auf x erscheinen, indem eben behufs ihrer Gewinnung dieses x durch 1 oder 0 ersetzt werden musste. Hierauf entwickle man jeden dieser Koeffizienten nunmehr nach y, abermals gemäss dem Schema 44+), setze seinen Wert in den Ausdruck ein und multiplizire aus. Die neuen Koeffizienten werden dann nur noch als Funktionen von z, ... dagegen als konstant bezüglich x und y erscheinen; sie können nach z entwickelt eingesetzt werden, und so weiter.
Es wird genügen, den angedeuteten Beweis nur für die Funktion f(x, y) von zwei Argumenten wirklich auszuführen, da von diesem be- sonderen Falle des auszuführenden Beweises der allgemeinere sich nur quantitativ (durch grössere Häufung von Symbolen in den auch häufiger wiederholt zu machenden Ansätzen) unterscheidet. -- Dort hat man zunächst: f (x, y) = f (1, y) x + f (0, y) x1, und dann weiter: f (1, y) = f (1, 1) y + f (1, 0) y1, f (0, y) = f (0, 1) y + f (0, 0) y1.
Die Einsetzung dieser Werte in den vorigen Ausdruck gibt nach Ausmultipliziren den zu beweisenden Satz, wie er sich oben angegeben findet. --
Die im obigen Zusatz gegebene Ausdehnung des Th. 44) auf Funk- tionen von mehr als einem Argumente ist zwar theoretisch interessant und wichtig, aber für die Technik des Kalkuls von geringem prak- tischen Werte, aus dem Grunde, weil man sich bei den vielen zum Teil gleichzeitig geforderten Einsetzungen von Werten 0 und 1 (je für ein Symbol und dessen Negation, oder umgekehrt) allzuleicht ver- sieht, diese zahlreichen Substitutionen auch ermüdend und lang- weilig sind.
Sollte wirklich die Entwickelung einer gegebenen Funktion nach mehreren Argumenten angezeigt erscheinen, so schlägt man am besten den Weg ein, der uns zum Beweise dieses Zusatzes verholfen hat, d. h. man entwickelt immer nur nach einem Argument auf einmal und so nach diesen allen nur successive ("fortschreitend", "hintereinan- der"), wobei man bei jeder Zwischenoperation schon auf möglichste Vereinfachung der Koeffizienten Bedacht nehmen wird.
Wir begnügen uns, hiezu nur ein Exempel zu geben. Sei nach x, y, z zu entwickeln: f (x, y, z) = (a b x y + a1b1) (c d1x z + c1d y1) + (a1x1 + b1y + c1z + d) (y z + d1y1z1), so entwickelt man am besten zuerst nach y als demjenigen Symbole, wel- ches am häufigsten in dem Ausdrucke vorkommt -- sodass durch Ein-
Zehnte Vorlesung.
auf x erscheinen, indem eben behufs ihrer Gewinnung dieses x durch 1 oder 0 ersetzt werden musste. Hierauf entwickle man jeden dieser Koeffizienten nunmehr nach y, abermals gemäss dem Schema 44+), setze seinen Wert in den Ausdruck ein und multiplizire aus. Die neuen Koeffizienten werden dann nur noch als Funktionen von z, … dagegen als konstant bezüglich x und y erscheinen; sie können nach z entwickelt eingesetzt werden, und so weiter.
Es wird genügen, den angedeuteten Beweis nur für die Funktion f(x, y) von zwei Argumenten wirklich auszuführen, da von diesem be- sonderen Falle des auszuführenden Beweises der allgemeinere sich nur quantitativ (durch grössere Häufung von Symbolen in den auch häufiger wiederholt zu machenden Ansätzen) unterscheidet. — Dort hat man zunächst: f (x, y) = f (1, y) x + f (0, y) x1, und dann weiter: f (1, y) = f (1, 1) y + f (1, 0) y1, f (0, y) = f (0, 1) y + f (0, 0) y1.
