und folgt aus diesen durch überschiebendes Addiren resp. Multipliziren die zu beweisende Gleichung in der einen ihrer angegebenen beiden Formen.
Umgekehrt, wenn die Gleichung gilt:
a b1 + a1b = 0,
a b + a1b1 = 1, sive (a + b1) (a1 + b) = 1,
so muss nach Th. 24) sein:
a b1 = 0 und a1b = 0,
a1 + b = 1 und a + b1 = 1,
was nach Th. 38) hinauskommt auf die beiden Subsumtionen ab und ba, somit nach Def. (1) auf die Gleichung a = b, wie zu zeigen war.
Indess konnte man hier auch schon mit der ersten Hälfte des Be- weises auskommen, mit Rücksicht darauf, dass nach den citirten Sätzen das Paar der Subsumtionen sowie der für sie genommenen Gleichungen jeweils äquivalent sein musste der zum Ausgangspunkt genommenen Gleichung.
Exempel. Da Kochsalz einerlei mit Chlornatrium ist, so gibt es nichts, was Kochsalz und nicht Chlornatrium oder Chlornatrium und nicht Kochsalz wäre. Auch nichts, was Kochsalz oder Chlornatrium und zugleich nicht Kochsalz oder nicht Chlornatrium wäre.
Alles ist entweder Kochsalz und zugleich Chlornatrium oder nicht Kochsalz und dann auch nicht Chlornatrium. Desgleichen Kochsalz oder nicht Chlornatrium und zugleich Chlornatrium oder nicht Kochsalz.
Aufgabe. Man bringe die Gleichungen a b = a c, a + b = a + c rechts auf 0.
Auflösung: Mittelst der Zwischenrechnung -- cf. Th. 36): a b (a1 + c1) + a c (a1 + b1) = 0, (a + b) a1c1 + a1b1 (a + c) = 0 erhält man leicht die Resultate: a(b c1 + b1c) = 0 resp. a1(b c1 + b1c) = 0. Bei den Anwendungen wird man aber, besonders wenn a, b oder c kom- plizirte Ausdrücke vorstellen, die Zwischenrechnung sparen und sich so- gleich an das Schema dieser Endergebnisse halten. -- Ebenso würden die rechts auf 1 gebrachten Gleichungen lauten: a1 + b c + b1c1 = 1 resp. a + b c + b1c1 = 1.
Das Th. 39) ist von grosser Wichtigkeit für die Technik unsres Kalkuls, und zwar das 39x) in höherem Maasse als sein duales Gegen- stück aus dem teilweise schon erwähnten Grunde, weil man lieber mit Aggregaten (Summen) von monomischen Produkten als mit Produkten von Polynomen (die in Klammern gesetzt bleiben müssten) rechnet, desgleichen vorzieht, das auch der Arithmetik angehörige Distributions- gesetz 27x), statt seines Gegenparts 27+), anzuwenden -- wozu endlich
Achte Vorlesung.
und folgt aus diesen durch überschiebendes Addiren resp. Multipliziren die zu beweisende Gleichung in der einen ihrer angegebenen beiden Formen.
Umgekehrt, wenn die Gleichung gilt:
a b1 + a1b = 0,
a b + a1b1 = 1, sive (a + b1) (a1 + b) = 1,
so muss nach Th. 24) sein:
a b1 = 0 und a1b = 0,
a1 + b = 1 und a + b1 = 1,
was nach Th. 38) hinauskommt auf die beiden Subsumtionen a ⋹ b und b ⋹ a, somit nach Def. (1) auf die Gleichung a = b, wie zu zeigen war.
Indess konnte man hier auch schon mit der ersten Hälfte des Be- weises auskommen, mit Rücksicht darauf, dass nach den citirten Sätzen das Paar der Subsumtionen sowie der für sie genommenen Gleichungen jeweils äquivalent sein musste der zum Ausgangspunkt genommenen Gleichung.
Exempel. Da Kochsalz einerlei mit Chlornatrium ist, so gibt es nichts, was Kochsalz und nicht Chlornatrium oder Chlornatrium und nicht Kochsalz wäre. Auch nichts, was Kochsalz oder Chlornatrium und zugleich nicht Kochsalz oder nicht Chlornatrium wäre.
Alles ist entweder Kochsalz und zugleich Chlornatrium oder nicht Kochsalz und dann auch nicht Chlornatrium. Desgleichen Kochsalz oder nicht Chlornatrium und zugleich Chlornatrium oder nicht Kochsalz.
