geht in der That in unser Th. 44+) über, sobald man annimmt, dass die Zahl x der Formel des Tautologiegesetzes 14x): x x = x oder x -- x x = 0, das heisst der Gleichung: x (1 -- x) = 0 genüge. Diese quadratische Gleichung hat aber im Gebiet der Zahlen nur die beiden Wurzeln 0 und 1, und wird demnach unter x dann eine dieser beiden Zahlen zu verstehen sein.
Für x2 = x ist aber auch x2 · x = x · x oder x3 = x2, somit auch x3 = x, dann weiter x3 · x = x · x oder x4 = x, etc., und vereinfacht dar- nach die obige Reihe sich zu:
[Formel 1]
insbesondere gibt dies, für x = 1 in Anspruch genommen:
[Formel 2]
und wenn man aus diesen beiden Gleichungen die in der geschwungenen Klammer { } stehende Reihe eliminirt, indem man ihren Wert aus der zweiten Gleichung entnimmt und in die erste einsetzt, so kommt: f (x) = f (0) + x {f (1) -- f (0)} oder, anders geordnet: f (x) = f (1) · x + f (0) · (1 -- x).
Dies ist nun das Th. 44+) selbst, in Anbetracht, dass wir beim Stu- dium der inversen Operationen des identischen Kalkuls (§ 23) sehen wer- den, dass in der That 1 -- x = x1 bedeutet.
Wenn also die (Mac-Laurin'sche) Reihenentwickelung einer Funktion f (x) für die Werte 0 und 1 von x zulässig ist, so fällt sie mit unserm Theorem zusammen. --
Bemerkt sei noch, dass man die Gleichung x x = x in der Arithmetik auch zusammenziehen könnte in x (x -- 1) = 0, was im identischen Kalkul nicht angängig wäre, cf. § 23.
Wir wollen nun die verschiedenen Phasen der beim Beweise des Theorems 44) auszuführen gewesenen Operationen, die vorstehend ab- strakt geschildert sind, durch einige konkrete Beispiele erläutern.
Natürlich bleibt es unbenommen, mit dem schematischen Verfahren auch noch anderweitige Vereinfachungen, die sich unterwegs anbringen lassen, zu verbinden.
Exempel. Sei f (x) = [{(a x + b x1)1c + d x} 1e x1]1.
Dann gibt die Ausführung der vorgeschriebenen Negationen: f (x) = {(a x + b x1)1c + d x} + e1 + x = (a1 + x1) (b1 + x) c + e1 + x indem der Term d x von dem x absorbirt wurde.
Zehnte Vorlesung.
geht in der That in unser Th. 44+) über, sobald man annimmt, dass die Zahl x der Formel des Tautologiegesetzes 14×): x x = x oder x — x x = 0, das heisst der Gleichung: x (1 — x) = 0 genüge. Diese quadratische Gleichung hat aber im Gebiet der Zahlen nur die beiden Wurzeln 0 und 1, und wird demnach unter x dann eine dieser beiden Zahlen zu verstehen sein.
Für x2 = x ist aber auch x2 · x = x · x oder x3 = x2, somit auch x3 = x, dann weiter x3 · x = x · x oder x4 = x, etc., und vereinfacht dar- nach die obige Reihe sich zu:
[Formel 1]
insbesondere gibt dies, für x = 1 in Anspruch genommen:
[Formel 2]
und wenn man aus diesen beiden Gleichungen die in der geschwungenen Klammer { } stehende Reihe eliminirt, indem man ihren Wert aus der zweiten Gleichung entnimmt und in die erste einsetzt, so kommt: f (x) = f (0) + x {f (1) — f (0)} oder, anders geordnet: f (x) = f (1) · x + f (0) · (1 — x).
Dies ist nun das Th. 44+) selbst, in Anbetracht, dass wir beim Stu- dium der inversen Operationen des identischen Kalkuls (§ 23) sehen wer- den, dass in der That 1 — x = x1 bedeutet.
Wenn also die (Mac-Laurin'sche) Reihenentwickelung einer Funktion f (x) für die Werte 0 und 1 von x zulässig ist, so fällt sie mit unserm Theorem zusammen. —
Bemerkt sei noch, dass man die Gleichung x x = x in der Arithmetik auch zusammenziehen könnte in x (x — 1) = 0, was im identischen Kalkul nicht angängig wäre, cf. § 23.
Wir wollen nun die verschiedenen Phasen der beim Beweise des Theorems 44) auszuführen gewesenen Operationen, die vorstehend ab- strakt geschildert sind, durch einige konkrete Beispiele erläutern.
Natürlich bleibt es unbenommen, mit dem schematischen Verfahren auch noch anderweitige Vereinfachungen, die sich unterwegs anbringen lassen, zu verbinden.
Exempel. Sei f (x) = [{(a x + b x1)1c + d x} 1e x1]1.
Dann gibt die Ausführung der vorgeschriebenen Negationen: f (x) = {(a x + b x1)1c + d x} + e1 + x = (a1 + x1) (b1 + x) c + e1 + x indem der Term d x von dem x absorbirt wurde.
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Zehnte Vorlesung.
geht in der That in unser Th. 44+) über, sobald man annimmt, dass die
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x x = x oder x — x x = 0,
das heisst der Gleichung:
x (1 — x) = 0
genüge. Diese quadratische Gleichung hat aber im Gebiet der Zahlen nur
die beiden Wurzeln 0 und 1, und wird demnach unter x dann eine dieser
beiden Zahlen zu verstehen sein.
Für x2 = x ist aber auch x2 · x = x · x oder x3 = x2, somit auch
x3 = x, dann weiter x3 · x = x · x oder x4 = x, etc., und vereinfacht dar-
nach die obige Reihe sich zu:
[FORMEL] insbesondere gibt dies, für x = 1 in Anspruch genommen:
[FORMEL] und wenn man aus diesen beiden Gleichungen die in der geschwungenen
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Bemerkt sei noch, dass man die Gleichung x x = x in der Arithmetik
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Wir wollen nun die verschiedenen Phasen der beim Beweise des
Theorems 44) auszuführen gewesenen Operationen, die vorstehend ab-
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Natürlich bleibt es unbenommen, mit dem schematischen Verfahren
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Exempel. Sei f (x) = [{(a x + b x1)1 c + d x} 1 e x1]1.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 412. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/432>, abgerufen am 22.11.2024.
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