jetzt als ein weiterer Grund der Umstand hinzutritt, dass es schon jedermann geläufig ist, mit rechterhand auf 0 (nicht aber auf 1) ge- brachten Gleichungen zu operiren. [Es könnte überdies als ebendahin wirkend angeführt werden, dass auch in der Wortsprache Ausdrücke wie (a + b) (c + d) meist unbequemer unzweideutig darzustellen sind, als die ihnen dual entsprechenden a b + c d.]
Nach Th. 24) Zusatz konnte jedes System von gleichzeitig gel- tenden Gleichungen mit der rechten Seite 0 in eine einzige solche Gleichung zusammengezogen und durch diese ausreichend vertreten werden. Nach den Th. 38) und 39) kann aber jede Subsumtion sowol als jede Gleichung überhaupt dargestellt werden als eine Gleichung mit der rechten Seite 0.*) Thut man dies bei allen etwa gegebenen Sub- sumtionen und Gleichungen, und wendet hernach den genannten Zu- satz an, so lässt sich offenbar das Ziel verwirklichen, welches der fol- gende Satz ausspricht:
Zusatz zu Th. 39). Jedes System von simultanen (koexistiren- den, als gleichzeitig geltend hingestellten) Subsumtionen und Gleichungen lässt sich in eine einzige Gleichung mit der rechten Seite 0 (oder, wenn man will 1) zusammenziehen und durch diese vollkommen vertreten.
Wir werden dieselbe die "vereinigte Gleichung des Systemes" nennen.
Dies legt uns folgende Bemerkung nahe. In der verbalen Logik wird gewöhnlich unterschieden zwischen "Folgerungen", als welche sich an eine einzige Prämisse knüpfen, und "Schlüssen", als welche mehrere Prämissen haben. Diese Unterscheidung erscheint auf Grund des vorstehenden Zu- satzes in der exakten Logik -- für den Kalkul -- als belanglos, da wir hier immer ein System von Prämissen in eine einzige Prämisse werden zusammenziehen können. Auch "Schlüsse" dürfen hier als "Folgerungen" hingestellt werden.
Und mit der Lösung von Problemen, die sich allgemein beziehen auf eine einzige Gleichung -- z. B. mit deren Auflösung nach einer Unbekannten -- wird das nämliche dann auch von selbst geleistet sein für irgend ein System von Gleichungen!
Übungsaufgabe. Man bilde die vereinigte Gleichung der folgenden acht Subsumtionen und Gleichungen: ab, cd1, e1f, g1h1, k = l, m = n1, p1 = q, r1 = s1.
Auflösung. Die vereinigte Gleichung ist: a b1 + c d + e1f1 + g1h + k l1 + m n + m1n1 + p1q1 + p q + r1s + r s1 = 0.
*) Und statt 0 konnte auch 1 gesagt werden.
§ 17. Fernere Sätze.
jetzt als ein weiterer Grund der Umstand hinzutritt, dass es schon jedermann geläufig ist, mit rechterhand auf 0 (nicht aber auf 1) ge- brachten Gleichungen zu operiren. [Es könnte überdies als ebendahin wirkend angeführt werden, dass auch in der Wortsprache Ausdrücke wie (a + b) (c + d) meist unbequemer unzweideutig darzustellen sind, als die ihnen dual entsprechenden a b + c d.]
Nach Th. 24) Zusatz konnte jedes System von gleichzeitig gel- tenden Gleichungen mit der rechten Seite 0 in eine einzige solche Gleichung zusammengezogen und durch diese ausreichend vertreten werden. Nach den Th. 38) und 39) kann aber jede Subsumtion sowol als jede Gleichung überhaupt dargestellt werden als eine Gleichung mit der rechten Seite 0.*) Thut man dies bei allen etwa gegebenen Sub- sumtionen und Gleichungen, und wendet hernach den genannten Zu- satz an, so lässt sich offenbar das Ziel verwirklichen, welches der fol- gende Satz ausspricht:
Zusatz zu Th. 39). Jedes System von simultanen (koexistiren- den, als gleichzeitig geltend hingestellten) Subsumtionen und Gleichungen lässt sich in eine einzige Gleichung mit der rechten Seite 0 (oder, wenn man will 1) zusammenziehen und durch diese vollkommen vertreten.
Wir werden dieselbe die „vereinigte Gleichung des Systemes“ nennen.
