Durch Ausmultipliziren folgt hieraus: f (x) = a1b1c + a1c x + b1c x1 + e1 + x = a1b1c + e1 + b1c x1 + x wobei wieder zu Anfang der zweite Term in den letzten einging. Ferner kann man aber in der Summe b1c x1 + x nach Th. 33+) Zusatz den Faktor x1 unterdrücken und darnach wird auch in unserm f (x) = a1b1c + e1 + b1c + x der erste Term vom vorletzten aufgesogen und bleibt: f (x) = b1c + e1 + x was -- am besten wieder nach dem soeben citirten Satze -- homogen ge- macht sein wird: f (x) = x + (b1c + e1) x1.
In der That aber ist hier mit leichtester Mühe schon aus dem ursprüng- lichen Ausdrucke zu entnehmen, dass: f (1) = [(a1c + d)1e · 0]1 = 01 = 1, f (0) = [(b1c)1e]1 = b1c + e1 ist, womit also die Koeffizienten von x und x1 richtig angegeben erscheinen.
Exempel. Bedeutet f (x) = (a x + b x1 + c) (d x + e x1) g x, so sind diesmal keine Negationen auszuführen. Durch einfaches Ausmul- tipliziren, wenn man sich unterwegs nicht die geringste Vereinfachung ge- stattet, ergäbe sich: f (x) = a d g x x x + a e g x x1x + b d g x1x x + b e g x1x1x + c d g x x + c e g x1x. Nach Th. 30+) fallen nun aber die Terme alle fort, welche x1 neben x zeigen. Bei den übrigen ist nach Th. 14x) x x sowie x x x durch x allein zu ersetzen und ergibt sich schliesslich durch Vereinigung dieser (bezüg- lich x) gleichnamigen Terme a d g x + c d g x das Resultat: f (x) = (a + c) d g x und dieses wird durch das Th. 44) bestätigt, beziehungsweise noch rascher gewonnen, indem schon aus dem ursprünglichen Ausdrucke direkt sich ergibt: f (1) = (a + c) d g, f (0) = (b + c) e · 0 = 0.
Exempel. Man entwickle, ohne Benutzung des Satzes, nach x die Funktion: f (x) = (a x1 + b x) (d x + e x1)1 (g x + h) (k + l x1) {(m x)1 (n x1)1}1 und kontrollire dadurch den Satz.
Ausführung der Negationen gibt: f (x) = (a x1 + b x) (d1 + x1) (e1 + x) (g x + h) (k + l x1) (m x + n x1). Das Ausmultipliziren ohne jegliche Vereinfachung würde hier 64 Glieder geben. Lassen wir aber sogleich diejenigen fort, in welchen x und x1 zu- sammentreffen, und multipliziren die Faktoren zunächst paarweise, den ersten
§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
Durch Ausmultipliziren folgt hieraus: f (x) = a1b1c + a1c x + b1c x1 + e1 + x = a1b1c + e1 + b1c x1 + x wobei wieder zu Anfang der zweite Term in den letzten einging. Ferner kann man aber in der Summe b1c x1 + x nach Th. 33+) Zusatz den Faktor x1 unterdrücken und darnach wird auch in unserm f (x) = a1b1c + e1 + b1c + x der erste Term vom vorletzten aufgesogen und bleibt: f (x) = b1c + e1 + x was — am besten wieder nach dem soeben citirten Satze — homogen ge- macht sein wird: f (x) = x + (b1c + e1) x1.
In der That aber ist hier mit leichtester Mühe schon aus dem ursprüng- lichen Ausdrucke zu entnehmen, dass: f (1) = [(a1c + d)1e · 0]1 = 01 = 1, f (0) = [(b1c)1e]1 = b1c + e1 ist, womit also die Koeffizienten von x und x1 richtig angegeben erscheinen.
