Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.

Analog entsteht f (a, b) aus f (x, y), indem man a für x und b
für y (somit auch a₁ für x₁ und b₁ für y₁) in letzterm Ausdruck sub-
stituirt. Und so weiter.

Wird ein die Gebietsymbole x, y, … enthaltender Ausdruck als
Funktion von diesen Argumenten mit f (x, y, …) bezeichnet, so ver-
fügt man damit über eine zweite Darstellung desselben und diese wird,
gegenüber dem „aktuellen“ Ausdruck der Funktion in Gestalt des ur-
sprünglichen Ausdruckes, bezeichnet als die „symbolische“ Darstellung
derselben. Eine Funktion wird darnach „symbolisch“ dargestellt, in-
dem man hinter einen „Funktionsbuchstaben“ f oder φ, ψ, χ, Ϝ, Φ, Ψ,
Χ, … in eine Klammer und durch Kommata getrennt die Namen der
Argumente in unabänderlich festzuhaltender Reihenfolge schreibt.

Der Funktionsbuchstabe ist ein „Operationssymbol“, aber nicht ein
Gebiets- oder Klassensymbol, und darf mit einem solchen durchaus nicht
verwechselt werden. Sähe man z. B. bei f (a + b) das f für ein Gebiet
an, so würde diesem Ausdruck eine ganz andere als die vorhin erläuterte
Bedeutung zukommen, derselbe würde nämlich dann für das Produkt
f · (a + b) = f · a + f · b gehalten werden müssen. Es empfiehlt sich also
zum Funktionsbuchstaben einen solchen zu wählen, der nicht schon ander-
weitig als Gebietsymbol vorkommt.

Dass ein Buchstabe als Funktionsbuchstabe gelten solle ist jedoch in
der Regel schon ohne ausdrückliche Vereinbarung ersichtlich. Sagen wir
z. B. f (x), oder auch f (0), f (1) und dergleichen, so gibt sich das ein-
geklammerte Symbol schon dadurch als ein Argument oder Argumentwert
— mithin das davorstehende als Funktionsbuchstabe — zu erkennen, dass
es mit einer Klammer umschlossen ist, die ohne solche Absicht als eine
„überflüssige“ zu verwerfen wäre (vergl. Anhang 2). Und sagen wir
f (x, y, ‥) so zeigen auch die Symbole trennenden Kommata deren Be-
stimmung, Argumente zu repräsentiren, an.

Haben wir nun etwa eine Funktion f (x, y, z), so wird der Ausdruck
f (y, z, x) nicht wieder eben diese, sondern diejenige Funktion vorstellen,
deren Ausdruck aus dem gegebenen hervorgeht, indem man x durch y,
daneben y durch z und z durch x durchweg ersetzt. Ebenso, wenn f (x, y)
gegeben ist, bedeutet f (y, x) das Ergebniss einer Vertauschung von x
und y miteinander im gegebenen Ausdrucke, u. s. w.

Leicht erhellen nunmehr die Vorteile, welche durch die symbolische
Darstellung der Funktionen erzielbar sind und im Hinblick auf welche
eben solche Darstellung in die Wissenschaft eingeführt wurde.

Bei allen Untersuchungen von irgend allgemeinem Charakter ist
es eine Sache von erster Wichtigkeit, zu wissen, in welcher Weise
sich die Bedeutung eines Ausdruckes richtet nach den Bedeutungen
der ihn zusammensetzenden Terme von allgemeiner Natur. Will man
diese Abhängigkeit erforschen, so muss man den letzteren als Argu-
menten andere und andere Bedeutungen unterlegen, Werte beilegen,