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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 17. Kontraposition.

den, dass man die Negation des Ausdrucks herstellt, dieselbe (durch
Ausmultipliziren) in ihre letzten Aggreganten zerfällt und dann abermals
die Negation davon gemäss Th. 36) bildet. Z. B. für
y = a b + a c + a d + b c d + e
ergibt sich:
y1 = (a1 + b1) (a1 + c1) (a1 + d1) (b1 + c1 + d1) e1 = a1 b1 e1 + a1 c1 e1 + a1 d1 e1 + b1 c1 d1 e1,
sonach:
y = (a + b + e) (a + c + e) (a + d + e) (b + c + d e)
in Übereinstimmung mit dem früheren Ergebnisse.

37) Theorem.

Wenn

a b, so ist b1 a1

(und umgekehrt).

Man darf also auch die beiden Seiten einer Subsumtion negiren, wenn
man nur zugleich das Subsumtionszeichen umkehrt. Oder: Untergeordnetes
(oder Gleiches), negirt, gibt Übergeordnetes (oder Gleiches). Eingeord-
netes, negirt, gibt Umgeordnetes.

Es lassen sich zwei Beweise vollkommen dualistisch führen.

Beweis. Wenn a b ist, so ist

a = a b nach Th. 20x)

a + b = b nach Th. 20+)

also nach Th. 32) auch

a1 = (a b)1, das ist a1 = a1 + b1

(a + b)1 = b1, das ist a1 b1 = b1

nach Th. 36), und diese Gleichung ist, wiederum nach Th. 20) äqui-
valent der Subsumtion: b1 a1, q. e. d.

Wendet man den Satz 37) auf die Subsumtion b1 a1 als die
ursprünglich vorauszusetzende an, so folgt aus dieser auch (a1)1 (b1)1,
das ist nach Th. 31) a b.

Die beiden im Satze vorkommenden Subsumtionen bedingen sich
also gegenseitig, sagen wesentlich dasselbe aus oder sind äquivalent.

Exempel. Da Gold Metall ist, so ist, was nicht Metall ist, auch
nicht Gold. Desgl. umgekehrt: Gilt etwa der Satz: "Was nicht Pro-
teinsubstanz ist (nicht aus dem Ei stammt) ist auch nicht lebendig",
so folgt: "Alles Lebendige ist Proteinsubstanz (stammt aus dem Ei)".

Ist eine Klasse als Subjekt enthalten in einer Prädikatklasse, so muss
(als Klasse aufgefasst) die Negation des Prädikats enthalten sein in der
Negation des Subjektes -- und zwar ganz einerlei, in Bezug auf welche
Mannigfaltigkeit man die Negationen bildet, wofern dieselbe nur eine
gewöhnliche ist, den Negationsbegriff zulässt.

Für Gebiete kann man den Satz durch die Anschauung verifiziren

§ 17. Kontraposition.

37) Theorem.

Wenn

a ⋹ b, so ist b1 ⋹ a1

(und umgekehrt).

Es lassen sich zwei Beweise vollkommen dualistisch führen.

Beweis. Wenn a ⋹ b ist, so ist

a = a b nach Th. 20×)

a + b = b nach Th. 20+)

also nach Th. 32) auch

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nach Th. 36), und diese Gleichung ist, wiederum nach Th. 20) äqui-
valent der Subsumtion: b1 ⋹ a1, q. e. d.

Wendet man den Satz 37) auf die Subsumtion b1 ⋹ a1 als die
ursprünglich vorauszusetzende an, so folgt aus dieser auch (a1)1 ⋹ (b1)1,
das ist nach Th. 31) a ⋹ b.

Die beiden im Satze vorkommenden Subsumtionen bedingen sich
also gegenseitig, sagen wesentlich dasselbe aus oder sind äquivalent.

Exempel. Da Gold Metall ist, so ist, was nicht Metall ist, auch
nicht Gold. Desgl. umgekehrt: Gilt etwa der Satz: „Was nicht Pro-
teinsubstanz ist (nicht aus dem Ei stammt) ist auch nicht lebendig“,
so folgt: „Alles Lebendige ist Proteinsubstanz (stammt aus dem Ei)“.

Ist eine Klasse als Subjekt enthalten in einer Prädikatklasse, so muss
(als Klasse aufgefasst) die Negation des Prädikats enthalten sein in der
Negation des Subjektes — und zwar ganz einerlei, in Bezug auf welche
Mannigfaltigkeit man die Negationen bildet, wofern dieselbe nur eine
gewöhnliche ist, den Negationsbegriff zulässt.

Für Gebiete kann man den Satz durch die Anschauung verifiziren

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[357/0377] § 17. Kontraposition. den, dass man die Negation des Ausdrucks herstellt, dieselbe (durch Ausmultipliziren) in ihre letzten Aggreganten zerfällt und dann abermals die Negation davon gemäss Th. 36) bildet. Z. B. für y = a b + a c + a d + b c d + e ergibt sich: y1 = (a1 + b1) (a1 + c1) (a1 + d1) (b1 + c1 + d1) e1 = a1 b1 e1 + a1 c1 e1 + a1 d1 e1 + b1 c1 d1 e1, sonach: y = (a + b + e) (a + c + e) (a + d + e) (b + c + d e) in Übereinstimmung mit dem früheren Ergebnisse. 37) Theorem. Wenn a ⋹ b, so ist b1 ⋹ a1 (und umgekehrt). Man darf also auch die beiden Seiten einer Subsumtion negiren, wenn man nur zugleich das Subsumtionszeichen umkehrt. Oder: Untergeordnetes (oder Gleiches), negirt, gibt Übergeordnetes (oder Gleiches). Eingeord- netes, negirt, gibt Umgeordnetes. Es lassen sich zwei Beweise vollkommen dualistisch führen. Beweis. Wenn a ⋹ b ist, so ist a = a b nach Th. 20×) a + b = b nach Th. 20+) also nach Th. 32) auch a1 = (a b)1, das ist a1 = a1 + b1 (a + b)1 = b1, das ist a1 b1 = b1 nach Th. 36), und diese Gleichung ist, wiederum nach Th. 20) äqui- valent der Subsumtion: b1 ⋹ a1, q. e. d. Wendet man den Satz 37) auf die Subsumtion b1 ⋹ a1 als die ursprünglich vorauszusetzende an, so folgt aus dieser auch (a1)1 ⋹ (b1)1, das ist nach Th. 31) a ⋹ b. Die beiden im Satze vorkommenden Subsumtionen bedingen sich also gegenseitig, sagen wesentlich dasselbe aus oder sind äquivalent. Exempel. Da Gold Metall ist, so ist, was nicht Metall ist, auch nicht Gold. Desgl. umgekehrt: Gilt etwa der Satz: „Was nicht Pro- teinsubstanz ist (nicht aus dem Ei stammt) ist auch nicht lebendig“, so folgt: „Alles Lebendige ist Proteinsubstanz (stammt aus dem Ei)“. Ist eine Klasse als Subjekt enthalten in einer Prädikatklasse, so muss (als Klasse aufgefasst) die Negation des Prädikats enthalten sein in der Negation des Subjektes — und zwar ganz einerlei, in Bezug auf welche Mannigfaltigkeit man die Negationen bildet, wofern dieselbe nur eine gewöhnliche ist, den Negationsbegriff zulässt. Für Gebiete kann man den Satz durch die Anschauung verifiziren

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 357. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/377>, abgerufen am 09.05.2024.

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