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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Achte Vorlesung.
an der Fig. 1 S. 155: die Aussenfläche des Kreises b ist ganz in der
des Kreises a enthalten.

Der Schluss von der Subsumtion a b auf die Subsumtion b1 a1
(oder umgekehrt) gehört zu den sog. "unmittelbaren Folgerungen", in-
dem derselbe schon zustande kommt, wenn auch nur eine Prämisse
gegeben ist. Derselbe wird in der Logik als die "Konversion durch
Kontraposition" des durch die gegebene subsumtion ausgedrückten Ur-
teils bezeichnet.

Zusatz. Ist a b und zugleich a1 b1, so wird a = b sein, und
umgekehrt.

Beweis nach Def. (1), indem aus der letzten Subsumtion nach
Th. 37) und 31) hinzufolgt: b a.

Exempel. Die beiden Sätze: "Was Kochsalz ist, ist auch Chlor-
natrium", und "was nicht Kochsalz ist, ist nicht Chlornatrium" --
drücken zusammen aus, dass Kochsalz und Chlornatrium einerlei sind.

38) Theoreme.

Die Subsumtiona bsagt genau dasselbe
aus, wie eine jede der beiden Gleichungen:
ad 38x) a b1 = 0.ad 38+) a1 + b = 1.

Beweis. Aus a b folgt nach Th.

15x) durch beiderseitiges Multipli-
ziren mit b1, dass a b1 b b1, so-
mit nach Th. 30x), dass a b1 0,
was nach Th. 5x) auf a b1 = 0		15+ durch beiderseitiges Addiren
von a1, dass a1 + a a1 + b, somit
nach Th. 30+), dass 1 a1 + b,
was nach Th. 5+) auf 1 = a1 + b
hinauskommt. -- Ist umgekehrt
a b1 = 0,a1 + b = 1,
so hat man nach Th. 30+):so folgt nach Th. 16x) etc.:
a = a · 1 = a (b + b1)a = a · 1 = a (a1 + b)
= a b + a b1 = a b + 0a a1 + a b = 0 + a b
oder a = a b. Aus diesem Resultate folgt aber nach Th. 20x), dass
a b, wie zu beweisen war.

Aus dem Umstand, dass der letzte Teil des hier gegebenen Beweises
rechterhand dem links durchaus nicht dual entspricht, erkennt man die
Möglichkeit noch andrer Varianten der beiden Beweise, welche aufzusuchen
dem Leser als eine gute Übung empfohlen sei.

Exempel für Klassen. Da alles Gold Metall ist, so gibt es nichts,
was zugleich Gold und nicht Metall wäre. Und jede Substanz -- ja

Achte Vorlesung.
an der Fig. 1 S. 155: die Aussenfläche des Kreises b ist ganz in der
des Kreises a enthalten.

Der Schluss von der Subsumtion a ⋹ b auf die Subsumtion b1 ⋹ a1
(oder umgekehrt) gehört zu den sog. „unmittelbaren Folgerungen“, in-
dem derselbe schon zustande kommt, wenn auch nur eine Prämisse
gegeben ist. Derselbe wird in der Logik als die „Konversion durch
Kontraposition“ des durch die gegebene subsumtion ausgedrückten Ur-
teils bezeichnet.

Zusatz. Ist a ⋹ b und zugleich a1 ⋹ b1, so wird a = b sein, und
umgekehrt.

Beweis nach Def. (1), indem aus der letzten Subsumtion nach
Th. 37) und 31) hinzufolgt: b ⋹ a.

Exempel. Die beiden Sätze: „Was Kochsalz ist, ist auch Chlor-
natrium“, und „was nicht Kochsalz ist, ist nicht Chlornatrium“ —
drücken zusammen aus, dass Kochsalz und Chlornatrium einerlei sind.

38) Theoreme.

Die Subsumtiona ⋹ bsagt genau dasselbe
aus, wie eine jede der beiden Gleichungen:
ad 38×) a b1 = 0.ad 38+) a1 + b = 1.

Beweis. Aus a ⋹ b folgt nach Th.

15×) durch beiderseitiges Multipli-
ziren mit b1, dass a b1 ⋹ b b1, so-
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so hat man nach Th. 30+):so folgt nach Th. 16×) etc.:
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oder a = a b. Aus diesem Resultate folgt aber nach Th. 20×), dass
a ⋹ b, wie zu beweisen war.

Aus dem Umstand, dass der letzte Teil des hier gegebenen Beweises
rechterhand dem links durchaus nicht dual entspricht, erkennt man die
Möglichkeit noch andrer Varianten der beiden Beweise, welche aufzusuchen
dem Leser als eine gute Übung empfohlen sei.

Exempel für Klassen. Da alles Gold Metall ist, so gibt es nichts,
was zugleich Gold und nicht Metall wäre. Und jede Substanz — ja

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[358/0378] Achte Vorlesung. an der Fig. 1 S. 155: die Aussenfläche des Kreises b ist ganz in der des Kreises a enthalten. Der Schluss von der Subsumtion a ⋹ b auf die Subsumtion b1 ⋹ a1 (oder umgekehrt) gehört zu den sog. „unmittelbaren Folgerungen“, in- dem derselbe schon zustande kommt, wenn auch nur eine Prämisse gegeben ist. Derselbe wird in der Logik als die „Konversion durch Kontraposition“ des durch die gegebene subsumtion ausgedrückten Ur- teils bezeichnet. Zusatz. Ist a ⋹ b und zugleich a1 ⋹ b1, so wird a = b sein, und umgekehrt. Beweis nach Def. (1), indem aus der letzten Subsumtion nach Th. 37) und 31) hinzufolgt: b ⋹ a. Exempel. Die beiden Sätze: „Was Kochsalz ist, ist auch Chlor- natrium“, und „was nicht Kochsalz ist, ist nicht Chlornatrium“ — drücken zusammen aus, dass Kochsalz und Chlornatrium einerlei sind. 38) Theoreme. Die Subsumtion a ⋹ b sagt genau dasselbe aus, wie eine jede der beiden Gleichungen: ad 38×) a b1 = 0. ad 38+) a1 + b = 1. Beweis. Aus a ⋹ b folgt nach Th. 15×) durch beiderseitiges Multipli- ziren mit b1, dass a b1 ⋹ b b1, so- mit nach Th. 30×), dass a b1 ⋹ 0, was nach Th. 5×) auf a b1 = 0 15+ durch beiderseitiges Addiren von a1, dass a1 + a ⋹ a1 + b, somit nach Th. 30+), dass 1 ⋹ a1 + b, was nach Th. 5+) auf 1 = a1 + b hinauskommt. — Ist umgekehrt a b1 = 0, a1 + b = 1, so hat man nach Th. 30+): so folgt nach Th. 16×) etc.: a = a · 1 = a (b + b1) a = a · 1 = a (a1 + b) = a b + a b1 = a b + 0 a a1 + a b = 0 + a b oder a = a b. Aus diesem Resultate folgt aber nach Th. 20×), dass a ⋹ b, wie zu beweisen war. Aus dem Umstand, dass der letzte Teil des hier gegebenen Beweises rechterhand dem links durchaus nicht dual entspricht, erkennt man die Möglichkeit noch andrer Varianten der beiden Beweise, welche aufzusuchen dem Leser als eine gute Übung empfohlen sei. Exempel für Klassen. Da alles Gold Metall ist, so gibt es nichts, was zugleich Gold und nicht Metall wäre. Und jede Substanz — ja

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 358. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/378>, abgerufen am 09.05.2024.