a mit b sowie auch c mit d vertauschen, und muss hiebei auch die Be- hauptung gültig bleiben. Thut man dies einzeln oder gleichzeitig, so er- hält man aus der letztern sofort auch noch die drei folgenden von den be- haupteten Subsumtionen, und geht die allerletzte dann nach dem Theorem selbst aus der vorletzten hervor, wenn man in ihr die Terme b und c vor- schriftsmässig auf die andre Seite des Subsumtionszeichens wirft. Zum Überfluss folgt die eine Hälfte der sechs Subsumtionen auch aus der andern und so die letzte aus der ersten durch beiderseitiges Negiren gemäss Th. 37) und 36).]
x) Exempel hiezu. In der Mannigfaltigkeit 1 der (ebenen) Kurven bedeute a die Klasse der Kegelschnitte, b die Klasse derjenigen Kurven, welche einen "Mittelpunkt" haben, c die Klasse der Ellipsen (mit Ein- schluss des Kreises) und d die Klasse der Hyperbeln (mit Einschluss des Geradenpaars, nämlich Paares einander schneidender Geraden), so ist die vorausgesetzte Subsumtion erfüllt, nämlich:
Kegelschnitte, welche einen Mittelpunkt haben, sind Ellipsen oder Hyperbeln.
Nach dem Theoreme folgt daraus: Kegelschnitte, welche nicht Ellipsen sind, müssen Hyperbeln sein oder (Kurven, die) keinen Mittel- punkt haben. Etc. etc.
Anmerkung. Das gegebene Beispiel kann benutzt werden um darzuthun, dass es nicht gestattet ist, die Subsumtionszeichen in dem Satze n) durch Gleichheitszeichen zu ersetzen. Denn die vorausgesetzte Subsumtion gilt hier sogar als Gleichung (indem die Ellipsen nebst den Hyperbeln auch die Kegelschnitte sind, die einen Mittelpunkt haben), die gefolgerte Subsumtion aber nicht:
Kurven, die keinen Mittelpunkt haben (oder aber, resp.), sowie Hyperbeln, brauchen nicht Kegelschnitte zu sein, die nicht Ellipsen sind -- sie brauchen nämlich überhaupt nicht Kegelschnitte zu sein.
o) Herr Peirce erblickt im obigen Satze n) das wahre Wesen, die "Essenz" der Negation -- was insofern begründet erscheint, als derselbe die hochwichtigen Theoreme 41) in sich vereinigt. Diese fliessen aus ihm, indem man c = 0 resp. b = 1 annimmt.
Man konnte auch umgekehrt das Th. n) ganz unmittelbar auf die beiden einfacheren Theoreme 41) zurückführen.
Anstatt aus diesen setzt Peirce5 p. 35, sein Theorem aus folgenden beiden Sätzen zusammen (wie? ist mir nicht recht ersichtlich):
Theoremox). Wenn
Theoremo+). Wenn
a bc
ab + c
§ 18. Anwendungen.
a mit b sowie auch c mit d vertauschen, und muss hiebei auch die Be- hauptung gültig bleiben. Thut man dies einzeln oder gleichzeitig, so er- hält man aus der letztern sofort auch noch die drei folgenden von den be- haupteten Subsumtionen, und geht die allerletzte dann nach dem Theorem selbst aus der vorletzten hervor, wenn man in ihr die Terme b und c vor- schriftsmässig auf die andre Seite des Subsumtionszeichens wirft. Zum Überfluss folgt die eine Hälfte der sechs Subsumtionen auch aus der andern und so die letzte aus der ersten durch beiderseitiges Negiren gemäss Th. 37) und 36).]
ξ) Exempel hiezu. In der Mannigfaltigkeit 1 der (ebenen) Kurven bedeute a die Klasse der Kegelschnitte, b die Klasse derjenigen Kurven, welche einen „Mittelpunkt“ haben, c die Klasse der Ellipsen (mit Ein- schluss des Kreises) und d die Klasse der Hyperbeln (mit Einschluss des Geradenpaars, nämlich Paares einander schneidender Geraden), so ist die vorausgesetzte Subsumtion erfüllt, nämlich:
Kegelschnitte, welche einen Mittelpunkt haben, sind Ellipsen oder Hyperbeln.
Nach dem Theoreme folgt daraus: Kegelschnitte, welche nicht Ellipsen sind, müssen Hyperbeln sein oder (Kurven, die) keinen Mittel- punkt haben. Etc. etc.
