Ähnlich für b = a c1 + u ist a + cb + c nämlich a + c + u, und wieder a b1 = a · (a1 + c) u1 = a c u1 nicht notwending 0, wie es nach Th. 38x) sein müsste, falls ab folgte.
Desgleichen, was den Zusatz betrifft, ist a c = (a + u c1) c ohne dass a = a + u c1 sein müsste, endlich ist a + c = (a + u c) + c, ohne dass doch im Allgemeinen, und für jedes beliebige Gebiet u sein müsste a = a + u c.
Das Theorem sowol als sein Zusatz gilt auch umgekehrt, und zwar für jedes beliebige Gebiet c. Nämlich wenn z. B. ab ist, so muss nach Th. 15) auch a cb c sowie a + cb + c für jedes c sein.
Exempel zu dem Satze. Sind die Mongolen und die Russen stets Russen oder Asiaten, zugleich alle mongolischen Russen auch asiatische Russen, so müssen die Mongolen sämtlich Asiaten sein. [Seit der chinesischen Ein- wanderung in fremde Weltteile sind freilich die Prämissen nicht mehr ganz zutreffend, sie waren es jedoch zeitweise.]
Zusatz 2 zu Th. 40) Theorem von Peirce.
Wenn für irgend ein c zugleich a cb und ab + c ist, so folgt: ab, desgleichen umgekehrt, für jedes c.
Beweis 1, nach Th. 40), weil unter den Voraussetzungen des Satzes nach Th. 15) auch a c cb c und a + cb + c + c, also a cb c und a + cb + c folgt.
Beweis 2x. Aus der zweiten Prämisse folgt durch beiderseitiges Multipliziren mit a gemäss 15x): a aa (b + c) also nach 14x) und 27x): aa b + a c.
Aber es ist a b + a ca b + b, wie sich durch beiderseitiges Addiren von a b zur ersten Prämisse gemäss 15+) ergibt. Hienach folgt a fortiori: aa b + b oder wegen des Absorptionsgesetzes 23+): ab, wie zu zeigen war.
Hiezu genau dual entsprechend lässt sich noch ein dritter "Beweis 2+" führen, was dem Leser zur Übung empfohlen sei.
Die Umkehrung versteht sich nach Th. 6) und II von selbst: Ist ab, so wegen a ca auch a cb für jedes c. Etc.
Der Satz wäre eigentlich als ein selbständiges Theorem aufzuführen gewesen; er sieht noch einfacher aus als das Th. 40) demzuliebe wir ihn behufs Vergleichung hier eingereiht haben. Sonderliche Wichtigkeit für die Theorie möchte er gleichwol nicht besitzen und betrachte ich ihn mehr nur als Kuriosum. Die Exempel zu demselben klingen alle recht sonder- bar. Z. B. Da Gold, welches käuflich, Metall ist, und alles Gold käuflich oder Metall sein wird, so muss Gold Metall sein. Umgekehrt folgt aus
§ 17. Fernere Sätze.
Ähnlich für b = a c1 + u ist a + c ⋹ b + c nämlich a + c + u, und wieder a b1 = a · (a1 + c) u1 = a c u1 nicht notwending 0, wie es nach Th. 38×) sein müsste, falls a ⋹ b folgte.
Desgleichen, was den Zusatz betrifft, ist a c = (a + u c1) c ohne dass a = a + u c1 sein müsste, endlich ist a + c = (a + u c) + c, ohne dass doch im Allgemeinen, und für jedes beliebige Gebiet u sein müsste a = a + u c.
Das Theorem sowol als sein Zusatz gilt auch umgekehrt, und zwar für jedes beliebige Gebiet c. Nämlich wenn z. B. a ⋹ b ist, so muss nach Th. 15) auch a c ⋹ b c sowie a + c ⋹ b + c für jedes c sein.
Exempel zu dem Satze. Sind die Mongolen und die Russen stets Russen oder Asiaten, zugleich alle mongolischen Russen auch asiatische Russen, so müssen die Mongolen sämtlich Asiaten sein. [Seit der chinesischen Ein- wanderung in fremde Weltteile sind freilich die Prämissen nicht mehr ganz zutreffend, sie waren es jedoch zeitweise.]
Zusatz 2 zu Th. 40) Theorem von Peirce.
Wenn für irgend ein c zugleich a c ⋹ b und a ⋹ b + c ist, so folgt: a ⋹ b, desgleichen umgekehrt, für jedes c.
Beweis 1, nach Th. 40), weil unter den Voraussetzungen des Satzes nach Th. 15) auch a c c ⋹ b c und a + c ⋹ b + c + c, also a c ⋹ b c und a + c ⋹ b + c folgt.
