Im identischen Kalkul lässt hienach jede Funktion sogar als eine homogene lineare sich hinstellen (mit konstanten Koeffizienten).
Diesem Umstand hauptsächlich hat es der identische Kalkul zu ver- danken, dass er so erheblich viel leichter zu beherrschen und zu handhaben ist, als die numerisch rechnende Mathematik für deren Ausdrücke und Funktionen eine so einfache typische Grundform nicht angebbar ist.
Die geschilderten Umformungen fanden nun aber sämtlich statt nach allgemein geltenden Theoremen oder Gesetzen des identischen Kalkuls, sodass die Gleichheit zwischen dem ursprünglichen Ausdruck f (x) und dem so gewonnenen a x + b x1 identisch bestehen muss für ganz beliebige, für alle erdenklichen Bedeutungen sämtlicher vorkom- menden Buchstaben oder Gebietsymbole -- wie denn schon für alle Zwischenstufen der Rechnung die Gleichung zwischen dem Ausdruck f (x), und dessen successiven Transformationen nach dem Distributions- gesetze etc., stetsfort den Charakter einer allgemeinen Formel behielt.
Diese letzte Formel bleibt demnach auch richtig, falls man x durch 1 ersetzt, wobei x1 = 0 zu setzen ist; desgleichen fährt sie fort gültig zu sein für x = 0, x1 = 1. Indem man sie für diese speziellen Fälle in Anspruch nimmt, erkennt man aber dass: f (1) = a, f (0) = b ist und nach Einsetzung dieser Werte von a und b in jene letzte For- mel wird unser Theorem bewiesen erscheinen.
Die Darstellung einer Funktion f (x) nach dem Schema des Th. 44+) wird die "Entwickelung" (development) dieser Funktion nach der Varia- beln x genannt.
Durch solches Entwickeln wird die Funktion "linear" und "homogen" gemacht in Bezug auf x und x1.
x und x1 heissen die "Konstituenten" der Entwickelung, im Gegen- satz zu den "Koeffizienten" f (1) und f (0) derselben.
Das Produkt der Konstituenten ist 0, ihre Summe ist 1, nach Th. 30), wogegen die Koeffizienten irgendwelche von einander unab- hängig beliebige Werte haben mögen, wie schon die Annahme f (x) = a x + b x1 erkennen lässt.
Nach Boole4 p. 72 und 73 Fussnote ist das Theorem 44+) das Ana- logon des Taylor'schen Satzes in der Funktionenlehre der arithmetischen Analysis.
Die (in der Taylor'schen bekanntlich enthaltene) Mac-Laurin'sche Reihe:
[Formel 1]
§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
Im identischen Kalkul lässt hienach jede Funktion sogar als eine homogene lineare sich hinstellen (mit konstanten Koeffizienten).
Diesem Umstand hauptsächlich hat es der identische Kalkul zu ver- danken, dass er so erheblich viel leichter zu beherrschen und zu handhaben ist, als die numerisch rechnende Mathematik für deren Ausdrücke und Funktionen eine so einfache typische Grundform nicht angebbar ist.
Die geschilderten Umformungen fanden nun aber sämtlich statt nach allgemein geltenden Theoremen oder Gesetzen des identischen Kalkuls, sodass die Gleichheit zwischen dem ursprünglichen Ausdruck f (x) und dem so gewonnenen a x + b x1 identisch bestehen muss für ganz beliebige, für alle erdenklichen Bedeutungen sämtlicher vorkom- menden Buchstaben oder Gebietsymbole — wie denn schon für alle Zwischenstufen der Rechnung die Gleichung zwischen dem Ausdruck f (x), und dessen successiven Transformationen nach dem Distributions- gesetze etc., stetsfort den Charakter einer allgemeinen Formel behielt.
Diese letzte Formel bleibt demnach auch richtig, falls man x durch 1 ersetzt, wobei x1 = 0 zu setzen ist; desgleichen fährt sie fort gültig zu sein für x = 0, x1 = 1. Indem man sie für diese speziellen Fälle in Anspruch nimmt, erkennt man aber dass: f (1) = a, f (0) = b ist und nach Einsetzung dieser Werte von a und b in jene letzte For- mel wird unser Theorem bewiesen erscheinen.
