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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.

setzung der Spezialwerte 0, 1 für y oder y1 die beträchtlichsten Reduk-
tionen des letzteren in Aussicht stehen. Es entsteht:
f (x, 1, z) = (a b + a1 b1) c d1 x z + (a1 x1 + b1 + c1 + d) z, (= etc.)
f (x, 0, z) = a1 b1 (c d1 x z + c1 d) + a1 x1 d1 z1.

Und hieraus leiten wir ab, wie wenn wir nach z entwickeln wollten:

f (x, 1, 1) = a x + a1 x1 + b1 + c1 + d,	f (x, 1, 0) = 0,
f (x, 0, 1) = a1 b1 (c d1 x + c1 d),	f (x, 0, 0) = a1 b1 c1 d + a1 d1 x1,

worans endlich, der Entwickelung nach x entsprechend:

f (1, 1, 1) = a + b1 + c1 + d,	f (1, 1, 0) = 0,
f (1, 0, 1) = a1 b1 (c d1 + c1 d),	f (1, 0, 0) = a1 b1 c1 d,
f (0, 1, 1) = a1 + b1 + c1 + d,	f (0, 1, 0) = 0,
f (0, 0, 1) = a1 b1 c1 d,	f (0, 0, 0) = a1 (b1 c1 + d1).

Damit ist denn gefunden:
f (x, y, z) = (a + b1 + c1 + d) x y z + a1 b1 (c d1 + c1 d) x y1 z + a1 b1 c1 d x y1 z1 +
+ (a1 + b1 + c1 + d) x1 y z + a1 b1 c1 d x1 y1 z + a1 (b1 c1 + d1) x1 y1 z1
als die gesuchte Entwickelung.

Das Resultat ist das nämliche, ob man erst nach x entwickelt
und dann weiter nach y, oder ob man es erst nach y und dann nach
x thut, oder endlich nach beiden zugleich.

Auch stimmt eine Entwickelung nach dem Argumentenpaare x, y
und dem Argument z überein mit derjenigen nach dem Argument x
und dem Argumentenpaare y, z; sie ist zugleich die Entwickelung nach
dem Argumentetripel x, y, z. Man sieht:

Das Entwickeln einer Funktion ist in Hinsicht auf deren Argu-
mente eine kommutative und zugleich assoziative Operation. Reihenfolge
und Gruppirung der Argumente, nach denen einzeln oder in Gruppen
entwickelt wird, sind dabei nebensächlich; die ganze Anordnung des
Entwickelungsprozesses steht in unserm Belieben. Woferne nur alle-
mal ausmultiplizirt wird ist die nach der Gesamtheit der Argumente
entwickelte Funktion zugleich entwickelt nach jedem einzelnen dieser
Argumente und nach jeder Gruppe von solchen und umgekehrt -- ab-
gesehen natürlich von der Anordnung der resultirenden Glieder und
der Reihenfolge der zu den Konstituenten derselben zusammentretenden
Faktoren, welche Momente ja aber ohne Einfluss auf den Wert des
Ergebnisses sind.

Dies alles wird nebenher bei der Durchführung des obigen Be-
weises ersichtlich und könnte leicht noch näher dargelegt werden. Hin-
sichtlich z zum Beispiel erscheint die nach x, y, z entwickelte Funktion

Schröder, Algebra der Logik. 27

§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.

Und hieraus leiten wir ab, wie wenn wir nach z entwickeln wollten:

f (x, 1, 1) = a x + a1 x1 + b1 + c1 + d,	f (x, 1, 0) = 0,
f (x, 0, 1) = a1 b1 (c d1 x + c1 d),	f (x, 0, 0) = a1 b1 c1 d + a1 d1 x1,

worans endlich, der Entwickelung nach x entsprechend:

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Das Resultat ist das nämliche, ob man erst nach x entwickelt
und dann weiter nach y, oder ob man es erst nach y und dann nach
x thut, oder endlich nach beiden zugleich.

