Ebenso ist von den drei Subsumtionen: ab, ac1, cb die vereinigte Gleichung: a b1 + a c + b1c = 0. Etc.
Die linke Seite einer rechts auf 0 gebrachten Gleichung nennt man, wie in der Mathematik auch "das Polynom dieser Gleichung". So ist a b1 + a c + b1c das Polynom der zuletzt erwähnten.
Mehr beiläufig wollen wir jetzt ein paar Theoreme anreihen, die sich zwar nicht selbst auf Negationen beziehen, aber erst jetzt be- wiesen werden können, nachdem wir (auf Grund des Prinzips IIIx) unter Hinzuziehung des Negationsbegriffs die Berechtigung erworben haben, von dem vollen Distributionsgesetze Gebrauch zu machen.
40) Theorem. Wenn zugleich a cb c und a + cb + c ist, so muss sein: ab
Beweis. Ähnlich wie bei Th. 29) haben wir: a = a (a + c) a (b + c) = a b + a ca b + b c = b (a + c) b (b + c) = b nach Th. 23x), der zweiten Voraussetzung nebst 15x), sodann 27x), der ersten Voraussetzung nebst 15+), wieder 27x), dann der zweiten Vor- aussetzung nebst 15x) und endlich 23x). Oder dual entsprechend.
Also nach Th. 2) und 3): ab, q. e. d.
Zusatz 1. Kombinirt man die durch das Theorem 40) gegebene Aussage mit derjenigen, welche sich durch Vertauschung von a und b aus ihr ergibt so erhält man das Theorem: Wenn a c = b c und zugleich a + c = b + c ist, so muss a = b sein, -- welches als eine Verallgemeinerung des Hülfstheorems 29) erscheint und auch selbständig genau wie letzteres bewiesen werden kann.
Anmerkung. Dass sowol beim Th. 40) als bei dessen Zusatz eine der beiden Prämissen allein nicht genügt, um die Konklusion zu rechtfer- tigen, haben wir bereits unter Th. 15) und 16) hervorgehoben und durch Beispiele über Klassen sowie durch Figuren belegt. Wir sind jetzt auch im stande, es analytisch zu beweisen.
Bei Th. 40) gibt die Annahme a = (b + c1) u, wo u ein willkürliches Gebiet vorstellt, jedesmal ein solches Gebiet a, für welches die erste Prä- misse a cb c erfüllt ist, indem ja a c = b c · ub c nach Th. 6x) wird -- und, nebenbei gesagt, auf die allgemeinste Weise; hier wird nun a b1 = b1c1u im Allgemeinen nicht = 0, also nicht ab sein.
Achte Vorlesung.
Ebenso ist von den drei Subsumtionen: a ⋹ b, a ⋹ c1, c ⋹ b die vereinigte Gleichung: a b1 + a c + b1c = 0. Etc.
Die linke Seite einer rechts auf 0 gebrachten Gleichung nennt man, wie in der Mathematik auch „das Polynom dieser Gleichung“. So ist a b1 + a c + b1c das Polynom der zuletzt erwähnten.
Mehr beiläufig wollen wir jetzt ein paar Theoreme anreihen, die sich zwar nicht selbst auf Negationen beziehen, aber erst jetzt be- wiesen werden können, nachdem wir (auf Grund des Prinzips III×) unter Hinzuziehung des Negationsbegriffs die Berechtigung erworben haben, von dem vollen Distributionsgesetze Gebrauch zu machen.
40) Theorem. Wenn zugleich a c ⋹ b c und a + c ⋹ b + c ist, so muss sein: a ⋹ b
Beweis. Ähnlich wie bei Th. 29) haben wir: a = a (a + c) ⋹ a (b + c) = a b + a c ⋹ a b + b c = b (a + c) ⋹ b (b + c) = b nach Th. 23×), der zweiten Voraussetzung nebst 15×), sodann 27×), der ersten Voraussetzung nebst 15+), wieder 27×), dann der zweiten Vor- aussetzung nebst 15×) und endlich 23×). Oder dual entsprechend.
Also nach Th. 2) und 3): a ⋹ b, q. e. d.
