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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
so folgt:
f (0, y, z) = a y z1 + b z, f (1, y, z) = a y z1 + c y1,
f (x, 0, 0) = c x = f (1, x1, 1), f (x, 0, 1) = b x1 + c x, f (x, 1, 1) = b x1,
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f (a1, b, c) = a b c1 + b c a + c a1 b1 = a b + a1 b1 c, etc.

Der Leser ermittle auch noch andre Funktionswerte, wie
f (x1 1, 0), f (x, 1, x), f (x, x1, 0), f (d, d, d), etc.

44+) Theorem. Allgemein ist:
f (x) = f (1) · x + f (0) · x1.

Beweis. In § 17, Zusatz 2 zu Th. 36) haben wir gesehen, dass
(und wie) sämtliche im aktuellen Ausdruck von f (x) etwa "angedeu-
teten" Negationen sich werden "ausführen" lassen, sodass schliesslich
der Ausdruck nur noch durch Addition und Multiplikation (ohne Nega-
tion) aus lauter Gebietssymbolen aufgebaut erscheint.

Von einem Ausdruck solcher Art haben wir aber in § 13, Zusatz 1
zu Th. 28) ferner gesehen, dass (und auf welche Weise) derselbe im-
mer in seine "letzten Aggreganten" zerfällt werden kann, also dass
derselbe als eine Summe, ein (eventuell auch nur eingliedriges) Poly-
nom erscheint von lauter monomischen Gliedern, die nur (eventuell
auch einfaktorige) Produkte sind von lauter "einfachen" Gebietssym-
bolen -- irgendwie herausgegriffen aus der Gruppe der in den Aus-
druck ursprünglich eingehenden literalen Gebiete und deren Negatio-
nen --, dagegen keine Summen mehr als Faktoren aufweisen und
ohne jegliche Klammern darum sich anschreiben lassen.

Nachdem in diesem Stadium unser Ausdruck angelangt ist, kann
man nun kraft des Kommutationsgesetzes 12x) in einem jeden der er-
wähnten Monome sämtliche Faktoren, die x sind, desgleichen sämtliche
Faktoren x1, zusammenrücken lassen und ihr Produkt nach dem Tau-
tologiegesetze 14x) je durch einen einzigen Faktor x, resp. x1 ersetzen
[wobei implicite auch das Assoziationsgesetz 13x) nebst Th. 16x) in
Wirkung tritt].

Diejenigen Glieder des Aggregates, welche x und x1 zugleich ent-
halten, kommen dabei nach Th. 30x), 22x) und 21+) in Wegfall.

Der Ausdruck erscheint hienach als "linear" in Bezug auf x und
x1, insofern er diese Symbole nicht mehr mit sich selber oder mit-

§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
so folgt:
f (0, y, z) = a y z1 + b z, f (1, y, z) = a y z1 + c y1,
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Der Leser ermittle auch noch andre Funktionswerte, wie
f (x1 1, 0), f (x, 1, x), f (x, x1, 0), f (d, d, d), etc.

44+) Theorem. Allgemein ist:
f (x) = f (1) · x + f (0) · x1.

Beweis. In § 17, Zusatz 2 zu Th. 36) haben wir gesehen, dass
(und wie) sämtliche im aktuellen Ausdruck von f (x) etwa „angedeu-
teten“ Negationen sich werden „ausführen“ lassen, sodass schliesslich
der Ausdruck nur noch durch Addition und Multiplikation (ohne Nega-
tion) aus lauter Gebietssymbolen aufgebaut erscheint.

Von einem Ausdruck solcher Art haben wir aber in § 13, Zusatz 1
zu Th. 28) ferner gesehen, dass (und auf welche Weise) derselbe im-
mer in seine „letzten Aggreganten“ zerfällt werden kann, also dass
derselbe als eine Summe, ein (eventuell auch nur eingliedriges) Poly-
nom erscheint von lauter monomischen Gliedern, die nur (eventuell
auch einfaktorige) Produkte sind von lauter „einfachen“ Gebietssym-
bolen — irgendwie herausgegriffen aus der Gruppe der in den Aus-
druck ursprünglich eingehenden literalen Gebiete und deren Negatio-
nen —, dagegen keine Summen mehr als Faktoren aufweisen und
ohne jegliche Klammern darum sich anschreiben lassen.