Beweis 2×. Aus der zweiten Prämisse folgt durch beiderseitiges Multipliziren mit a gemäss 15×): a a ⋹ a (b + c) also nach 14×) und 27×): a ⋹ a b + a c.
Aber es ist a b + a c ⋹ a b + b, wie sich durch beiderseitiges Addiren von a b zur ersten Prämisse gemäss 15+) ergibt. Hienach folgt a fortiori: a ⋹ a b + b oder wegen des Absorptionsgesetzes 23+): a ⋹ b, wie zu zeigen war.
Hiezu genau dual entsprechend lässt sich noch ein dritter „Beweis 2+“ führen, was dem Leser zur Übung empfohlen sei.
Die Umkehrung versteht sich nach Th. 6) und II von selbst: Ist a ⋹ b, so wegen a c ⋹ a auch a c ⋹ b für jedes c. Etc.
Der Satz wäre eigentlich als ein selbständiges Theorem aufzuführen gewesen; er sieht noch einfacher aus als das Th. 40) demzuliebe wir ihn behufs Vergleichung hier eingereiht haben. Sonderliche Wichtigkeit für die Theorie möchte er gleichwol nicht besitzen und betrachte ich ihn mehr nur als Kuriosum. Die Exempel zu demselben klingen alle recht sonder- bar. Z. B. Da Gold, welches käuflich, Metall ist, und alles Gold käuflich oder Metall sein wird, so muss Gold Metall sein. Umgekehrt folgt aus
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[363/0383]
§ 17. Fernere Sätze.
Ähnlich für b = a c1 + u ist a + c ⋹ b + c nämlich a + c + u, und wieder
a b1 = a · (a1 + c) u1 = a c u1
nicht notwending 0, wie es nach Th. 38×) sein müsste, falls a ⋹ b folgte.
Desgleichen, was den Zusatz betrifft, ist a c = (a + u c1) c ohne dass
a = a + u c1 sein müsste, endlich ist a + c = (a + u c) + c, ohne dass doch
im Allgemeinen, und für jedes beliebige Gebiet u sein müsste a = a + u c.
Das Theorem sowol als sein Zusatz gilt auch umgekehrt, und
zwar für jedes beliebige Gebiet c. Nämlich wenn z. B. a ⋹ b ist, so
muss nach Th. 15) auch a c ⋹ b c sowie a + c ⋹ b + c für jedes c sein.
Exempel zu dem Satze. Sind die Mongolen und die Russen stets Russen
oder Asiaten, zugleich alle mongolischen Russen auch asiatische Russen, so
müssen die Mongolen sämtlich Asiaten sein. [Seit der chinesischen Ein-
wanderung in fremde Weltteile sind freilich die Prämissen nicht mehr ganz
zutreffend, sie waren es jedoch zeitweise.]
Zusatz 2 zu Th. 40) Theorem von Peirce.
Wenn für irgend ein c zugleich
a c ⋹ b und a ⋹ b + c
ist, so folgt:
a ⋹ b,
desgleichen umgekehrt, für jedes c.
Beweis 1, nach Th. 40), weil unter den Voraussetzungen des
Satzes nach Th. 15) auch a c c ⋹ b c und a + c ⋹ b + c + c, also a c ⋹ b c
und a + c ⋹ b + c folgt.
Beweis 2×. Aus der zweiten Prämisse folgt durch beiderseitiges
Multipliziren mit a gemäss 15×):
a a ⋹ a (b + c) also nach 14×) und 27×): a ⋹ a b + a c.
Aber es ist a b + a c ⋹ a b + b, wie sich durch beiderseitiges Addiren
von a b zur ersten Prämisse gemäss 15+) ergibt. Hienach folgt a fortiori:
a ⋹ a b + b oder wegen des Absorptionsgesetzes 23+): a ⋹ b, wie zu
zeigen war.
Hiezu genau dual entsprechend lässt sich noch ein dritter „Beweis 2+“
führen, was dem Leser zur Übung empfohlen sei.
Die Umkehrung versteht sich nach Th. 6) und II von selbst: Ist
a ⋹ b, so wegen a c ⋹ a auch a c ⋹ b für jedes c. Etc.
Der Satz wäre eigentlich als ein selbständiges Theorem aufzuführen
gewesen; er sieht noch einfacher aus als das Th. 40) demzuliebe wir ihn
behufs Vergleichung hier eingereiht haben. Sonderliche Wichtigkeit für
die Theorie möchte er gleichwol nicht besitzen und betrachte ich ihn mehr
nur als Kuriosum. Die Exempel zu demselben klingen alle recht sonder-
bar. Z. B. Da Gold, welches käuflich, Metall ist, und alles Gold käuflich
oder Metall sein wird, so muss Gold Metall sein. Umgekehrt folgt aus
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 363. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/383>, abgerufen am 09.05.2024.
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