Zusatz 1. Kombinirt man die durch das Theorem 40) gegebene Aussage mit derjenigen, welche sich durch Vertauschung von a und b aus ihr ergibt so erhält man das Theorem: Wenn a c = b c und zugleich a + c = b + c ist, so muss a = b sein, — welches als eine Verallgemeinerung des Hülfstheorems 29) erscheint und auch selbständig genau wie letzteres bewiesen werden kann.
Anmerkung. Dass sowol beim Th. 40) als bei dessen Zusatz eine der beiden Prämissen allein nicht genügt, um die Konklusion zu rechtfer- tigen, haben wir bereits unter Th. 15) und 16) hervorgehoben und durch Beispiele über Klassen sowie durch Figuren belegt. Wir sind jetzt auch im stande, es analytisch zu beweisen.
Bei Th. 40) gibt die Annahme a = (b + c1) u, wo u ein willkürliches Gebiet vorstellt, jedesmal ein solches Gebiet a, für welches die erste Prä- misse a c ⋹ b c erfüllt ist, indem ja a c = b c · u ⋹ b c nach Th. 6×) wird — und, nebenbei gesagt, auf die allgemeinste Weise; hier wird nun a b1 = b1c1u im Allgemeinen nicht = 0, also nicht a ⋹ b sein.
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Achte Vorlesung.
Ebenso ist von den drei Subsumtionen:
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a b1 + a c + b1 c = 0. Etc.
Die linke Seite einer rechts auf 0 gebrachten Gleichung nennt
man, wie in der Mathematik auch „das Polynom dieser Gleichung“.
So ist a b1 + a c + b1 c das Polynom der zuletzt erwähnten.
Mehr beiläufig wollen wir jetzt ein paar Theoreme anreihen, die
sich zwar nicht selbst auf Negationen beziehen, aber erst jetzt be-
wiesen werden können, nachdem wir (auf Grund des Prinzips III×)
unter Hinzuziehung des Negationsbegriffs die Berechtigung erworben
haben, von dem vollen Distributionsgesetze Gebrauch zu machen.
40) Theorem. Wenn zugleich
a c ⋹ b c und a + c ⋹ b + c
ist, so muss sein: a ⋹ b
Beweis. Ähnlich wie bei Th. 29) haben wir:
a = a (a + c) ⋹ a (b + c) = a b + a c ⋹ a b + b c = b (a + c) ⋹ b (b + c) = b
nach Th. 23×), der zweiten Voraussetzung nebst 15×), sodann 27×), der
ersten Voraussetzung nebst 15+), wieder 27×), dann der zweiten Vor-
aussetzung nebst 15×) und endlich 23×). Oder dual entsprechend.
Also nach Th. 2) und 3): a ⋹ b, q. e. d.
Zusatz 1. Kombinirt man die durch das Theorem 40) gegebene
Aussage mit derjenigen, welche sich durch Vertauschung von a und b
aus ihr ergibt so erhält man das Theorem:
Wenn a c = b c und zugleich a + c = b + c ist, so muss a = b sein,
— welches als eine Verallgemeinerung des Hülfstheorems 29) erscheint
und auch selbständig genau wie letzteres bewiesen werden kann.
Anmerkung. Dass sowol beim Th. 40) als bei dessen Zusatz eine
der beiden Prämissen allein nicht genügt, um die Konklusion zu rechtfer-
tigen, haben wir bereits unter Th. 15) und 16) hervorgehoben und durch
Beispiele über Klassen sowie durch Figuren belegt. Wir sind jetzt auch
im stande, es analytisch zu beweisen.
Bei Th. 40) gibt die Annahme a = (b + c1) u, wo u ein willkürliches
Gebiet vorstellt, jedesmal ein solches Gebiet a, für welches die erste Prä-
misse a c ⋹ b c erfüllt ist, indem ja a c = b c · u ⋹ b c nach Th. 6×) wird
— und, nebenbei gesagt, auf die allgemeinste Weise; hier wird nun
a b1 = b1 c1 u im Allgemeinen nicht = 0, also nicht a ⋹ b sein.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 362. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/382>, abgerufen am 09.05.2024.
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