In jedem aus einfachen Gebietsymbolen durch die Operationen der drei Spezies Multiplikation, Addition und Negation aufgebauten Aus- drucke kann man jetzt alle vorgeschriebenen (angedeuteten) Negationen ausführen, wodurch der Ausdruck übergeht in einen solchen, der nur noch durch die beiden direkten Spezies, Multiplikation und Addition, aufgebaut erscheint aus den einfachen Symbolen und deren Negationen.
Man braucht zu diesem Zwecke nur mit den innersten "Negan- den" zusammengesetzter Natur, welche von der oben beschriebenen Art sein werden, zu beginnen, die innersten mit Negationsstrich be- hafteten Klammern zuerst, und dann nach aussen fortschreitend nach und nach auch die äussern Klammern dieser Art, aufzulösen, bis keine Negationsklammer mehr vorhanden ist.
Wird auch auf diese Weise rasch die Möglichkeit der Ausführung erkannt, so ist das geschilderte Verfahren doch nicht das praktischste. Es kann sich nämlich dabei ereignen, dass man irgend einen zusam- mengesetzten Ausdruckteil wiederholt "umzunegiren", in seine Negation umzuschreiben bekommt, was, sooft es zweimal geschah, nach Th. 31) unnötige Arbeit war. Besser also wird man mit dem Auflösen der Negationsklammern in der Richtung von aussen nach innen fortschreiten, und sobald man mit dem Negiren der in einer solchen stehenden Terme wiederum auf eine Negationsklammer stösst, solche (mitsamt dem auf sie bezüglichen Vorsatze des Negirens) einfach fallen lassen, ignoriren.
Darnach ist z. B. [{(a + b)1c + d1e} f]1 = {(a1b1c + d1e) f}1 = (a + b + c1) (d + e1) + f1 auf die erstere Art mit, auf die letztere ohne die angegebene Zwischen- rechnung (der doppelt negirte Ausdruckteil war a + b) sofort hinzusetzen.
Weitere Exempel: [{(a b)1 + (c d)1} (e + f)1]1 = a b c d + e + f, [a + b {c + d (e + f g)1}1]1 = a1 {b1 + c + d e1 (f1 + g1)}, ([(a x + b x1)1 {(m x)1 (n x1)1}1c]1 + x)1 = = (a + x1) (b1 + x) (m x + n x1) c x1 = b1n c x1.
Zusatz 3 zu Th. 36).
Das am Schluss des § 13 erwähnte Problem der Zerfällung eines Ausdrucks in seine letzten Faktoren kann nunmehr dadurch gelöst wer-
Ausdruck: a1 (b1 + c + d1),
Negation desselben: a + b c1d
„ a1b c + a b1c1,
„ (a + b1 + c1) (a1 + b + c)
„ a (b1 + c1) + b1c1,
„ (a1 + b c) (b + c) = a1 (b + c) +b c
„ a1 (b + c + d) + b c d,
„ a (b1 + c1 + d1) + b1c1d1.
Noch weitere Aufgaben in § 18, χ).
In jedem aus einfachen Gebietsymbolen durch die Operationen der drei Spezies Multiplikation, Addition und Negation aufgebauten Aus- drucke kann man jetzt alle vorgeschriebenen (angedeuteten) Negationen ausführen, wodurch der Ausdruck übergeht in einen solchen, der nur noch durch die beiden direkten Spezies, Multiplikation und Addition, aufgebaut erscheint aus den einfachen Symbolen und deren Negationen.
Man braucht zu diesem Zwecke nur mit den innersten „Negan- den“ zusammengesetzter Natur, welche von der oben beschriebenen Art sein werden, zu beginnen, die innersten mit Negationsstrich be- hafteten Klammern zuerst, und dann nach aussen fortschreitend nach und nach auch die äussern Klammern dieser Art, aufzulösen, bis keine Negationsklammer mehr vorhanden ist.
