sowie umgekehrt -- deren Beweis und Deutung dem Leser überlassen sei.
p) Theorem (von Jevons1 p. 61). Von den sechs Gleichungen: a = b c1 + b1c, a1 = b c + b1c1 b = c a1 + c1a, b1 = c a + c1a1 c = a b1 + a1b, c1 = a b + a1b1 hat jede die fünf übrigen zur Folge; dieselben sind alle sechse einander äquivalent.
Aufgabe: das Theorem zu beweisen.
Auflösung. Durch beiderseitiges Negiren nach Th. 32) und 36) gehen die beiden Gleichungen einer jeden Zeile in einander über. Es handelt sich also nur noch darum, die untereinander stehenden links auf einander zurückzuführen.
Dies kann geschehen, indem man die beiden ersten Gleichungen mit c1 resp. c beiderseits multiplizirt und die Ergebnisse a c1 = b c1, a1c = b c überschiebend addirt. Etc.
Am besten bringt man gemäss Th. 39+) die erste dieser Gleichungen rechterhand auf Null. Dieselbe erweist darnach sich äquivalent mit a (b c1 + b1c)1 + a1 (b c1 + b1c) = 0 oder, wegen (b c1 + b1c)1 = b c + b1c1, mit: a b c + a b1c1 + b c1a1 + c a1b1 = 0.
Hieraus ist aber zu ersehen, dass der vorausgesetzte Zusammen- hang zwischen den Symbolen a, b, c in Bezug auf diese symmetrisch ist, durch Vertauschung derselben nicht verändert wird. Man mag demnach z. B. die Buchstaben a, b, c "cyklisch" -- im Ringe herum -- vertauschen, d. h. a durch b, daneben b durch c und c durch a er- setzen; dadurch wird man aus jener ersten Formel die dritte und aus dieser die fünfte erhalten.
Das behufs Beweises vorstehend eingeschlagene Verfahren und die daran geknüpfte Wahrnehmung mochte ungezwungen zur Entdeckung des Satzes geführt haben.
Man verifizire den Satz auch durch die Anschauung an der Fig. 18 (S. 371), indem man das dort schraffirte Gebiet mit c bezeichnet.
In Worten kann man sagen: Wenn a bedeutet "b oder aber c", so muss auch b einerlei sein mit "a oder aber c", und c mit "a oder aber b".
Exempel zu dem Satze. Es möge a die Klasse der gesetzlich
so ist: a c1 ⋹ b1
so ist: b1 ⋹ c + a1
sowie umgekehrt — deren Beweis und Deutung dem Leser überlassen sei.
π) Theorem (von Jevons1 p. 61). Von den sechs Gleichungen: a = b c1 + b1c, a1 = b c + b1c1 b = c a1 + c1a, b1 = c a + c1a1 c = a b1 + a1b, c1 = a b + a1b1 hat jede die fünf übrigen zur Folge; dieselben sind alle sechse einander äquivalent.
Aufgabe: das Theorem zu beweisen.
Auflösung. Durch beiderseitiges Negiren nach Th. 32) und 36) gehen die beiden Gleichungen einer jeden Zeile in einander über. Es handelt sich also nur noch darum, die untereinander stehenden links auf einander zurückzuführen.
Dies kann geschehen, indem man die beiden ersten Gleichungen mit c1 resp. c beiderseits multiplizirt und die Ergebnisse a c1 = b c1, a1c = b c überschiebend addirt. Etc.
Am besten bringt man gemäss Th. 39+) die erste dieser Gleichungen rechterhand auf Null. Dieselbe erweist darnach sich äquivalent mit a (b c1 + b1c)1 + a1 (b c1 + b1c) = 0 oder, wegen (b c1 + b1c)1 = b c + b1c1, mit: a b c + a b1c1 + b c1a1 + c a1b1 = 0.
Hieraus ist aber zu ersehen, dass der vorausgesetzte Zusammen- hang zwischen den Symbolen a, b, c in Bezug auf diese symmetrisch ist, durch Vertauschung derselben nicht verändert wird. Man mag demnach z. B. die Buchstaben a, b, c „cyklisch“ — im Ringe herum — vertauschen, d. h. a durch b, daneben b durch c und c durch a er- setzen; dadurch wird man aus jener ersten Formel die dritte und aus dieser die fünfte erhalten.
Das behufs Beweises vorstehend eingeschlagene Verfahren und die daran geknüpfte Wahrnehmung mochte ungezwungen zur Entdeckung des Satzes geführt haben.
Man verifizire den Satz auch durch die Anschauung an der Fig. 18 (S. 371), indem man das dort schraffirte Gebiet mit c bezeichnet.
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[380/0400]
Neunte Vorlesung.
so ist: a c1 ⋹ b1 so ist: b1 ⋹ c + a1
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π) Theorem (von Jevons1 p. 61). Von den sechs Gleichungen:
a = b c1 + b1 c, a1 = b c + b1 c1
b = c a1 + c1 a, b1 = c a + c1 a1
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Aufgabe: das Theorem zu beweisen.
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mit c1 resp. c beiderseits multiplizirt und die Ergebnisse a c1 = b c1,
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hang zwischen den Symbolen a, b, c in Bezug auf diese symmetrisch
ist, durch Vertauschung derselben nicht verändert wird. Man mag
demnach z. B. die Buchstaben a, b, c „cyklisch“ — im Ringe herum
— vertauschen, d. h. a durch b, daneben b durch c und c durch a er-
setzen; dadurch wird man aus jener ersten Formel die dritte und aus
dieser die fünfte erhalten.
Das behufs Beweises vorstehend eingeschlagene Verfahren und die
daran geknüpfte Wahrnehmung mochte ungezwungen zur Entdeckung
des Satzes geführt haben.
Man verifizire den Satz auch durch die Anschauung an der Fig. 18
(S. 371), indem man das dort schraffirte Gebiet mit c bezeichnet.
In Worten kann man sagen: Wenn a bedeutet „b oder aber c“, so
muss auch b einerlei sein mit „a oder aber c“, und c mit „a oder aber b“.
Exempel zu dem Satze. Es möge a die Klasse der gesetzlich
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 380. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/400>, abgerufen am 09.05.2024.
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