Exempel. Bedeutet f (x) = (a x + b x1 + c) (d x + e x1) g x, so sind diesmal keine Negationen auszuführen. Durch einfaches Ausmul- tipliziren, wenn man sich unterwegs nicht die geringste Vereinfachung ge- stattet, ergäbe sich: f (x) = a d g x x x + a e g x x1x + b d g x1x x + b e g x1x1x + c d g x x + c e g x1x. Nach Th. 30+) fallen nun aber die Terme alle fort, welche x1 neben x zeigen. Bei den übrigen ist nach Th. 14×) x x sowie x x x durch x allein zu ersetzen und ergibt sich schliesslich durch Vereinigung dieser (bezüg- lich x) gleichnamigen Terme a d g x + c d g x das Resultat: f (x) = (a + c) d g x und dieses wird durch das Th. 44) bestätigt, beziehungsweise noch rascher gewonnen, indem schon aus dem ursprünglichen Ausdrucke direkt sich ergibt: f (1) = (a + c) d g, f (0) = (b + c) e · 0 = 0.
Exempel. Man entwickle, ohne Benutzung des Satzes, nach x die Funktion: f (x) = (a x1 + b x) (d x + e x1)1 (g x + h) (k + l x1) {(m x)1 (n x1)1}1 und kontrollire dadurch den Satz.
Ausführung der Negationen gibt: f (x) = (a x1 + b x) (d1 + x1) (e1 + x) (g x + h) (k + l x1) (m x + n x1). Das Ausmultipliziren ohne jegliche Vereinfachung würde hier 64 Glieder geben. Lassen wir aber sogleich diejenigen fort, in welchen x und x1 zu- sammentreffen, und multipliziren die Faktoren zunächst paarweise, den ersten
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§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
Durch Ausmultipliziren folgt hieraus:
f (x) = a1 b1 c + a1 c x + b1 c x1 + e1 + x = a1 b1 c + e1 + b1 c x1 + x
wobei wieder zu Anfang der zweite Term in den letzten einging. Ferner
kann man aber in der Summe b1 c x1 + x nach Th. 33+) Zusatz den Faktor
x1 unterdrücken und darnach wird auch in unserm
f (x) = a1 b1 c + e1 + b1 c + x
der erste Term vom vorletzten aufgesogen und bleibt:
f (x) = b1 c + e1 + x
was — am besten wieder nach dem soeben citirten Satze — homogen ge-
macht sein wird:
f (x) = x + (b1 c + e1) x1.
In der That aber ist hier mit leichtester Mühe schon aus dem ursprüng-
lichen Ausdrucke zu entnehmen, dass:
f (1) = [(a1 c + d)1 e · 0]1 = 01 = 1, f (0) = [(b1 c)1 e]1 = b1 c + e1
ist, womit also die Koeffizienten von x und x1 richtig angegeben erscheinen.
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f (x) = (a x + b x1 + c) (d x + e x1) g x,
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stattet, ergäbe sich:
f (x) = a d g x x x + a e g x x1 x + b d g x1 x x + b e g x1 x1 x + c d g x x + c e g x1 x.
Nach Th. 30+) fallen nun aber die Terme alle fort, welche x1 neben x
zeigen. Bei den übrigen ist nach Th. 14×) x x sowie x x x durch x allein
zu ersetzen und ergibt sich schliesslich durch Vereinigung dieser (bezüg-
lich x) gleichnamigen Terme a d g x + c d g x das Resultat:
f (x) = (a + c) d g x
und dieses wird durch das Th. 44) bestätigt, beziehungsweise noch rascher
gewonnen, indem schon aus dem ursprünglichen Ausdrucke direkt sich
ergibt:
f (1) = (a + c) d g, f (0) = (b + c) e · 0 = 0.
Exempel. Man entwickle, ohne Benutzung des Satzes, nach x die
Funktion:
f (x) = (a x1 + b x) (d x + e x1)1 (g x + h) (k + l x1) {(m x)1 (n x1)1}1
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Das Ausmultipliziren ohne jegliche Vereinfachung würde hier 64 Glieder
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sammentreffen, und multipliziren die Faktoren zunächst paarweise, den ersten
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 413. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/433>, abgerufen am 08.05.2024.
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