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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zehnte Vorlesung.
geht in der That in unser Th. 44+) über, sobald man annimmt, dass die
Zahl x der Formel des Tautologiegesetzes 14x):
x x = x oder x -- x x = 0,
das heisst der Gleichung:
x (1 -- x) = 0
genüge. Diese quadratische Gleichung hat aber im Gebiet der Zahlen nur
die beiden Wurzeln 0 und 1, und wird demnach unter x dann eine dieser
beiden Zahlen zu verstehen sein.

Für x2 = x ist aber auch x2 · x = x · x oder x3 = x2, somit auch
x3 = x, dann weiter x3 · x = x · x oder x4 = x, etc., und vereinfacht dar-
nach die obige Reihe sich zu:
[Formel 1] insbesondere gibt dies, für x = 1 in Anspruch genommen:
[Formel 2] und wenn man aus diesen beiden Gleichungen die in der geschwungenen
Klammer { } stehende Reihe eliminirt, indem man ihren Wert aus der
zweiten Gleichung entnimmt und in die erste einsetzt, so kommt:
f (x) = f (0) + x {f (1) -- f (0)}
oder, anders geordnet:
f (x) = f (1) · x + f (0) · (1 -- x).

Dies ist nun das Th. 44+) selbst, in Anbetracht, dass wir beim Stu-
dium der inversen Operationen des identischen Kalkuls (§ 23) sehen wer-
den, dass in der That 1 -- x = x1 bedeutet.

Wenn also die (Mac-Laurin'sche) Reihenentwickelung einer Funktion
f (x) für die Werte 0 und 1 von x zulässig ist, so fällt sie mit unserm
Theorem zusammen. --

Bemerkt sei noch, dass man die Gleichung x x = x in der Arithmetik
auch zusammenziehen könnte in x (x -- 1) = 0, was im identischen Kalkul
nicht angängig wäre, cf. § 23.

Wir wollen nun die verschiedenen Phasen der beim Beweise des
Theorems 44) auszuführen gewesenen Operationen, die vorstehend ab-
strakt geschildert sind, durch einige konkrete Beispiele erläutern.

Natürlich bleibt es unbenommen, mit dem schematischen Verfahren
auch noch anderweitige Vereinfachungen, die sich unterwegs anbringen
lassen, zu verbinden.

Exempel. Sei f (x) = [{(a x + b x1)1 c + d x} 1 e x1]1.

Dann gibt die Ausführung der vorgeschriebenen Negationen:
f (x) = {(a x + b x1)1 c + d x} + e1 + x = (a1 + x1) (b1 + x) c + e1 + x
indem der Term d x von dem x absorbirt wurde.

Zehnte Vorlesung.
geht in der That in unser Th. 44+) über, sobald man annimmt, dass die
Zahl x der Formel des Tautologiegesetzes 14×):
x x = x oder x — x x = 0,
das heisst der Gleichung:
x (1 — x) = 0
genüge. Diese quadratische Gleichung hat aber im Gebiet der Zahlen nur
die beiden Wurzeln 0 und 1, und wird demnach unter x dann eine dieser
beiden Zahlen zu verstehen sein.

Für x2 = x ist aber auch x2 · x = x · x oder x3 = x2, somit auch
x3 = x, dann weiter x3 · x = x · x oder x4 = x, etc., und vereinfacht dar-
nach die obige Reihe sich zu:
[Formel 1] insbesondere gibt dies, für x = 1 in Anspruch genommen:
[Formel 2] und wenn man aus diesen beiden Gleichungen die in der geschwungenen
Klammer { } stehende Reihe eliminirt, indem man ihren Wert aus der
zweiten Gleichung entnimmt und in die erste einsetzt, so kommt:
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Dies ist nun das Th. 44+) selbst, in Anbetracht, dass wir beim Stu-
dium der inversen Operationen des identischen Kalkuls (§ 23) sehen wer-
den, dass in der That 1 — x = x1 bedeutet.

Wenn also die (Mac-Laurin'sche) Reihenentwickelung einer Funktion
f (x) für die Werte 0 und 1 von x zulässig ist, so fällt sie mit unserm
Theorem zusammen. —

Bemerkt sei noch, dass man die Gleichung x x = x in der Arithmetik
auch zusammenziehen könnte in x (x — 1) = 0, was im identischen Kalkul
nicht angängig wäre, cf. § 23.

Wir wollen nun die verschiedenen Phasen der beim Beweise des
Theorems 44) auszuführen gewesenen Operationen, die vorstehend ab-
strakt geschildert sind, durch einige konkrete Beispiele erläutern.

Natürlich bleibt es unbenommen, mit dem schematischen Verfahren
auch noch anderweitige Vereinfachungen, die sich unterwegs anbringen
lassen, zu verbinden.

Exempel. Sei f (x) = [{(a x + b x1)1 c + d x} 1 e x1]1.

Dann gibt die Ausführung der vorgeschriebenen Negationen:
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[412/0432] Zehnte Vorlesung. geht in der That in unser Th. 44+) über, sobald man annimmt, dass die Zahl x der Formel des Tautologiegesetzes 14×): x x = x oder x — x x = 0, das heisst der Gleichung: x (1 — x) = 0 genüge. Diese quadratische Gleichung hat aber im Gebiet der Zahlen nur die beiden Wurzeln 0 und 1, und wird demnach unter x dann eine dieser beiden Zahlen zu verstehen sein. Für x2 = x ist aber auch x2 · x = x · x oder x3 = x2, somit auch x3 = x, dann weiter x3 · x = x · x oder x4 = x, etc., und vereinfacht dar- nach die obige Reihe sich zu: [FORMEL] insbesondere gibt dies, für x = 1 in Anspruch genommen: [FORMEL] und wenn man aus diesen beiden Gleichungen die in der geschwungenen Klammer { } stehende Reihe eliminirt, indem man ihren Wert aus der zweiten Gleichung entnimmt und in die erste einsetzt, so kommt: f (x) = f (0) + x {f (1) — f (0)} oder, anders geordnet: f (x) = f (1) · x + f (0) · (1 — x). Dies ist nun das Th. 44+) selbst, in Anbetracht, dass wir beim Stu- dium der inversen Operationen des identischen Kalkuls (§ 23) sehen wer- den, dass in der That 1 — x = x1 bedeutet. Wenn also die (Mac-Laurin'sche) Reihenentwickelung einer Funktion f (x) für die Werte 0 und 1 von x zulässig ist, so fällt sie mit unserm Theorem zusammen. — Bemerkt sei noch, dass man die Gleichung x x = x in der Arithmetik auch zusammenziehen könnte in x (x — 1) = 0, was im identischen Kalkul nicht angängig wäre, cf. § 23. Wir wollen nun die verschiedenen Phasen der beim Beweise des Theorems 44) auszuführen gewesenen Operationen, die vorstehend ab- strakt geschildert sind, durch einige konkrete Beispiele erläutern. Natürlich bleibt es unbenommen, mit dem schematischen Verfahren auch noch anderweitige Vereinfachungen, die sich unterwegs anbringen lassen, zu verbinden. Exempel. Sei f (x) = [{(a x + b x1)1 c + d x} 1 e x1]1. Dann gibt die Ausführung der vorgeschriebenen Negationen: f (x) = {(a x + b x1)1 c + d x} + e1 + x = (a1 + x1) (b1 + x) c + e1 + x indem der Term d x von dem x absorbirt wurde.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 412. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/432>, abgerufen am 08.05.2024.