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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
zu dieser Arbeit, führt dieselbe zurück auf die einmalige Ersetzung
des x an der Stelle, wo es als Argument aufgeführt war, durch den
Ausdruck, welcher dafür einzusetzen ist. So wird in unserm Bei-
spiele schon
f {(a b1 + a1 b) (c d + c1 d1)}
das Ergebniss der verlangten Operation vorstellen, und für die Zwecke
allgemeiner Überlegungen genügt es zumeist, die Operation solcher-
gestalt nur "angedeutet" zu lassen.

So liefert uns die symbolische Funktionsdarstellung allemal einen
übersichtlichen und ausdrucksvollen schon durch sich selbst verständ-
lichen Namen für jeden Funktionswert, welcher zu einem gegebenen
Argumentwert oder Wertsysteme gehört. --

Ein weiterer Vorteil, den uns diese Funktionsbezeichnung gewährt,
ist aber der, dass wir durch sie auch in den Stand gesetzt werden,
Eigenschaften, welche allen Funktionen zukommen, desgleichen Sätze,
welche etwa nur für gewisse Klassen von Funktionen gelten, in der
Zeichensprache des Kalkuls konzisest mittelst Formeln darzustellen.

Dieser Vorteil ist für das Studium der Ausdrücke und Funktionen
ein ähnlicher und von der gleichen Tragweite, wie der, den der Ge-
brauch von Buchstaben als allgemeinen Symbolen für Gebiete oder
Klassen beim Studium der letzteren gewährt. Die Funktionsbuchstaben
können auch verwendet werden zur Darstellung von allgemeinen
Funktionen.

Nunmehr zur Illustration des Gesagten einige Beispiele und
Übungen.

Bedeutet f (x) = a + a1 x, worin dem Obigen entsprechend a einen
Parameter vorstellen soll, also die Symbole a und a1 von unveränderter
Bedeutung bleiben, wenn man auch dem x irgendwelche verschiedene Be-
deutungen unterlegt, sodass die Gebiete a und a1 als "unabhängig von x"
zu bezeichnen, so ist f (0) = a und f (1) = 1. Somit ist die Funktion
sicher mit x veränderlich, wofern nur unter a nicht gerade das Gebiet 1
verstanden wird; sie nimmt ja dann für verschiedene Werte von x mit-
unter selbst verschiedene Werte an. Weiter ist auch f (a) = a, mithin
hier zufällig: f (a) = f (0). Dagegen ist wieder f (a1) = 1, somit hier
f (a1) = f (1). Endlich wird f (b) = a + a1 b = a + b -- cf. Th. 33+) Zu-
satz, und konnten wir auch allgemein den ursprünglichen Ausdruck ver-
einfachen zu f (x) = a + x. --

Für f (x) = a + b x ist ähnlich:
f (0) = a = f (a) = f (b1), f (1) = a + b = f (b) = f (a1),
f (c) = a + b c, f (c1) = a + b c1, etc. --

Für f (x) = (a + x) (b + x1)

§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
zu dieser Arbeit, führt dieselbe zurück auf die einmalige Ersetzung
des x an der Stelle, wo es als Argument aufgeführt war, durch den
Ausdruck, welcher dafür einzusetzen ist. So wird in unserm Bei-
spiele schon
f {(a b1 + a1 b) (c d + c1 d1)}
das Ergebniss der verlangten Operation vorstellen, und für die Zwecke
allgemeiner Überlegungen genügt es zumeist, die Operation solcher-
gestalt nur „angedeutet“ zu lassen.

So liefert uns die symbolische Funktionsdarstellung allemal einen
übersichtlichen und ausdrucksvollen schon durch sich selbst verständ-
lichen Namen für jeden Funktionswert, welcher zu einem gegebenen
Argumentwert oder Wertsysteme gehört. —

Ein weiterer Vorteil, den uns diese Funktionsbezeichnung gewährt,
ist aber der, dass wir durch sie auch in den Stand gesetzt werden,
Eigenschaften, welche allen Funktionen zukommen, desgleichen Sätze,
welche etwa nur für gewisse Klassen von Funktionen gelten, in der
Zeichensprache des Kalkuls konzisest mittelst Formeln darzustellen.

Dieser Vorteil ist für das Studium der Ausdrücke und Funktionen
ein ähnlicher und von der gleichen Tragweite, wie der, den der Ge-
brauch von Buchstaben als allgemeinen Symbolen für Gebiete oder
Klassen beim Studium der letzteren gewährt. Die Funktionsbuchstaben
können auch verwendet werden zur Darstellung von allgemeinen
Funktionen.