Nachdem in diesem Stadium unser Ausdruck angelangt ist, kann
man nun kraft des Kommutationsgesetzes 12×) in einem jeden der er-
wähnten Monome sämtliche Faktoren, die x sind, desgleichen sämtliche
Faktoren x1, zusammenrücken lassen und ihr Produkt nach dem Tau-
tologiegesetze 14×) je durch einen einzigen Faktor x, resp. x1 ersetzen
[wobei implicite auch das Assoziationsgesetz 13×) nebst Th. 16×) in
Wirkung tritt].

Diejenigen Glieder des Aggregates, welche x und x1 zugleich ent-
halten, kommen dabei nach Th. 30×), 22×) und 21+) in Wegfall.

Der Ausdruck erscheint hienach als „linear“ in Bezug auf x und
x1, insofern er diese Symbole nicht mehr mit sich selber oder mit-

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[409/0429] § 19. Funktionen und deren Entwickelung. so folgt: f (0, y, z) = a y z1 + b z, f (1, y, z) = a y z1 + c y1, f (x, 0, 0) = c x = f (1, x1, 1), f (x, 0, 1) = b x1 + c x, f (x, 1, 1) = b x1, f (0, 0, 0) = 0 = f (1, 1, 1), f (1, 0, 0) = c, f (0, 1, 1) = b, f (a, b, c) = a b c1 + b c a1 + c a b1 = f (a1, b1, c1), f (b, c, a) = 0, f (c, a, b) = a b1 + b c1 + c a1, f (a, b1, c1) = a b1 c + b c1 a1 + c a b = a c + a1 b c1, f (a1, b, c) = a b c1 + b c a + c a1 b1 = a b + a1 b1 c, etc. Der Leser ermittle auch noch andre Funktionswerte, wie f (x1 1, 0), f (x, 1, x), f (x, x1, 0), f (d, d, d), etc. 44+) Theorem. Allgemein ist: f (x) = f (1) · x + f (0) · x1. Beweis. In § 17, Zusatz 2 zu Th. 36) haben wir gesehen, dass (und wie) sämtliche im aktuellen Ausdruck von f (x) etwa „angedeu- teten“ Negationen sich werden „ausführen“ lassen, sodass schliesslich der Ausdruck nur noch durch Addition und Multiplikation (ohne Nega- tion) aus lauter Gebietssymbolen aufgebaut erscheint. Von einem Ausdruck solcher Art haben wir aber in § 13, Zusatz 1 zu Th. 28) ferner gesehen, dass (und auf welche Weise) derselbe im- mer in seine „letzten Aggreganten“ zerfällt werden kann, also dass derselbe als eine Summe, ein (eventuell auch nur eingliedriges) Poly- nom erscheint von lauter monomischen Gliedern, die nur (eventuell auch einfaktorige) Produkte sind von lauter „einfachen“ Gebietssym- bolen — irgendwie herausgegriffen aus der Gruppe der in den Aus- druck ursprünglich eingehenden literalen Gebiete und deren Negatio- nen —, dagegen keine Summen mehr als Faktoren aufweisen und ohne jegliche Klammern darum sich anschreiben lassen. Nachdem in diesem Stadium unser Ausdruck angelangt ist, kann man nun kraft des Kommutationsgesetzes 12×) in einem jeden der er- wähnten Monome sämtliche Faktoren, die x sind, desgleichen sämtliche Faktoren x1, zusammenrücken lassen und ihr Produkt nach dem Tau- tologiegesetze 14×) je durch einen einzigen Faktor x, resp. x1 ersetzen [wobei implicite auch das Assoziationsgesetz 13×) nebst Th. 16×) in Wirkung tritt]. Diejenigen Glieder des Aggregates, welche x und x1 zugleich ent- halten, kommen dabei nach Th. 30×), 22×) und 21+) in Wegfall. Der Ausdruck erscheint hienach als „linear“ in Bezug auf x und x1, insofern er diese Symbole nicht mehr mit sich selber oder mit-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 409. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/429>, abgerufen am 08.05.2024.