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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 17. Fernere Sätze für Gebiete und Klassen.
Addition aus lauter einfachen Symbolen und deren Negationen auf-
gebauten übrigens noch so komplizirten Ausdrucke die Negation sofort
und mit leichter Mühe ausgeführt herstellen, und zwar indem man
jedes Gebiet mit seiner Negation und ausserdem noch die Zeichen
"mal" und "plus" vertauscht.

Man schreibe also aus dem gegebenen Ausdruck ab: a mit a1, a1
in Gestalt von a, · als + und + als ·, wobei nur noch zu beachten
ist, dass manche Klammern, welche im ursprünglichen Ausdruck blos
gesetzt zu denken waren aber unterdrückt sein durften, im negirten
Ausdruck ausdrücklich angeschrieben und beibehalten werden müssen
wogegen andere, diejenigen, die dort unentbehrlich waren, hier als
überflüssig in Wegfall kommen. Man hat nämlich gemäss Anhang 2
zu berücksichtigen, dass ursprünglich jeder zusammengesetzte Aus-
druck, wenn mit andern Termen verknüpft oder zu verknüpfen, in
Klammer stehen muss, dass aber endgültig (teils zufolge gewisser
Eigenschaften, Gesetze unsrer direkten Operationen, teils auf Grund
eigener auf Klammerersparniss es absehender Konventionen) nur um
Summen herum, welche als Faktor auftreten, die Klammer nicht
weggelassen werden darf.

War hienach der ursprüngliche Ausdruck schon frei von über-
flüssigen Klammern, so wird beim Negiren desselben eine Klammer
allemal dann einzuführen, im negirten Ausdruck neu anzubringen sein,
wenn man an das Negiren eines Produktes kommt, welches als ein
Summand im ursprünglichen Ausdruck steht -- indem eben dadurch
sich eine Summe ergeben wird die als Faktor zu setzen. Dagegen
kommt jede (andre, jede nicht gerade ein Produkt als Glied um-
schliessende) Klammer des ursprünglichen Ausdrucks beim Negiren in
Wegfall.

Zur Erläuterung und Übung seien zunächst für einige Ausdrücke die
Negationen hergesetzt, deren erste sechs schon De Morgan 3 pag. 42 ge-
geben hat:

Ausdruck: a + b c,Negation desselben: a1 (b1 + c1)
" x = (a + b) c," x1 = a1 b1 + c1
" (a + b) (c + d)," a1 b1 + c1 d1
" a + b (c + d)," a1 (b1 + c1 d1)
" a + b + a1 c (oder a + b + c)," a1 b1 c1
" (a + b c) (d + e f)," a1 (b1 + c1) + d1 (e1 + f1)
" a1 b + c1," (a + b1) c
" a b + a1 b1," (a1 + b1) (a + b) = a b1 + a1 b

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§ 17. Fernere Sätze für Gebiete und Klassen.
Addition aus lauter einfachen Symbolen und deren Negationen auf-
gebauten übrigens noch so komplizirten Ausdrucke die Negation sofort
und mit leichter Mühe ausgeführt herstellen, und zwar indem man
jedes Gebiet mit seiner Negation und ausserdem noch die Zeichen
„mal“ und „plus“ vertauscht.

Man schreibe also aus dem gegebenen Ausdruck ab: a mit a1, a1
in Gestalt von a, · als + und + als ·, wobei nur noch zu beachten
ist, dass manche Klammern, welche im ursprünglichen Ausdruck blos
gesetzt zu denken waren aber unterdrückt sein durften, im negirten
Ausdruck ausdrücklich angeschrieben und beibehalten werden müssen
wogegen andere, diejenigen, die dort unentbehrlich waren, hier als
überflüssig in Wegfall kommen. Man hat nämlich gemäss Anhang 2
zu berücksichtigen, dass ursprünglich jeder zusammengesetzte Aus-
druck, wenn mit andern Termen verknüpft oder zu verknüpfen, in
Klammer stehen muss, dass aber endgültig (teils zufolge gewisser
Eigenschaften, Gesetze unsrer direkten Operationen, teils auf Grund
eigener auf Klammerersparniss es absehender Konventionen) nur um
Summen herum, welche als Faktor auftreten, die Klammer nicht
weggelassen werden darf.

