in der That gesondert in Glieder, welche z selbst und solche, welche z1 enthalten. Die Glieder von beiderlei Art sind leicht aus dem Gesamt- ausdruck herauszulesen, wenn sie auch nicht (durchaus) beisammen stehen. Analog bezüglich des y sowie des x. Etc.
Zusatz 2 zu Th. 44+) (Boole).
Alle Konstituenten der Entwickelung einer Funktion sind zu einander disjunkt, geben nämlich zu irgend zweien multiplizirt das Produkt 0, in- dem sie sich jedenfalls dadurch von einander unterscheiden müssen, dass mindestens ein Faktor des einen Konstituenten im andern durch seine Negation vertreten erscheint, wonach also das Th. 30x) anwend- bar wird.
So ist bei zwei Argumenten in der That: x y · x y1 = 0, x y · x1y = 0, x y · x1y1 = 0, x y1 · x1y = 0, x y1 · x1y1 = 0, x1y · x1y1 = 0. Etc. Es wäre nicht uninteressant, doch etwas umständlich, das all- gemeine Zutreffen dieser aus dem Bisherigen schon einleuchtenden Thatsache mittelst zwingender Schlüsse genauer darzulegen.
Ebenso gilt:
Die Summe aller Konstituenten ist stets gleich 1 -- eine Aussage, die bei einem Argumente mit Th. 30+), bei zwei Argumenten mit dem Th. 34+) zusammenfällt (für a, b dort x, y gesagt). Bei dreien haben wir: x y z + x y z1 + x y1z + x y1z1 + x1y z + x1y z1 + x1y1z + x1y1z1 = 1 Etc. Jene Konstituenten sind nämlich (allgemein) gerade die Glieder des ausmultiplizirten Produktes -- cf. Th. 30+): 1 = (x + x1) (y + y1) (z + z1) . . . ., welches als die Entwickelung der konstanten Funktion 1 nach x, y, z, ... anzusehen sein wird.
Hat die Funktion n Argumente, so ist die Anzahl ihrer Konstituenten, somit auch der Glieder ihrer vollständig angeschriebenen Entwickelung gleich der nten Potenz von 2, gleich 2n. Diese Anzahl ist also 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... bei 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Argumenten.
Anmerkung 1 zu Th. 44+).
Das duale Gegenstück zu diesem Theorem: 44x) Th.
[Formel 1]
möge hier wenigstens einmal Erwähnung finden; erstmalig ist dasselbe von Herrn Peirce ausgesprochen.
Zehnte Vorlesung.
in der That gesondert in Glieder, welche z selbst und solche, welche z1 enthalten. Die Glieder von beiderlei Art sind leicht aus dem Gesamt- ausdruck herauszulesen, wenn sie auch nicht (durchaus) beisammen stehen. Analog bezüglich des y sowie des x. Etc.
Zusatz 2 zu Th. 44+) (Boole).
Alle Konstituenten der Entwickelung einer Funktion sind zu einander disjunkt, geben nämlich zu irgend zweien multiplizirt das Produkt 0, in- dem sie sich jedenfalls dadurch von einander unterscheiden müssen, dass mindestens ein Faktor des einen Konstituenten im andern durch seine Negation vertreten erscheint, wonach also das Th. 30×) anwend- bar wird.
So ist bei zwei Argumenten in der That: x y · x y1 = 0, x y · x1y = 0, x y · x1y1 = 0, x y1 · x1y = 0, x y1 · x1y1 = 0, x1y · x1y1 = 0. Etc. Es wäre nicht uninteressant, doch etwas umständlich, das all- gemeine Zutreffen dieser aus dem Bisherigen schon einleuchtenden Thatsache mittelst zwingender Schlüsse genauer darzulegen.
Ebenso gilt:
Die Summe aller Konstituenten ist stets gleich 1 — eine Aussage, die bei einem Argumente mit Th. 30+), bei zwei Argumenten mit dem Th. 34+) zusammenfällt (für a, b dort x, y gesagt). Bei dreien haben wir: x y z + x y z1 + x y1z + x y1z1 + x1y z + x1y z1 + x1y1z + x1y1z1 = 1 Etc. Jene Konstituenten sind nämlich (allgemein) gerade die Glieder des ausmultiplizirten Produktes — cf. Th. 30+): 1 = (x + x1) (y + y1) (z + z1) . . . ., welches als die Entwickelung der konstanten Funktion 1 nach x, y, z, … anzusehen sein wird.
Hat die Funktion n Argumente, so ist die Anzahl ihrer Konstituenten, somit auch der Glieder ihrer vollständig angeschriebenen Entwickelung gleich der nten Potenz von 2, gleich 2n. Diese Anzahl ist also 2, 4, 8, 16, 32, 64, … bei 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Argumenten.
Anmerkung 1 zu Th. 44+).
Das duale Gegenstück zu diesem Theorem: 44×) Th.
[Formel 1]
möge hier wenigstens einmal Erwähnung finden; erstmalig ist dasselbe von Herrn Peirce ausgesprochen.
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[418/0438]
Zehnte Vorlesung.
in der That gesondert in Glieder, welche z selbst und solche, welche z1
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ausdruck herauszulesen, wenn sie auch nicht (durchaus) beisammen
stehen. Analog bezüglich des y sowie des x. Etc.
Zusatz 2 zu Th. 44+) (Boole).
Alle Konstituenten der Entwickelung einer Funktion sind zu einander
disjunkt, geben nämlich zu irgend zweien multiplizirt das Produkt 0, in-
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dass mindestens ein Faktor des einen Konstituenten im andern durch
seine Negation vertreten erscheint, wonach also das Th. 30×) anwend-
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So ist bei zwei Argumenten in der That:
x y · x y1 = 0, x y · x1 y = 0, x y · x1 y1 = 0,
x y1 · x1 y = 0, x y1 · x1 y1 = 0, x1 y · x1 y1 = 0.
Etc. Es wäre nicht uninteressant, doch etwas umständlich, das all-
gemeine Zutreffen dieser aus dem Bisherigen schon einleuchtenden
Thatsache mittelst zwingender Schlüsse genauer darzulegen.
Ebenso gilt:
Die Summe aller Konstituenten ist stets gleich 1 — eine Aussage,
die bei einem Argumente mit Th. 30+), bei zwei Argumenten mit dem
Th. 34+) zusammenfällt (für a, b dort x, y gesagt). Bei dreien haben wir:
x y z + x y z1 + x y1 z + x y1 z1 + x1 y z + x1 y z1 + x1 y1 z + x1 y1 z1 = 1
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des ausmultiplizirten Produktes — cf. Th. 30+):
1 = (x + x1) (y + y1) (z + z1) . . . .,
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Hat die Funktion n Argumente, so ist die Anzahl ihrer Konstituenten,
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Anmerkung 1 zu Th. 44+).
Das duale Gegenstück zu diesem Theorem:
44×) Th. [FORMEL]
möge hier wenigstens einmal Erwähnung finden; erstmalig ist dasselbe
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 418. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/438>, abgerufen am 08.05.2024.
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