Aufgabe. Man bringe die Gleichungen a b = a c, a + b = a + c rechts auf 0.
Auflösung: Mittelst der Zwischenrechnung — cf. Th. 36): a b (a1 + c1) + a c (a1 + b1) = 0, (a + b) a1c1 + a1b1 (a + c) = 0 erhält man leicht die Resultate: a(b c1 + b1c) = 0 resp. a1(b c1 + b1c) = 0. Bei den Anwendungen wird man aber, besonders wenn a, b oder c kom- plizirte Ausdrücke vorstellen, die Zwischenrechnung sparen und sich so- gleich an das Schema dieser Endergebnisse halten. — Ebenso würden die rechts auf 1 gebrachten Gleichungen lauten: a1 + b c + b1c1 = 1 resp. a + b c + b1c1 = 1.
Das Th. 39) ist von grosser Wichtigkeit für die Technik unsres Kalkuls, und zwar das 39×) in höherem Maasse als sein duales Gegen- stück aus dem teilweise schon erwähnten Grunde, weil man lieber mit Aggregaten (Summen) von monomischen Produkten als mit Produkten von Polynomen (die in Klammern gesetzt bleiben müssten) rechnet, desgleichen vorzieht, das auch der Arithmetik angehörige Distributions- gesetz 27×), statt seines Gegenparts 27+), anzuwenden — wozu endlich
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Achte Vorlesung.
und folgt aus diesen durch überschiebendes Addiren resp. Multipliziren
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Formen.
Umgekehrt, wenn die Gleichung gilt:
a b1 + a1 b = 0, a b + a1 b1 = 1,
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so muss nach Th. 24) sein:
a b1 = 0 und a1b = 0, a1 + b = 1 und a + b1 = 1,
was nach Th. 38) hinauskommt auf die beiden Subsumtionen a ⋹ b und
b ⋹ a, somit nach Def. (1) auf die Gleichung a = b, wie zu zeigen war.
Indess konnte man hier auch schon mit der ersten Hälfte des Be-
weises auskommen, mit Rücksicht darauf, dass nach den citirten Sätzen
das Paar der Subsumtionen sowie der für sie genommenen Gleichungen
jeweils äquivalent sein musste der zum Ausgangspunkt genommenen Gleichung.
Exempel. Da Kochsalz einerlei mit Chlornatrium ist, so gibt es
nichts, was Kochsalz und nicht Chlornatrium oder Chlornatrium und nicht
Kochsalz wäre. Auch nichts, was Kochsalz oder Chlornatrium und zugleich
nicht Kochsalz oder nicht Chlornatrium wäre.
Alles ist entweder Kochsalz und zugleich Chlornatrium oder nicht
Kochsalz und dann auch nicht Chlornatrium. Desgleichen Kochsalz oder
nicht Chlornatrium und zugleich Chlornatrium oder nicht Kochsalz.
Aufgabe. Man bringe die Gleichungen
a b = a c, a + b = a + c
rechts auf 0.
Auflösung: Mittelst der Zwischenrechnung — cf. Th. 36):
a b (a1 + c1) + a c (a1 + b1) = 0, (a + b) a1 c1 + a1 b1 (a + c) = 0
erhält man leicht die Resultate:
a(b c1 + b1 c) = 0 resp. a1(b c1 + b1 c) = 0.
Bei den Anwendungen wird man aber, besonders wenn a, b oder c kom-
plizirte Ausdrücke vorstellen, die Zwischenrechnung sparen und sich so-
gleich an das Schema dieser Endergebnisse halten. — Ebenso würden die
rechts auf 1 gebrachten Gleichungen lauten:
a1 + b c + b1 c1 = 1 resp. a + b c + b1 c1 = 1.
Das Th. 39) ist von grosser Wichtigkeit für die Technik unsres
Kalkuls, und zwar das 39×) in höherem Maasse als sein duales Gegen-
stück aus dem teilweise schon erwähnten Grunde, weil man lieber mit
Aggregaten (Summen) von monomischen Produkten als mit Produkten
von Polynomen (die in Klammern gesetzt bleiben müssten) rechnet,
desgleichen vorzieht, das auch der Arithmetik angehörige Distributions-
gesetz 27×), statt seines Gegenparts 27+), anzuwenden — wozu endlich
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 360. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/380>, abgerufen am 09.05.2024.
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