geschickt und ungeschickt Gebrauch gemacht werden. Unzweckmässig wäre es, hier erst die beiden Binome auszumultipliziren, wobei von den vier zu bildenden Produkten blos eines, b b1 fortfiele. Besser gehe man mit dem Faktor a in die erste Klammer und mit dem c1 in die letzte Klammer hinein, wo dann nur je ein Glied stehen bleiben und sogleich a b · b1c1 ent- stehen wird.
Man kann auch nach Th. 38+) die Subsumtion umschreiben in die Gleichung: (a c1)1 + a b1 + b c1 = 1 oder a1 + c + a b1 + b c1 = 1, welche sich ebenfalls bewahrheitet, indem nach Th. 33+) Zusatz: a1 + a b1 = a1 + b1, desgleichen c + b c1 = c + b, hernach aber b1 + b = 1 und die ganze Summe: 1 + a1 + c = 1 nach Th. 22+) sein wird.
Endlich könnte man die rechte Seite der fraglichen Subsumtion umformen in: a b1 (c + c1) + (a + a1) b c1 = a b1c + a c1 (b1 + b) + a1b c1 = a c1 + (a b1c + a1b c1).
Nach Th. 6+) ist nun ein Summand -- hier a c1 -- jederzeit in der Summe enthalten. --
n) So unvollständig unser bis jetzt gesichertes wissenschaftliches Kapital noch ist (wie aus der Fortsetzung der Theorie erhellen wird), so vermag man doch mit demselben schon unbeschränkt neue Sätze aufzustellen, deren oft recht interessante zu entdecken, entdeckte zu beweisen. Wir begnügen uns mit ein paar Beispielen.
Theoremn) (von Peirce). Wenn a bc + d ist, so muss auch: a c1b1 + d sein [und desgleichen, mit demselben Rechte: a d1b1 + c, b c1a1 + d, b d1a1 + c, c1d1a1 + b1, sodass von allen sechs Subsumtionen eine jede die fünf übrigen nach sich zieht, mit jeder andern äquivalent ist]. Es kann hienach ein Faktor des Subjekts mit einem Summanden des Prädikats vertauscht werden, sofern man nur beide in ihre Negationen umwandelt.
Der Beweis des Theorems wird am einfachsten dadurch geleistet, dass man nach Th. 38x) die Subsumtionen in Gleichungen umschreibt, wodurch die vorausgesetzte in a b (c + d)1 = 0 oder wegen 36+) in a b c1d1 = 0, die behauptete in a c1 (b1 + d)1 = 0, das ist a c1b d1 = 0 über- geht, sonach die beiden ganz das nämliche besagen.
[Nun darf man in der Voraussetzung unbeschadet ihrer Gültigkeit
Neunte Vorlesung.
geschickt und ungeschickt Gebrauch gemacht werden. Unzweckmässig wäre es, hier erst die beiden Binome auszumultipliziren, wobei von den vier zu bildenden Produkten blos eines, b b1 fortfiele. Besser gehe man mit dem Faktor a in die erste Klammer und mit dem c1 in die letzte Klammer hinein, wo dann nur je ein Glied stehen bleiben und sogleich a b · b1c1 ent- stehen wird.
Man kann auch nach Th. 38+) die Subsumtion umschreiben in die Gleichung: (a c1)1 + a b1 + b c1 = 1 oder a1 + c + a b1 + b c1 = 1, welche sich ebenfalls bewahrheitet, indem nach Th. 33+) Zusatz: a1 + a b1 = a1 + b1, desgleichen c + b c1 = c + b, hernach aber b1 + b = 1 und die ganze Summe: 1 + a1 + c = 1 nach Th. 22+) sein wird.
Endlich könnte man die rechte Seite der fraglichen Subsumtion umformen in: a b1 (c + c1) + (a + a1) b c1 = a b1c + a c1 (b1 + b) + a1b c1 = a c1 + (a b1c + a1b c1).
Nach Th. 6+) ist nun ein Summand — hier a c1 — jederzeit in der Summe enthalten. —
ν) So unvollständig unser bis jetzt gesichertes wissenschaftliches Kapital noch ist (wie aus der Fortsetzung der Theorie erhellen wird), so vermag man doch mit demselben schon unbeschränkt neue Sätze aufzustellen, deren oft recht interessante zu entdecken, entdeckte zu beweisen. Wir begnügen uns mit ein paar Beispielen.
