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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.

Der vorstehende Beweis lief mehr auf eine Probe der Richtigkeit,
eine Verifikation des Satzes hinaus. Der folgende Beweis ist mehr
"heuristisch", lässt auch erkennen, auf welchem Wege der Satz leicht
zu entdecken war.

Beweis 2. Nach Th. 36) ist -- zunächst bei einem Argumente:
(a x + b x1)1 = (a x)1 (b x1)1 = (a1 + x1) (b1 + x) = x a1 + a1 b1 + b1 x1 = a1 x + b1 x1
wie nach dem Th. § 18, i) oder k), oder endlich durch völlige Ent-
wickelung des vorletzten Ausdrucks nach x gemäss Th. 44+) unter
Berücksichtigung des Absorptionsgesetzes einzusehen.

Nachdem so für ein Argument der Satz gewonnen ist, lässt er
sich für zwei Argumente hieraus ableiten, wie folgt:

(a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1)1 = {(a y + b y1) x + (c y + d y1) x1}1 =
= (a y + b y1)1 x + (c y + d y1)1 x1 = (a1 y + b1 y1) x + (c1 y + d1 y1) x1 =
= a1 x y + b1 x y1 + c1 x1 y + d1 x1 y1.

In derselben Weise fortschreitend wird der Satz für immer ein
Argument mehr gewonnen [und allgemein für n + 1 Argumente auf
den vorher erledigten Fall von n Argumenten zurückgeführt].

Das Th. 46+) gestaltet auch das Negiren der Funktionen zu einer
bequemen Operation, sobald solche nur "entwickelt" worden.

Von manchen in meinem Operationskreis2 gegebenen Sätzen, die ich
später durch Herrn Peirce antizipirt, vorweggenommen fand, ist mir
wenigstens dieses Theorem geblieben.

Exempel. (a x + b x1 + c)1 = (a1 x + b1 x1) c1 = a1 c1 x + b1 c1 x1.

Exempel. Nach unserm Satze kann nun die Negation von a b1 + a1 b
auf drei Arten hergestellt werden. Der Ausdruck ist nämlich entwickelt
sowol nach a für sich, als auch nach b allein, als auch nach a und b zu-
sammen. Im Hinblick auf ersteres bekommt man die Koeffizienten b1 und b
zu negiren, während man die Konstituenten a und a1 stehen zu lassen hat;
es entsteht: (a b1 + a1 b)1 = a b + a1 b1.

In der zweiten Hinsicht muss man die a und a1 als die Koeffizienten gelten
lassen, diese negiren, und b1, b als Konstituenten unverändert lassen, wo-
durch a1 b1 + a b somit das gleiche Resultat entsteht.

In der dritten Hinsicht werden in:
a b1 + a1 b = 0 · a b + 1 · a b1 + 1 · a1 b + 0 · a1 b1
die Koeffizienten 0, 1, 1, 0 zu negiren sein, wodurch sich
(a b1 + a1 b)1 = 1 · a b + 0 · a b1 + 0 · a1 b + 1 · a1 b1
also wiederum das alte Resultat ergibt.

Die letzte Betrachtung zeigt, dass bei der Anwendung des Satzes
eine Fehlerquelle verfänglich ist: man darf die etwa fehlenden Glieder

§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.

Der vorstehende Beweis lief mehr auf eine Probe der Richtigkeit,
eine Verifikation des Satzes hinaus. Der folgende Beweis ist mehr
„heuristisch“, lässt auch erkennen, auf welchem Wege der Satz leicht
zu entdecken war.

Beweis 2. Nach Th. 36) ist — zunächst bei einem Argumente:
(a x + b x1)1 = (a x)1 (b x1)1 = (a1 + x1) (b1 + x) = x a1 + a1 b1 + b1 x1 = a1 x + b1 x1
wie nach dem Th. § 18, ι) oder ϰ), oder endlich durch völlige Ent-
wickelung des vorletzten Ausdrucks nach x gemäss Th. 44+) unter
Berücksichtigung des Absorptionsgesetzes einzusehen.

Nachdem so für ein Argument der Satz gewonnen ist, lässt er
sich für zwei Argumente hieraus ableiten, wie folgt:

(a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1)1 = {(a y + b y1) x + (c y + d y1) x1}1 =
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In derselben Weise fortschreitend wird der Satz für immer ein
Argument mehr gewonnen [und allgemein für n + 1 Argumente auf
den vorher erledigten Fall von n Argumenten zurückgeführt].

Das Th. 46+) gestaltet auch das Negiren der Funktionen zu einer
bequemen Operation, sobald solche nur „entwickelt“ worden.

Von manchen in meinem Operationskreis2 gegebenen Sätzen, die ich
später durch Herrn Peirce antizipirt, vorweggenommen fand, ist mir
wenigstens dieses Theorem geblieben.