Wird auch auf diese Weise rasch die Möglichkeit der Ausführung erkannt, so ist das geschilderte Verfahren doch nicht das praktischste. Es kann sich nämlich dabei ereignen, dass man irgend einen zusam- mengesetzten Ausdruckteil wiederholt „umzunegiren“, in seine Negation umzuschreiben bekommt, was, sooft es zweimal geschah, nach Th. 31) unnötige Arbeit war. Besser also wird man mit dem Auflösen der Negationsklammern in der Richtung von aussen nach innen fortschreiten, und sobald man mit dem Negiren der in einer solchen stehenden Terme wiederum auf eine Negationsklammer stösst, solche (mitsamt dem auf sie bezüglichen Vorsatze des Negirens) einfach fallen lassen, ignoriren.
Darnach ist z. B. [{(a + b)1c + d1e} f]1 = {(a1b1c + d1e) f}1 = (a + b + c1) (d + e1) + f1 auf die erstere Art mit, auf die letztere ohne die angegebene Zwischen- rechnung (der doppelt negirte Ausdruckteil war a + b) sofort hinzusetzen.
Weitere Exempel: [{(a b)1 + (c d)1} (e + f)1]1 = a b c d + e + f, [a + b {c + d (e + f g)1}1]1 = a1 {b1 + c + d e1 (f1 + g1)}, ([(a x + b x1)1 {(m x)1 (n x1)1}1c]1 + x)1 = = (a + x1) (b1 + x) (m x + n x1) c x1 = b1n c x1.
Zusatz 3 zu Th. 36).
Das am Schluss des § 13 erwähnte Problem der Zerfällung eines Ausdrucks in seine letzten Faktoren kann nunmehr dadurch gelöst wer-
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[356/0376]
Achte Vorlesung.
Ausdruck: a1 (b1 + c + d1), Negation desselben: a + b c1 d
„ a1 b c + a b1 c1, „ (a + b1 + c1) (a1 + b + c)
„ a (b1 + c1) + b1 c1, „ (a1 + b c) (b + c) = a1 (b + c) +b c
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Noch weitere Aufgaben in § 18, χ).
In jedem aus einfachen Gebietsymbolen durch die Operationen der
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noch durch die beiden direkten Spezies, Multiplikation und Addition,
aufgebaut erscheint aus den einfachen Symbolen und deren Negationen.
Man braucht zu diesem Zwecke nur mit den innersten „Negan-
den“ zusammengesetzter Natur, welche von der oben beschriebenen
Art sein werden, zu beginnen, die innersten mit Negationsstrich be-
hafteten Klammern zuerst, und dann nach aussen fortschreitend nach
und nach auch die äussern Klammern dieser Art, aufzulösen, bis keine
Negationsklammer mehr vorhanden ist.
Wird auch auf diese Weise rasch die Möglichkeit der Ausführung
erkannt, so ist das geschilderte Verfahren doch nicht das praktischste.
Es kann sich nämlich dabei ereignen, dass man irgend einen zusam-
mengesetzten Ausdruckteil wiederholt „umzunegiren“, in seine Negation
umzuschreiben bekommt, was, sooft es zweimal geschah, nach Th. 31)
unnötige Arbeit war. Besser also wird man mit dem Auflösen der
Negationsklammern in der Richtung von aussen nach innen fortschreiten,
und sobald man mit dem Negiren der in einer solchen stehenden Terme
wiederum auf eine Negationsklammer stösst, solche (mitsamt dem auf
sie bezüglichen Vorsatze des Negirens) einfach fallen lassen, ignoriren.
Darnach ist z. B.
[{(a + b)1 c + d1 e} f]1 = {(a1 b1 c + d1 e) f}1 = (a + b + c1) (d + e1) + f1
auf die erstere Art mit, auf die letztere ohne die angegebene Zwischen-
rechnung (der doppelt negirte Ausdruckteil war a + b) sofort hinzusetzen.
Weitere Exempel:
[{(a b)1 + (c d)1} (e + f)1]1 = a b c d + e + f,
[a + b {c + d (e + f g)1}1]1 = a1 {b1 + c + d e1 (f1 + g1)},
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Zusatz 3 zu Th. 36).
Das am Schluss des § 13 erwähnte Problem der Zerfällung eines
Ausdrucks in seine letzten Faktoren kann nunmehr dadurch gelöst wer-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 356. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/376>, abgerufen am 22.11.2024.
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