alles Denkbare innerhalb einer die Klasse Metall umfassenden ge- wöhnlichen Mannigfaltigkeit -- ist (entweder) Metall oder [auch] nicht Gold.
Nach den Theoremen 38) lässt jede Subsumtion sich als eine Glei- chung schreiben, deren eine Seite 0, oder, wenn man will, auch 1 ist.
Zusatz zu Th. 38). Nach diesem Satze in Verbindung mit Th. 31) muss auch die Gleichung
a b = 0
a + b = 1
bezüglich äquivalent sein einer der beiden Subsumtionen:
ab1, ba1
a1b, b1a.
Die Gleichung a b = 0 erscheint so, als der symmetrische Ausdruck -- symmetrisch allerdings nur im Hinblick auf das Kommutationsge- setz 12x) der identischen Multiplikation -- für eine symmetrische Be- ziehung, für welche die Wortsprache nur die unsymmetrischen Aus- drucksformen hat: "Kein a ist b", oder "Kein b ist a", resp. "Alle a sind nicht b", "Alle b sind nicht a", (die demnach auch unter sich äquivalent sein werden) -- woferne man hier nicht etwa seine Zuflucht nehmen will zu der Umschreibung mit- tels verneinenden Existenzialurteils: "Es gibt nichts, was a und b zugleich ist".
39) Theoreme.
Jede Gleichung
a = b
lässt sich (auf der
einen Seitz, z. B.) rechterhand auf
39x) 0
39+ 1
bringen. Dieselbe ist nämlich äquivalent der Gleichung:
a b1 + a1b = 0
a b + a1b1 = 1,
oder auch in einer praktisch minder wichtigen Form geschrieben:
(a + b) (a1 + b1) = 0
(a + b1) (a1 + b) = 1,
welche, wie leicht zu sehen, durch Ausmultipliziren gemäss Th. 28x), 30x) und 21+) auf die vorige zurückkommt.
Beweis. Nach Def. (1) zerfällt die Gleichung a = b in die bei- den gleichzeitig anzuerkennenden Subsumtionen: ab und ba. Nach dem Th. 38) lassen dieselben sich umschreiben in die Gleichungen
a b1 = 0, a1b = 0
a1 + b = 1, b1 + a = 1
§ 17. Fernere Sätze.
alles Denkbare innerhalb einer die Klasse Metall umfassenden ge- wöhnlichen Mannigfaltigkeit — ist (entweder) Metall oder [auch] nicht Gold.
Nach den Theoremen 38) lässt jede Subsumtion sich als eine Glei- chung schreiben, deren eine Seite 0, oder, wenn man will, auch 1 ist.
Zusatz zu Th. 38). Nach diesem Satze in Verbindung mit Th. 31) muss auch die Gleichung
a b = 0
a + b = 1
bezüglich äquivalent sein einer der beiden Subsumtionen:
a ⋹ b1, b ⋹ a1
a1 ⋹ b, b1 ⋹ a.
Die Gleichung a b = 0 erscheint so, als der symmetrische Ausdruck — symmetrisch allerdings nur im Hinblick auf das Kommutationsge- setz 12×) der identischen Multiplikation — für eine symmetrische Be- ziehung, für welche die Wortsprache nur die unsymmetrischen Aus- drucksformen hat: „Kein a ist b“, oder „Kein b ist a“, resp. „Alle a sind nicht b“, „Alle b sind nicht a“, (die demnach auch unter sich äquivalent sein werden) — woferne man hier nicht etwa seine Zuflucht nehmen will zu der Umschreibung mit- tels verneinenden Existenzialurteils: „Es gibt nichts, was a und b zugleich ist“.
39) Theoreme.
Jede Gleichung
a = b
lässt sich (auf der
einen Seitz, z. B.) rechterhand auf
39×) 0
39+ 1
bringen. Dieselbe ist nämlich äquivalent der Gleichung:
a b1 + a1b = 0
a b + a1b1 = 1,
oder auch in einer praktisch minder wichtigen Form geschrieben:
(a + b) (a1 + b1) = 0
(a + b1) (a1 + b) = 1,
welche, wie leicht zu sehen, durch Ausmultipliziren gemäss Th. 28×), 30×) und 21+) auf die vorige zurückkommt.
Beweis. Nach Def. (1) zerfällt die Gleichung a = b in die bei- den gleichzeitig anzuerkennenden Subsumtionen: a ⋹ b und b ⋹ a. Nach dem Th. 38) lassen dieselben sich umschreiben in die Gleichungen
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§ 17. Fernere Sätze.
alles Denkbare innerhalb einer die Klasse Metall umfassenden ge-
wöhnlichen Mannigfaltigkeit — ist (entweder) Metall oder [auch]
nicht Gold.
Nach den Theoremen 38) lässt jede Subsumtion sich als eine Glei-
chung schreiben, deren eine Seite 0, oder, wenn man will, auch 1 ist.
Zusatz zu Th. 38). Nach diesem Satze in Verbindung mit Th. 31)
muss auch die Gleichung
a b = 0 a + b = 1
bezüglich äquivalent sein einer der beiden Subsumtionen:
a ⋹ b1, b ⋹ a1 a1 ⋹ b, b1 ⋹ a.
Die Gleichung a b = 0 erscheint so, als der symmetrische Ausdruck
— symmetrisch allerdings nur im Hinblick auf das Kommutationsge-
setz 12×) der identischen Multiplikation — für eine symmetrische Be-
ziehung, für welche die Wortsprache nur die unsymmetrischen Aus-
drucksformen hat:
„Kein a ist b“, oder „Kein b ist a“,
resp.
„Alle a sind nicht b“, „Alle b sind nicht a“,
(die demnach auch unter sich äquivalent sein werden) — woferne man
hier nicht etwa seine Zuflucht nehmen will zu der Umschreibung mit-
tels verneinenden Existenzialurteils:
„Es gibt nichts, was a und b zugleich ist“.
39) Theoreme.
Jede Gleichung a = b lässt sich (auf der
einen Seitz, z. B.) rechterhand auf
39×) 0 39+ 1
bringen. Dieselbe ist nämlich äquivalent der Gleichung:
a b1 + a1b = 0 a b + a1 b1 = 1,
oder auch in einer praktisch minder wichtigen Form geschrieben:
(a + b) (a1 + b1) = 0 (a + b1) (a1 + b) = 1,
welche, wie leicht zu sehen, durch Ausmultipliziren gemäss Th. 28×),
30×) und 21+) auf die vorige zurückkommt.
Beweis. Nach Def. (1) zerfällt die Gleichung a = b in die bei-
den gleichzeitig anzuerkennenden Subsumtionen:
a ⋹ b und b ⋹ a.
Nach dem Th. 38) lassen dieselben sich umschreiben in die Gleichungen
a b1 = 0, a1 b = 0 a1 + b = 1, b1 + a = 1
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 359. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/379>, abgerufen am 09.05.2024.
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