War hienach der ursprüngliche Ausdruck schon frei von über-
flüssigen Klammern, so wird beim Negiren desselben eine Klammer
allemal dann einzuführen, im negirten Ausdruck neu anzubringen sein,
wenn man an das Negiren eines Produktes kommt, welches als ein
Summand im ursprünglichen Ausdruck steht — indem eben dadurch
sich eine Summe ergeben wird die als Faktor zu setzen. Dagegen
kommt jede (andre, jede nicht gerade ein Produkt als Glied um-
schliessende) Klammer des ursprünglichen Ausdrucks beim Negiren in
Wegfall.

Zur Erläuterung und Übung seien zunächst für einige Ausdrücke die
Negationen hergesetzt, deren erste sechs schon De Morgan 3 pag. 42 ge-
geben hat:

Ausdruck: a + b c,Negation desselben: a1 (b1 + c1)
„ x = (a + b) c,„ x1 = a1 b1 + c1
„ (a + b) (c + d),„ a1 b1 + c1 d1
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[355/0375] § 17. Fernere Sätze für Gebiete und Klassen. Addition aus lauter einfachen Symbolen und deren Negationen auf- gebauten übrigens noch so komplizirten Ausdrucke die Negation sofort und mit leichter Mühe ausgeführt herstellen, und zwar indem man jedes Gebiet mit seiner Negation und ausserdem noch die Zeichen „mal“ und „plus“ vertauscht. Man schreibe also aus dem gegebenen Ausdruck ab: a mit a1, a1 in Gestalt von a, · als + und + als ·, wobei nur noch zu beachten ist, dass manche Klammern, welche im ursprünglichen Ausdruck blos gesetzt zu denken waren aber unterdrückt sein durften, im negirten Ausdruck ausdrücklich angeschrieben und beibehalten werden müssen wogegen andere, diejenigen, die dort unentbehrlich waren, hier als überflüssig in Wegfall kommen. Man hat nämlich gemäss Anhang 2 zu berücksichtigen, dass ursprünglich jeder zusammengesetzte Aus- druck, wenn mit andern Termen verknüpft oder zu verknüpfen, in Klammer stehen muss, dass aber endgültig (teils zufolge gewisser Eigenschaften, Gesetze unsrer direkten Operationen, teils auf Grund eigener auf Klammerersparniss es absehender Konventionen) nur um Summen herum, welche als Faktor auftreten, die Klammer nicht weggelassen werden darf. War hienach der ursprüngliche Ausdruck schon frei von über- flüssigen Klammern, so wird beim Negiren desselben eine Klammer allemal dann einzuführen, im negirten Ausdruck neu anzubringen sein, wenn man an das Negiren eines Produktes kommt, welches als ein Summand im ursprünglichen Ausdruck steht — indem eben dadurch sich eine Summe ergeben wird die als Faktor zu setzen. Dagegen kommt jede (andre, jede nicht gerade ein Produkt als Glied um- schliessende) Klammer des ursprünglichen Ausdrucks beim Negiren in Wegfall. Zur Erläuterung und Übung seien zunächst für einige Ausdrücke die Negationen hergesetzt, deren erste sechs schon De Morgan 3 pag. 42 ge- geben hat: Ausdruck: a + b c, Negation desselben: a1 (b1 + c1) „ x = (a + b) c, „ x1 = a1 b1 + c1 „ (a + b) (c + d), „ a1 b1 + c1 d1 „ a + b (c + d), „ a1 (b1 + c1 d1) „ a + b + a1 c (oder a + b + c), „ a1 b1 c1 „ (a + b c) (d + e f), „ a1 (b1 + c1) + d1 (e1 + f1) „ a1 b + c1, „ (a + b1) c „ a b + a1 b1, „ (a1 + b1) (a + b) = a b1 + a1 b 23*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 355. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/375>, abgerufen am 09.05.2024.