Die Einsetzung dieser Werte in den vorigen Ausdruck gibt nach Ausmultipliziren den zu beweisenden Satz, wie er sich oben angegeben findet. —
Die im obigen Zusatz gegebene Ausdehnung des Th. 44) auf Funk- tionen von mehr als einem Argumente ist zwar theoretisch interessant und wichtig, aber für die Technik des Kalkuls von geringem prak- tischen Werte, aus dem Grunde, weil man sich bei den vielen zum Teil gleichzeitig geforderten Einsetzungen von Werten 0 und 1 (je für ein Symbol und dessen Negation, oder umgekehrt) allzuleicht ver- sieht, diese zahlreichen Substitutionen auch ermüdend und lang- weilig sind.
Sollte wirklich die Entwickelung einer gegebenen Funktion nach mehreren Argumenten angezeigt erscheinen, so schlägt man am besten den Weg ein, der uns zum Beweise dieses Zusatzes verholfen hat, d. h. man entwickelt immer nur nach einem Argument auf einmal und so nach diesen allen nur successive („fortschreitend“, „hintereinan- der“), wobei man bei jeder Zwischenoperation schon auf möglichste Vereinfachung der Koeffizienten Bedacht nehmen wird.
Wir begnügen uns, hiezu nur ein Exempel zu geben. Sei nach x, y, z zu entwickeln: f (x, y, z) = (a b x y + a1b1) (c d1x z + c1d y1) + (a1x1 + b1y + c1z + d) (y z + d1y1z1), so entwickelt man am besten zuerst nach y als demjenigen Symbole, wel- ches am häufigsten in dem Ausdrucke vorkommt — sodass durch Ein-
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Zehnte Vorlesung.
auf x erscheinen, indem eben behufs ihrer Gewinnung dieses x durch
1 oder 0 ersetzt werden musste. Hierauf entwickle man jeden dieser
Koeffizienten nunmehr nach y, abermals gemäss dem Schema 44+),
setze seinen Wert in den Ausdruck ein und multiplizire aus. Die
neuen Koeffizienten werden dann nur noch als Funktionen von z, …
dagegen als konstant bezüglich x und y erscheinen; sie können nach
z entwickelt eingesetzt werden, und so weiter.
Es wird genügen, den angedeuteten Beweis nur für die Funktion
f(x, y) von zwei Argumenten wirklich auszuführen, da von diesem be-
sonderen Falle des auszuführenden Beweises der allgemeinere sich nur
quantitativ (durch grössere Häufung von Symbolen in den auch häufiger
wiederholt zu machenden Ansätzen) unterscheidet. — Dort hat man
zunächst: f (x, y) = f (1, y) x + f (0, y) x1,
und dann weiter:
f (1, y) = f (1, 1) y + f (1, 0) y1, f (0, y) = f (0, 1) y + f (0, 0) y1.
Die Einsetzung dieser Werte in den vorigen Ausdruck gibt nach
Ausmultipliziren den zu beweisenden Satz, wie er sich oben angegeben
findet. —
Die im obigen Zusatz gegebene Ausdehnung des Th. 44) auf Funk-
tionen von mehr als einem Argumente ist zwar theoretisch interessant
und wichtig, aber für die Technik des Kalkuls von geringem prak-
tischen Werte, aus dem Grunde, weil man sich bei den vielen zum
Teil gleichzeitig geforderten Einsetzungen von Werten 0 und 1 (je
für ein Symbol und dessen Negation, oder umgekehrt) allzuleicht ver-
sieht, diese zahlreichen Substitutionen auch ermüdend und lang-
weilig sind.
Sollte wirklich die Entwickelung einer gegebenen Funktion nach
mehreren Argumenten angezeigt erscheinen, so schlägt man am besten
den Weg ein, der uns zum Beweise dieses Zusatzes verholfen hat,
d. h. man entwickelt immer nur nach einem Argument auf einmal
und so nach diesen allen nur successive („fortschreitend“, „hintereinan-
der“), wobei man bei jeder Zwischenoperation schon auf möglichste
Vereinfachung der Koeffizienten Bedacht nehmen wird.
Wir begnügen uns, hiezu nur ein Exempel zu geben. Sei nach x,
y, z zu entwickeln: f (x, y, z) =
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 416. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/436>, abgerufen am 22.11.2024.
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