Exempel. (a x + b x1 + c)1 = (a1 x + b1 x1) c1 = a1 c1 x + b1 c1 x1.

Exempel. Nach unserm Satze kann nun die Negation von a b1 + a1 b
auf drei Arten hergestellt werden. Der Ausdruck ist nämlich entwickelt
sowol nach a für sich, als auch nach b allein, als auch nach a und b zu-
sammen. Im Hinblick auf ersteres bekommt man die Koeffizienten b1 und b
zu negiren, während man die Konstituenten a und a1 stehen zu lassen hat;
es entsteht: (a b1 + a1 b)1 = a b + a1 b1.

In der zweiten Hinsicht muss man die a und a1 als die Koeffizienten gelten
lassen, diese negiren, und b1, b als Konstituenten unverändert lassen, wo-
durch a1 b1 + a b somit das gleiche Resultat entsteht.

In der dritten Hinsicht werden in:
a b1 + a1 b = 0 · a b + 1 · a b1 + 1 · a1 b + 0 · a1 b1
die Koeffizienten 0, 1, 1, 0 zu negiren sein, wodurch sich
(a b1 + a1 b)1 = 1 · a b + 0 · a b1 + 0 · a1 b + 1 · a1 b1
also wiederum das alte Resultat ergibt.

Die letzte Betrachtung zeigt, dass bei der Anwendung des Satzes
eine Fehlerquelle verfänglich ist: man darf die etwa fehlenden Glieder

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[423/0443] § 19. Funktionen und deren Entwickelung. Der vorstehende Beweis lief mehr auf eine Probe der Richtigkeit, eine Verifikation des Satzes hinaus. Der folgende Beweis ist mehr „heuristisch“, lässt auch erkennen, auf welchem Wege der Satz leicht zu entdecken war. Beweis 2. Nach Th. 36) ist — zunächst bei einem Argumente: (a x + b x1)1 = (a x)1 (b x1)1 = (a1 + x1) (b1 + x) = x a1 + a1 b1 + b1 x1 = a1 x + b1 x1 wie nach dem Th. § 18, ι) oder ϰ), oder endlich durch völlige Ent- wickelung des vorletzten Ausdrucks nach x gemäss Th. 44+) unter Berücksichtigung des Absorptionsgesetzes einzusehen. Nachdem so für ein Argument der Satz gewonnen ist, lässt er sich für zwei Argumente hieraus ableiten, wie folgt: (a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1)1 = {(a y + b y1) x + (c y + d y1) x1}1 = = (a y + b y1)1 x + (c y + d y1)1 x1 = (a1 y + b1 y1) x + (c1 y + d1 y1) x1 = = a1 x y + b1 x y1 + c1 x1 y + d1 x1 y1. In derselben Weise fortschreitend wird der Satz für immer ein Argument mehr gewonnen [und allgemein für n + 1 Argumente auf den vorher erledigten Fall von n Argumenten zurückgeführt]. Das Th. 46+) gestaltet auch das Negiren der Funktionen zu einer bequemen Operation, sobald solche nur „entwickelt“ worden. Von manchen in meinem Operationskreis2 gegebenen Sätzen, die ich später durch Herrn Peirce antizipirt, vorweggenommen fand, ist mir wenigstens dieses Theorem geblieben. Exempel. (a x + b x1 + c)1 = (a1 x + b1 x1) c1 = a1 c1 x + b1 c1 x1. Exempel. Nach unserm Satze kann nun die Negation von a b1 + a1 b auf drei Arten hergestellt werden. Der Ausdruck ist nämlich entwickelt sowol nach a für sich, als auch nach b allein, als auch nach a und b zu- sammen. Im Hinblick auf ersteres bekommt man die Koeffizienten b1 und b zu negiren, während man die Konstituenten a und a1 stehen zu lassen hat; es entsteht: (a b1 + a1 b)1 = a b + a1 b1. In der zweiten Hinsicht muss man die a und a1 als die Koeffizienten gelten lassen, diese negiren, und b1, b als Konstituenten unverändert lassen, wo- durch a1 b1 + a b somit das gleiche Resultat entsteht. In der dritten Hinsicht werden in: a b1 + a1 b = 0 · a b + 1 · a b1 + 1 · a1 b + 0 · a1 b1 die Koeffizienten 0, 1, 1, 0 zu negiren sein, wodurch sich (a b1 + a1 b)1 = 1 · a b + 0 · a b1 + 0 · a1 b + 1 · a1 b1 also wiederum das alte Resultat ergibt. Die letzte Betrachtung zeigt, dass bei der Anwendung des Satzes eine Fehlerquelle verfänglich ist: man darf die etwa fehlenden Glieder

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 423. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/443>, abgerufen am 08.05.2024.