Theoremν) (von Peirce). Wenn a b ⋹ c + d ist, so muss auch: a c1 ⋹ b1 + d sein [und desgleichen, mit demselben Rechte: a d1 ⋹ b1 + c, b c1 ⋹ a1 + d, b d1 ⋹ a1 + c, c1d1 ⋹ a1 + b1, sodass von allen sechs Subsumtionen eine jede die fünf übrigen nach sich zieht, mit jeder andern äquivalent ist]. Es kann hienach ein Faktor des Subjekts mit einem Summanden des Prädikats vertauscht werden, sofern man nur beide in ihre Negationen umwandelt.
Der Beweis des Theorems wird am einfachsten dadurch geleistet, dass man nach Th. 38×) die Subsumtionen in Gleichungen umschreibt, wodurch die vorausgesetzte in a b (c + d)1 = 0 oder wegen 36+) in a b c1d1 = 0, die behauptete in a c1 (b1 + d)1 = 0, das ist a c1b d1 = 0 über- geht, sonach die beiden ganz das nämliche besagen.
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[378/0398]
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geschickt und ungeschickt Gebrauch gemacht werden. Unzweckmässig wäre
es, hier erst die beiden Binome auszumultipliziren, wobei von den vier zu
bildenden Produkten blos eines, b b1 fortfiele. Besser gehe man mit dem
Faktor a in die erste Klammer und mit dem c1 in die letzte Klammer
hinein, wo dann nur je ein Glied stehen bleiben und sogleich a b · b1 c1 ent-
stehen wird.
Man kann auch nach Th. 38+) die Subsumtion umschreiben in
die Gleichung:
(a c1)1 + a b1 + b c1 = 1 oder a1 + c + a b1 + b c1 = 1,
welche sich ebenfalls bewahrheitet, indem nach Th. 33+) Zusatz:
a1 + a b1 = a1 + b1, desgleichen c + b c1 = c + b, hernach aber b1 + b = 1
und die ganze Summe: 1 + a1 + c = 1 nach Th. 22+) sein wird.
Endlich könnte man die rechte Seite der fraglichen Subsumtion
umformen in:
a b1 (c + c1) + (a + a1) b c1 = a b1 c + a c1 (b1 + b) + a1 b c1 = a c1 + (a b1 c + a1 b c1).
Nach Th. 6+) ist nun ein Summand — hier a c1 — jederzeit in
der Summe enthalten. —
ν) So unvollständig unser bis jetzt gesichertes wissenschaftliches
Kapital noch ist (wie aus der Fortsetzung der Theorie erhellen wird),
so vermag man doch mit demselben schon unbeschränkt neue Sätze
aufzustellen, deren oft recht interessante zu entdecken, entdeckte zu
beweisen. Wir begnügen uns mit ein paar Beispielen.
Theorem ν) (von Peirce). Wenn
a b ⋹ c + d
ist, so muss auch:
a c1 ⋹ b1 + d
sein [und desgleichen, mit demselben Rechte:
a d1 ⋹ b1 + c, b c1 ⋹ a1 + d, b d1 ⋹ a1 + c, c1 d1 ⋹ a1 + b1,
sodass von allen sechs Subsumtionen eine jede die fünf übrigen nach
sich zieht, mit jeder andern äquivalent ist]. Es kann hienach ein
Faktor des Subjekts mit einem Summanden des Prädikats vertauscht
werden, sofern man nur beide in ihre Negationen umwandelt.
Der Beweis des Theorems wird am einfachsten dadurch geleistet,
dass man nach Th. 38×) die Subsumtionen in Gleichungen umschreibt,
wodurch die vorausgesetzte in a b (c + d)1 = 0 oder wegen 36+) in
a b c1 d1 = 0, die behauptete in a c1 (b1 + d)1 = 0, das ist a c1 b d1 = 0 über-
geht, sonach die beiden ganz das nämliche besagen.
[Nun darf man in der Voraussetzung unbeschadet ihrer Gültigkeit
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 378. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/398>, abgerufen am 25.11.2024.
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