der Entwickelung nicht übersehen, da deren Nullkoeffizienten beim Ne- giren sich in 1 zu verwandeln haben; m. a. W. man muss die Ent- wickelung jeweils als eine vollständige dargestellt der Anwendung des Satzes zugrunde legen, jeden einzelnen Konstituenten berücksichtigen, wenn er auch, weil in 0 multiplizirt, in dem Ausdruck nicht zu er- blicken war.
Thäten wir dies nicht, so erhielten wir ja aus a b1 + a1b = 1 · a b1 + 1 · a1b durch Negiren der Koeffizienten fälschlich 0 · a b1 + 0 · a1b = 0 als die ge- suchte Negation.
Ebenso ist die Klippe zu vermeiden, dass man das Th. 46x) nicht etwa anwende bevor die (nach den Konstituenten) gleichnamigen Glieder vereinigt sind.
So ist z. B. (a1x + a x1 + b1x1)1 nicht = = a x + a1x1 + b x1 = a x + (a1 + b) x1, sondern = a x + (a + b1)1x1 = a x + a1b x1.
Im Hinblick auf die letzten Sätze: Th. 45) nebst Vorbemerkung und Th. 46), kann man zusammenfassend sagen, dass jede an oder mit Funktionen auszuführen vorgeschriebene Operation des identischen Kalkuls sich als die gleiche Vorschrift überträgt auf die Koeffizienten von deren Entwickelung. --
Noch sei bemerkt, dass die Negation einer Funktion f (x) in Ge- stalt von {f (x)}, unbequem zu schreiben ist. Um ein handlicheres Zeichen dafür zu erhalten, mag man definiren: f1 (x) = {f (x)}1, und ähnlich f1 (x, y) = {f (x, y)}1 etc. Darnach wird uns auch bedeuten: f1 (0) = {f (0)}1 und f1 (1) = {f (1)}1. --
Es ist zu wünschen, dass man im stande sei jeweils rasch die ver- schiedenen Werte zu übersehen, deren eine gegebene Funktion des identischen Kalkuls "fähig" ist, welche sie nämlich dadurch zugeteilt erhalten kann, dass man den Argumenten irgendwelche Wertsysteme beilegt.
Um die angeregte Frage über die "Variabilität" irgend einer Funktion zu beantworten, schicken wir eine kurze Betrachtung voraus über "Mittel" oder "Zwischenwerte".
Definition. Ein Gebiet x ist ein "mittlerer" Wert oder "Zwischen- wert" ("Mittel") von a und b zu nennen, es ist zu sagen: "x liege zwischen a und b", wenn ax und zugleich xb ist. Da hieraus: ab nach Prinzip II folgt, so ist ersichtlich, dass
Zehnte Vorlesung.
der Entwickelung nicht übersehen, da deren Nullkoeffizienten beim Ne- giren sich in 1 zu verwandeln haben; m. a. W. man muss die Ent- wickelung jeweils als eine vollständige dargestellt der Anwendung des Satzes zugrunde legen, jeden einzelnen Konstituenten berücksichtigen, wenn er auch, weil in 0 multiplizirt, in dem Ausdruck nicht zu er- blicken war.
Thäten wir dies nicht, so erhielten wir ja aus a b1 + a1b = 1 · a b1 + 1 · a1b durch Negiren der Koeffizienten fälschlich 0 · a b1 + 0 · a1b = 0 als die ge- suchte Negation.
Ebenso ist die Klippe zu vermeiden, dass man das Th. 46×) nicht etwa anwende bevor die (nach den Konstituenten) gleichnamigen Glieder vereinigt sind.
So ist z. B. (a1x + a x1 + b1x1)1 nicht = = a x + a1x1 + b x1 = a x + (a1 + b) x1, sondern = a x + (a + b1)1x1 = a x + a1b x1.