Die Darstellung einer Funktion f (x) nach dem Schema des Th. 44+) wird die „Entwickelung“ (development) dieser Funktion nach der Varia- beln x genannt.
Durch solches Entwickeln wird die Funktion „linear“ und „homogen“ gemacht in Bezug auf x und x1.
x und x1 heissen die „Konstituenten“ der Entwickelung, im Gegen- satz zu den „Koeffizienten“ f (1) und f (0) derselben.
Das Produkt der Konstituenten ist 0, ihre Summe ist 1, nach Th. 30), wogegen die Koeffizienten irgendwelche von einander unab- hängig beliebige Werte haben mögen, wie schon die Annahme f (x) = a x + b x1 erkennen lässt.
Nach Boole4 p. 72 und 73 Fussnote ist das Theorem 44+) das Ana- logon des Taylor'schen Satzes in der Funktionenlehre der arithmetischen Analysis.
Die (in der Taylor'schen bekanntlich enthaltene) Mac-Laurin'sche Reihe:
[Formel 1]
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§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
Im identischen Kalkul lässt hienach jede Funktion sogar als eine
homogene lineare sich hinstellen (mit konstanten Koeffizienten).
Diesem Umstand hauptsächlich hat es der identische Kalkul zu ver-
danken, dass er so erheblich viel leichter zu beherrschen und zu handhaben
ist, als die numerisch rechnende Mathematik für deren Ausdrücke und
Funktionen eine so einfache typische Grundform nicht angebbar ist.
Die geschilderten Umformungen fanden nun aber sämtlich statt
nach allgemein geltenden Theoremen oder Gesetzen des identischen
Kalkuls, sodass die Gleichheit zwischen dem ursprünglichen Ausdruck
f (x) und dem so gewonnenen a x + b x1 identisch bestehen muss für
ganz beliebige, für alle erdenklichen Bedeutungen sämtlicher vorkom-
menden Buchstaben oder Gebietsymbole — wie denn schon für alle
Zwischenstufen der Rechnung die Gleichung zwischen dem Ausdruck
f (x), und dessen successiven Transformationen nach dem Distributions-
gesetze etc., stetsfort den Charakter einer allgemeinen Formel behielt.
Diese letzte Formel bleibt demnach auch richtig, falls man x
durch 1 ersetzt, wobei x1 = 0 zu setzen ist; desgleichen fährt sie fort
gültig zu sein für x = 0, x1 = 1. Indem man sie für diese speziellen
Fälle in Anspruch nimmt, erkennt man aber dass:
f (1) = a, f (0) = b
ist und nach Einsetzung dieser Werte von a und b in jene letzte For-
mel wird unser Theorem bewiesen erscheinen.
Die Darstellung einer Funktion f (x) nach dem Schema des Th. 44+)
wird die „Entwickelung“ (development) dieser Funktion nach der Varia-
beln x genannt.
Durch solches Entwickeln wird die Funktion „linear“ und „homogen“
gemacht in Bezug auf x und x1.
x und x1 heissen die „Konstituenten“ der Entwickelung, im Gegen-
satz zu den „Koeffizienten“ f (1) und f (0) derselben.
Das Produkt der Konstituenten ist 0, ihre Summe ist 1, nach
Th. 30), wogegen die Koeffizienten irgendwelche von einander unab-
hängig beliebige Werte haben mögen, wie schon die Annahme
f (x) = a x + b x1
erkennen lässt.
Nach Boole4 p. 72 und 73 Fussnote ist das Theorem 44+) das Ana-
logon des Taylor'schen Satzes in der Funktionenlehre der arithmetischen
Analysis.
Die (in der Taylor'schen bekanntlich enthaltene) Mac-Laurin'sche
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 411. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/431>, abgerufen am 08.05.2024.
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