Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Zehnte Vorlesung.

einander, sondern nur noch mit Parametern multiplizirt zeigen wird.
Und zwar hat er, wenn man noch die in Bezug auf x und x₁ „gleich-
namigen“ Glieder zusammenzieht, sie nach Th. 27_×) „vereinigt“, näm-
lich x₁ bei all den Gliedern, welche x₁ zum Faktor haben, als gemein-
samen Faktor „ausscheidet“, und ebenso x bei den mit x behafteten
Gliedern — nachdem man kraft des Kommutationsgesetzes 12₊) sie
hat zusammenrücken lassen — notwendig die Form:
f (x) = A x + B x₁ + C,
wo die „Koeffizienten“ A, B, C die Symbole x und x₁ nicht mehr als
Operationsglieder enthalten, (sondern höchstens sich darstellen werden
als Summen von Produkten aus lauter Parametern oder eventuell auch
Negationen solcher).

Jedenfalls nämlich kann man doch die Summe derjenigen Glieder,
welche weder mit x noch mit x₁ behaftet waren, nunmehr C nennen und
mit A resp. B das Gebiet bezeichnen, in welches — nach Ausführung der
geschilderten Operationen — das x resp. x₁ multiplizirt erscheinen wird —
vorausgesetzt natürlich, dass die Symbole A, B, C nicht bereits anderweitig
als Namen vergeben waren, nämlich nicht selbst schon als Parameter im
aktuellen Funktionsausdruck f (x) vorgekommen sind, in welchem Falle
denn andere Buchstaben zur Darstellung unsrer Koeffizienten genommen
werden müssten.

Hienach lässt also jede Funktion von x im identischen Kalkul sich
als eine lineare Funktion von x darstellen.

Dieselbe wäre „homogen“ zu nennen in dem Falle, wo etwa das
„Absolutglied“ C sich = 0 herausstellte, wo man es dann fortlassen
und einfacher: f (x) = A x + B x₁ schreiben könnte.

Aber auch wenn C nicht verschwindet, kann man unsern Aus-
druck vollends homogen machen — sei es durch überschiebendes Mul-
tipliziren der vorstehenden Gleichung mit der Gleichung
1 = x + x₁
— sei es, noch besser, indem man blos das Absolutglied mit dem
Faktor 1, der = x + x₁ ist, versieht, somit C durch
C · 1 = C (x + x₁) = C x + C x₁
ersetzt.

Hierdurch wird in der That:
f (x) = (A + C) x + (B + C) x₁.
Der Ausdruck nimmt also schliesslich die „lineare homogene“ Form
an (indem wir A + C kürzer a und B + C ebenso b nennen):
f (x) = a x + b x₁,
in welcher a und b von x (und x₁) unabhängig sind.