Nunmehr zur Illustration des Gesagten einige Beispiele und
Übungen.

Bedeutet f (x) = a + a1 x, worin dem Obigen entsprechend a einen
Parameter vorstellen soll, also die Symbole a und a1 von unveränderter
Bedeutung bleiben, wenn man auch dem x irgendwelche verschiedene Be-
deutungen unterlegt, sodass die Gebiete a und a1 als „unabhängig von x“
zu bezeichnen, so ist f (0) = a und f (1) = 1. Somit ist die Funktion
sicher mit x veränderlich, wofern nur unter a nicht gerade das Gebiet 1
verstanden wird; sie nimmt ja dann für verschiedene Werte von x mit-
unter selbst verschiedene Werte an. Weiter ist auch f (a) = a, mithin
hier zufällig: f (a) = f (0). Dagegen ist wieder f (a1) = 1, somit hier
f (a1) = f (1). Endlich wird f (b) = a + a1 b = a + b — cf. Th. 33+) Zu-
satz, und konnten wir auch allgemein den ursprünglichen Ausdruck ver-
einfachen zu f (x) = a + x. —

Für f (x) = a + b x ist ähnlich:
f (0) = a = f (a) = f (b1), f (1) = a + b = f (b) = f (a1),
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Für f (x) = (a + x) (b + x1)

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[407/0427] § 19. Funktionen und deren Entwickelung. zu dieser Arbeit, führt dieselbe zurück auf die einmalige Ersetzung des x an der Stelle, wo es als Argument aufgeführt war, durch den Ausdruck, welcher dafür einzusetzen ist. So wird in unserm Bei- spiele schon f {(a b1 + a1 b) (c d + c1 d1)} das Ergebniss der verlangten Operation vorstellen, und für die Zwecke allgemeiner Überlegungen genügt es zumeist, die Operation solcher- gestalt nur „angedeutet“ zu lassen. So liefert uns die symbolische Funktionsdarstellung allemal einen übersichtlichen und ausdrucksvollen schon durch sich selbst verständ- lichen Namen für jeden Funktionswert, welcher zu einem gegebenen Argumentwert oder Wertsysteme gehört. — Ein weiterer Vorteil, den uns diese Funktionsbezeichnung gewährt, ist aber der, dass wir durch sie auch in den Stand gesetzt werden, Eigenschaften, welche allen Funktionen zukommen, desgleichen Sätze, welche etwa nur für gewisse Klassen von Funktionen gelten, in der Zeichensprache des Kalkuls konzisest mittelst Formeln darzustellen. Dieser Vorteil ist für das Studium der Ausdrücke und Funktionen ein ähnlicher und von der gleichen Tragweite, wie der, den der Ge- brauch von Buchstaben als allgemeinen Symbolen für Gebiete oder Klassen beim Studium der letzteren gewährt. Die Funktionsbuchstaben können auch verwendet werden zur Darstellung von allgemeinen Funktionen. Nunmehr zur Illustration des Gesagten einige Beispiele und Übungen. Bedeutet f (x) = a + a1 x, worin dem Obigen entsprechend a einen Parameter vorstellen soll, also die Symbole a und a1 von unveränderter Bedeutung bleiben, wenn man auch dem x irgendwelche verschiedene Be- deutungen unterlegt, sodass die Gebiete a und a1 als „unabhängig von x“ zu bezeichnen, so ist f (0) = a und f (1) = 1. Somit ist die Funktion sicher mit x veränderlich, wofern nur unter a nicht gerade das Gebiet 1 verstanden wird; sie nimmt ja dann für verschiedene Werte von x mit- unter selbst verschiedene Werte an. Weiter ist auch f (a) = a, mithin hier zufällig: f (a) = f (0). Dagegen ist wieder f (a1) = 1, somit hier f (a1) = f (1). Endlich wird f (b) = a + a1 b = a + b — cf. Th. 33+) Zu- satz, und konnten wir auch allgemein den ursprünglichen Ausdruck ver- einfachen zu f (x) = a + x. — Für f (x) = a + b x ist ähnlich: f (0) = a = f (a) = f (b1), f (1) = a + b = f (b) = f (a1), f (c) = a + b c, f (c1) = a + b c1, etc. — Für f (x) = (a + x) (b + x1)

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 407. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/427>, abgerufen am 18.02.2025.