Im Hinblick auf die letzten Sätze: Th. 45) nebst Vorbemerkung und Th. 46), kann man zusammenfassend sagen, dass jede an oder mit Funktionen auszuführen vorgeschriebene Operation des identischen Kalkuls sich als die gleiche Vorschrift überträgt auf die Koeffizienten von deren Entwickelung. —
Noch sei bemerkt, dass die Negation einer Funktion f (x) in Ge- stalt von {f (x)}, unbequem zu schreiben ist. Um ein handlicheres Zeichen dafür zu erhalten, mag man definiren: f1 (x) = {f (x)}1, und ähnlich f1 (x, y) = {f (x, y)}1 etc. Darnach wird uns auch bedeuten: f1 (0) = {f (0)}1 und f1 (1) = {f (1)}1. —
Es ist zu wünschen, dass man im stande sei jeweils rasch die ver- schiedenen Werte zu übersehen, deren eine gegebene Funktion des identischen Kalkuls „fähig“ ist, welche sie nämlich dadurch zugeteilt erhalten kann, dass man den Argumenten irgendwelche Wertsysteme beilegt.
Um die angeregte Frage über die „Variabilität“ irgend einer Funktion zu beantworten, schicken wir eine kurze Betrachtung voraus über „Mittel“ oder „Zwischenwerte“.
Definition. Ein Gebiet x ist ein „mittlerer“ Wert oder „Zwischen- wert“ („Mittel“) von a und b zu nennen, es ist zu sagen: „x liege zwischen a und b“, wenn a ⋹ x und zugleich x ⋹ b ist. Da hieraus: a ⋹ b nach Prinzip II folgt, so ist ersichtlich, dass
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Zehnte Vorlesung.
der Entwickelung nicht übersehen, da deren Nullkoeffizienten beim Ne-
giren sich in 1 zu verwandeln haben; m. a. W. man muss die Ent-
wickelung jeweils als eine vollständige dargestellt der Anwendung des
Satzes zugrunde legen, jeden einzelnen Konstituenten berücksichtigen,
wenn er auch, weil in 0 multiplizirt, in dem Ausdruck nicht zu er-
blicken war.
Thäten wir dies nicht, so erhielten wir ja aus a b1 + a1 b = 1 · a b1 + 1 · a1 b
durch Negiren der Koeffizienten fälschlich 0 · a b1 + 0 · a1 b = 0 als die ge-
suchte Negation.
Ebenso ist die Klippe zu vermeiden, dass man das Th. 46×) nicht
etwa anwende bevor die (nach den Konstituenten) gleichnamigen Glieder
vereinigt sind.
So ist z. B. (a1 x + a x1 + b1 x1)1 nicht =
= a x + a1 x1 + b x1 = a x + (a1 + b) x1, sondern = a x + (a + b1)1 x1 = a x + a1 b x1.
Im Hinblick auf die letzten Sätze: Th. 45) nebst Vorbemerkung
und Th. 46), kann man zusammenfassend sagen, dass jede an oder
mit Funktionen auszuführen vorgeschriebene Operation des identischen
Kalkuls sich als die gleiche Vorschrift überträgt auf die Koeffizienten
von deren Entwickelung. —
Noch sei bemerkt, dass die Negation einer Funktion f (x) in Ge-
stalt von {f (x)}, unbequem zu schreiben ist. Um ein handlicheres
Zeichen dafür zu erhalten, mag man definiren:
f1 (x) = {f (x)}1, und ähnlich f1 (x, y) = {f (x, y)}1
etc. Darnach wird uns auch bedeuten:
f1 (0) = {f (0)}1 und f1 (1) = {f (1)}1. —
Es ist zu wünschen, dass man im stande sei jeweils rasch die ver-
schiedenen Werte zu übersehen, deren eine gegebene Funktion des
identischen Kalkuls „fähig“ ist, welche sie nämlich dadurch zugeteilt
erhalten kann, dass man den Argumenten irgendwelche Wertsysteme
beilegt.
Um die angeregte Frage über die „Variabilität“ irgend einer
Funktion zu beantworten, schicken wir eine kurze Betrachtung voraus
über „Mittel“ oder „Zwischenwerte“.
Definition. Ein Gebiet x ist ein „mittlerer“ Wert oder „Zwischen-
wert“ („Mittel“) von a und b zu nennen, es ist zu sagen: „x liege
zwischen a und b“, wenn
a ⋹ x und zugleich x ⋹ b
ist. Da hieraus: a ⋹ b nach Prinzip II folgt, so ist ersichtlich, dass
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 424. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/444>, abgerufen am 18.02.2025.
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