Dies legt uns folgende Bemerkung nahe. In der verbalen Logik wird gewöhnlich unterschieden zwischen „Folgerungen“, als welche sich an eine einzige Prämisse knüpfen, und „Schlüssen“, als welche mehrere Prämissen haben. Diese Unterscheidung erscheint auf Grund des vorstehenden Zu- satzes in der exakten Logik — für den Kalkul — als belanglos, da wir hier immer ein System von Prämissen in eine einzige Prämisse werden zusammenziehen können. Auch „Schlüsse“ dürfen hier als „Folgerungen“ hingestellt werden.
Und mit der Lösung von Problemen, die sich allgemein beziehen auf eine einzige Gleichung — z. B. mit deren Auflösung nach einer Unbekannten — wird das nämliche dann auch von selbst geleistet sein für irgend ein System von Gleichungen!
Übungsaufgabe. Man bilde die vereinigte Gleichung der folgenden acht Subsumtionen und Gleichungen: a ⋹ b, c ⋹ d1, e1 ⋹ f, g1 ⋹ h1, k = l, m = n1, p1 = q, r1 = s1.
Auflösung. Die vereinigte Gleichung ist: a b1 + c d + e1f1 + g1h + k l1 + m n + m1n1 + p1q1 + p q + r1s + r s1 = 0.
*) Und statt 0 konnte auch 1 gesagt werden.
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§ 17. Fernere Sätze.
jetzt als ein weiterer Grund der Umstand hinzutritt, dass es schon
jedermann geläufig ist, mit rechterhand auf 0 (nicht aber auf 1) ge-
brachten Gleichungen zu operiren. [Es könnte überdies als ebendahin
wirkend angeführt werden, dass auch in der Wortsprache Ausdrücke
wie (a + b) (c + d) meist unbequemer unzweideutig darzustellen sind,
als die ihnen dual entsprechenden a b + c d.]
Nach Th. 24) Zusatz konnte jedes System von gleichzeitig gel-
tenden Gleichungen mit der rechten Seite 0 in eine einzige solche
Gleichung zusammengezogen und durch diese ausreichend vertreten
werden. Nach den Th. 38) und 39) kann aber jede Subsumtion sowol
als jede Gleichung überhaupt dargestellt werden als eine Gleichung mit
der rechten Seite 0. *) Thut man dies bei allen etwa gegebenen Sub-
sumtionen und Gleichungen, und wendet hernach den genannten Zu-
satz an, so lässt sich offenbar das Ziel verwirklichen, welches der fol-
gende Satz ausspricht:
Zusatz zu Th. 39). Jedes System von simultanen (koexistiren-
den, als gleichzeitig geltend hingestellten) Subsumtionen und Gleichungen
lässt sich in eine einzige Gleichung mit der rechten Seite 0 (oder, wenn
man will 1) zusammenziehen und durch diese vollkommen vertreten.
Wir werden dieselbe die „vereinigte Gleichung des Systemes“
nennen.
Dies legt uns folgende Bemerkung nahe. In der verbalen Logik wird
gewöhnlich unterschieden zwischen „Folgerungen“, als welche sich an eine
einzige Prämisse knüpfen, und „Schlüssen“, als welche mehrere Prämissen
haben. Diese Unterscheidung erscheint auf Grund des vorstehenden Zu-
satzes in der exakten Logik — für den Kalkul — als belanglos, da wir
hier immer ein System von Prämissen in eine einzige Prämisse werden
zusammenziehen können. Auch „Schlüsse“ dürfen hier als „Folgerungen“
hingestellt werden.
Und mit der Lösung von Problemen, die sich allgemein beziehen auf
eine einzige Gleichung — z. B. mit deren Auflösung nach einer Unbekannten
— wird das nämliche dann auch von selbst geleistet sein für irgend ein
System von Gleichungen!
Übungsaufgabe. Man bilde die vereinigte Gleichung der folgenden
acht Subsumtionen und Gleichungen:
a ⋹ b, c ⋹ d1, e1 ⋹ f, g1 ⋹ h1, k = l, m = n1, p1 = q, r1 = s1.
Auflösung. Die vereinigte Gleichung ist:
a b1 + c d + e1 f1 + g1 h + k l1 + m n + m1 n1 + p1 q1 + p q + r1 s + r s1 = 0.
*) Und statt 0 konnte auch 1 gesagt werden.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 361. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/381>, abgerufen am 09.05.2024.
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