Anmerkung. Das gegebene Beispiel kann benutzt werden um darzuthun, dass es nicht gestattet ist, die Subsumtionszeichen in dem Satze ν) durch Gleichheitszeichen zu ersetzen. Denn die vorausgesetzte Subsumtion gilt hier sogar als Gleichung (indem die Ellipsen nebst den Hyperbeln auch die Kegelschnitte sind, die einen Mittelpunkt haben), die gefolgerte Subsumtion aber nicht:
Kurven, die keinen Mittelpunkt haben (oder aber, resp.), sowie Hyperbeln, brauchen nicht Kegelschnitte zu sein, die nicht Ellipsen sind — sie brauchen nämlich überhaupt nicht Kegelschnitte zu sein.
ο) Herr Peirce erblickt im obigen Satze ν) das wahre Wesen, die „Essenz“ der Negation — was insofern begründet erscheint, als derselbe die hochwichtigen Theoreme 41) in sich vereinigt. Diese fliessen aus ihm, indem man c = 0 resp. b = 1 annimmt.
Man konnte auch umgekehrt das Th. ν) ganz unmittelbar auf die beiden einfacheren Theoreme 41) zurückführen.
Anstatt aus diesen setzt Peirce5 p. 35, sein Theorem aus folgenden beiden Sätzen zusammen (wie? ist mir nicht recht ersichtlich):
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§ 18. Anwendungen.
a mit b sowie auch c mit d vertauschen, und muss hiebei auch die Be-
hauptung gültig bleiben. Thut man dies einzeln oder gleichzeitig, so er-
hält man aus der letztern sofort auch noch die drei folgenden von den be-
haupteten Subsumtionen, und geht die allerletzte dann nach dem Theorem
selbst aus der vorletzten hervor, wenn man in ihr die Terme b und c vor-
schriftsmässig auf die andre Seite des Subsumtionszeichens wirft. Zum
Überfluss folgt die eine Hälfte der sechs Subsumtionen auch aus der andern
und so die letzte aus der ersten durch beiderseitiges Negiren gemäss
Th. 37) und 36).]
ξ) Exempel hiezu. In der Mannigfaltigkeit 1 der (ebenen) Kurven
bedeute a die Klasse der Kegelschnitte, b die Klasse derjenigen Kurven,
welche einen „Mittelpunkt“ haben, c die Klasse der Ellipsen (mit Ein-
schluss des Kreises) und d die Klasse der Hyperbeln (mit Einschluss
des Geradenpaars, nämlich Paares einander schneidender Geraden), so
ist die vorausgesetzte Subsumtion erfüllt, nämlich:
Kegelschnitte, welche einen Mittelpunkt haben, sind Ellipsen oder
Hyperbeln.
Nach dem Theoreme folgt daraus: Kegelschnitte, welche nicht
Ellipsen sind, müssen Hyperbeln sein oder (Kurven, die) keinen Mittel-
punkt haben. Etc. etc.
Anmerkung. Das gegebene Beispiel kann benutzt werden um
darzuthun, dass es nicht gestattet ist, die Subsumtionszeichen in dem
Satze ν) durch Gleichheitszeichen zu ersetzen. Denn die vorausgesetzte
Subsumtion gilt hier sogar als Gleichung (indem die Ellipsen nebst den
Hyperbeln auch die Kegelschnitte sind, die einen Mittelpunkt haben),
die gefolgerte Subsumtion aber nicht:
Kurven, die keinen Mittelpunkt haben (oder aber, resp.), sowie
Hyperbeln, brauchen nicht Kegelschnitte zu sein, die nicht Ellipsen
sind — sie brauchen nämlich überhaupt nicht Kegelschnitte zu sein.
ο) Herr Peirce erblickt im obigen Satze ν) das wahre Wesen,
die „Essenz“ der Negation — was insofern begründet erscheint, als
derselbe die hochwichtigen Theoreme 41) in sich vereinigt. Diese
fliessen aus ihm, indem man c = 0 resp. b = 1 annimmt.
Man konnte auch umgekehrt das Th. ν) ganz unmittelbar auf die
beiden einfacheren Theoreme 41) zurückführen.
Anstatt aus diesen setzt Peirce5 p. 35, sein Theorem aus folgenden
beiden Sätzen zusammen (wie? ist mir nicht recht ersichtlich):
Theorem ο×). Wenn Theorem ο+). Wenn
a b ⋹ c a ⋹ b + c
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 379. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/399>, abgerufen am 22.11.2024.
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