Das Entwickeln einer Funktion ist in Hinsicht auf deren Argu-
mente eine kommutative und zugleich assoziative Operation. Reihenfolge
und Gruppirung der Argumente, nach denen einzeln oder in Gruppen
entwickelt wird, sind dabei nebensächlich; die ganze Anordnung des
Entwickelungsprozesses steht in unserm Belieben. Woferne nur alle-
mal ausmultiplizirt wird ist die nach der Gesamtheit der Argumente
entwickelte Funktion zugleich entwickelt nach jedem einzelnen dieser
Argumente und nach jeder Gruppe von solchen und umgekehrt — ab-
gesehen natürlich von der Anordnung der resultirenden Glieder und
der Reihenfolge der zu den Konstituenten derselben zusammentretenden
Faktoren, welche Momente ja aber ohne Einfluss auf den Wert des
Ergebnisses sind.

Schröder, Algebra der Logik. 27

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[417/0437] § 19. Funktionen und deren Entwickelung. setzung der Spezialwerte 0, 1 für y oder y1 die beträchtlichsten Reduk- tionen des letzteren in Aussicht stehen. Es entsteht: f (x, 1, z) = (a b + a1 b1) c d1 x z + (a1 x1 + b1 + c1 + d) z, (= etc.) f (x, 0, z) = a1 b1 (c d1 x z + c1 d) + a1 x1 d1 z1. Und hieraus leiten wir ab, wie wenn wir nach z entwickeln wollten: f (x, 1, 1) = a x + a1 x1 + b1 + c1 + d, f (x, 1, 0) = 0, f (x, 0, 1) = a1 b1 (c d1 x + c1 d), f (x, 0, 0) = a1 b1 c1 d + a1 d1 x1, worans endlich, der Entwickelung nach x entsprechend: f (1, 1, 1) = a + b1 + c1 + d, f (1, 1, 0) = 0, f (1, 0, 1) = a1 b1 (c d1 + c1 d), f (1, 0, 0) = a1 b1 c1 d, f (0, 1, 1) = a1 + b1 + c1 + d, f (0, 1, 0) = 0, f (0, 0, 1) = a1 b1 c1 d, f (0, 0, 0) = a1 (b1 c1 + d1). Damit ist denn gefunden: f (x, y, z) = (a + b1 + c1 + d) x y z + a1 b1 (c d1 + c1 d) x y1 z + a1 b1 c1 d x y1 z1 + + (a1 + b1 + c1 + d) x1 y z + a1 b1 c1 d x1 y1 z + a1 (b1 c1 + d1) x1 y1 z1 als die gesuchte Entwickelung. Das Resultat ist das nämliche, ob man erst nach x entwickelt und dann weiter nach y, oder ob man es erst nach y und dann nach x thut, oder endlich nach beiden zugleich. Auch stimmt eine Entwickelung nach dem Argumentenpaare x, y und dem Argument z überein mit derjenigen nach dem Argument x und dem Argumentenpaare y, z; sie ist zugleich die Entwickelung nach dem Argumentetripel x, y, z. Man sieht: Das Entwickeln einer Funktion ist in Hinsicht auf deren Argu- mente eine kommutative und zugleich assoziative Operation. Reihenfolge und Gruppirung der Argumente, nach denen einzeln oder in Gruppen entwickelt wird, sind dabei nebensächlich; die ganze Anordnung des Entwickelungsprozesses steht in unserm Belieben. Woferne nur alle- mal ausmultiplizirt wird ist die nach der Gesamtheit der Argumente entwickelte Funktion zugleich entwickelt nach jedem einzelnen dieser Argumente und nach jeder Gruppe von solchen und umgekehrt — ab- gesehen natürlich von der Anordnung der resultirenden Glieder und der Reihenfolge der zu den Konstituenten derselben zusammentretenden Faktoren, welche Momente ja aber ohne Einfluss auf den Wert des Ergebnisses sind. Dies alles wird nebenher bei der Durchführung des obigen Be- weises ersichtlich und könnte leicht noch näher dargelegt werden. Hin- sichtlich z zum Beispiel erscheint die nach x, y, z entwickelte Funktion Schröder, Algebra der Logik. 27

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 417. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/437>, abgerufen am 08.05.2024.

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