart gebrauchen. Sobald a ⋹ b ist gibt es immer Mittelwerte (mindestens einen solchen) zwischen a und b; nach Prinzip I und der Voraussetzung ist nämlich x = a sowol als x = b alsdann ein solcher. Es kann dar- nach irgend ein Gebiet a als ein Mittelwert zwischen ihm und sich selber hingestellt werden — wie bei der durch die Voraussetzung a ⋹ b mit zugelassenen Annahme b = a zu sehen ist. Wir gehen nun darauf aus, die allgemeine Form der zwischen a und b liegenden Gebiete, falls es solche gibt, zu finden. Hier haben wir zunächst das kleine Hülfstheorem zu Th. 47+). Wenn x zwischen a und b liegt, so ist stets: a x1 + b x = x, und umgekehrt. Beweis. Ist x zwischen a und b gelegen, so gilt nach der ge- gebenen Definition und Th. 38×): a x1 = 0 und b1 x = 0. Ersetzen wir darnach in dem Ausdrucke a x1 + b x das a x1 durch 0 und dieses durch b1 x, so wird derselbe: a x1 + b x = b1 x + b x = (b1 + b) x = 1 · x = x wie einerseits zu zeigen gewesen. Ist andrerseits a x1 + b x = x, so können wir diese Gleichung mit x1 beiderseits multipliziren („durchmultipliziren“) und erhalten: a x1 = 0 oder a ⋹ x — cf. Th. 38×). Darnach vereinfacht sich aber die Glei- chung zu: b x = x, was nach Th. 20×) äquivalent ist: x ⋹ b. Damit ist also gezeigt dass a ⋹ x und x ⋹ b, somit auch a ⋹ b sein muss, d. h. dass in der That x zwischen a und b liegt. Man könnte dem Satze auch die einfachere Form geben: Liegt x zwischen a und b, so ist a + b x = x, in Anbetracht, dass wegen a ⋹ b nach Th. 20+) b = a + b sein muss. Setzt man in der That diesen Wert für b in den früheren Ausdruck ein, so wird derselbe: a x1 + b x = a x1 + (a + b) x = a (x1 + x) + b x = a + b x. In dieser vereinfachten Gestalt ist aber der Satz nicht rein umkehrbar, wie in der früheren, vielmehr kann sehr wohl a + b x = x sein, ohne dass doch a ⋹ x ⋹ b, ohne dass überhaupt a ⋹ b ist. Bei beliebigem a und b

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 425. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/445>, abgerufen am 08.05.2024.