mende statt mit b1 einfacher mit b schlechtweg bezeichnet -- aus 28x) direkt das Th. 27x).
Es lässt sich also das Th. 28) als der allgemeinste Ausdruck des Distributionsgesetzes ansehen.
Zusatz 1 zu Th. 28).
Ist aus Gebietsymbolen, die wir "einfache" nennen wollen und etwa durch Buchstaben dargestellt annehmen, ein Ausdruck aufgebaut lediglich mittelst der Operationen der identischen Multiplikation und Addition, mithin dadurch, dass jene Symbole untereinander und auch mit sich selbst irgendwie verknüpft sind durch die genannten zwei direkten Spezies, so lässt sich allemal der Ausdruck darstellen als ein Aggregat von Monomen, als eine Summe, deren Glieder nur Produkte sind aus lauter einfachen Symbolen.
Beweis. Die vorkommenden Operationsglieder können nämlich nur entweder Summanden oder Faktoren sein, und sofern sie selbst noch als zusammengesetzt erscheinen, können sie nur Produkte oder aber Summen sein. In Bezug auf einen zusammengesetzten Ausdruck- teil sind daher nur folgende vier Fälle denkbar:
10) derselbe ist eine Summe und tritt als Summand auf
20) " " " " " " " Faktor "
30) " " ein Produkt " " " " "
40) " " " " " " " Summand auf.
Der zweite Fall lässt sich überall, wo er vorkommt, durch Aus- multipliziren nach dem Distributionsgesetze beseitigen (zu gunsten einer Vermehrung des vierten Falles, indem dabei Produkte von Summen aufgelöst werden in Summen aus Produkten).
Die Fälle 10) und 30) kommen unmittelbar in Wegfall, indem man die den zusammengesetzten Ausdruckteil umschliessende Klammer unter- drückt -- in Anbetracht, dass diese sich nach dem Assoziationsgesetze 13) nebst Zusatzdefinitionen in ebendiesen Fällen als überflüssig charak- terisirt. Eine Summe aus Summen (genauer gesagt: mit einer Summe als einem Gliede, oder auch mit mehreren Summen und vielleicht noch andern Gliedern als Gliedern) lässt sich ja immer ansehen als eine einzige Summe aus den sämtlichen Gliedern, und ebenso ein Produkt aus Produkten und vielleicht noch andern Faktoren immer darstellen als einziges Produkt aus den Faktoren jener nebst diesen übrigen Faktoren.
Hienach bleibt nur noch der vierte Fall übrig. Das heisst, unser Ausdruck wird nur mehr sein können eine Summe, ein (ein- oder mehr- gliedriges) Aggregat von Monomen, welche selbst nichts anderes sein
Siebente Vorlesung.
mende statt mit b1 einfacher mit b schlechtweg bezeichnet — aus 28×) direkt das Th. 27×).
Es lässt sich also das Th. 28) als der allgemeinste Ausdruck des Distributionsgesetzes ansehen.
Zusatz 1 zu Th. 28).
Ist aus Gebietsymbolen, die wir „einfache“ nennen wollen und etwa durch Buchstaben dargestellt annehmen, ein Ausdruck aufgebaut lediglich mittelst der Operationen der identischen Multiplikation und Addition, mithin dadurch, dass jene Symbole untereinander und auch mit sich selbst irgendwie verknüpft sind durch die genannten zwei direkten Spezies, so lässt sich allemal der Ausdruck darstellen als ein Aggregat von Monomen, als eine Summe, deren Glieder nur Produkte sind aus lauter einfachen Symbolen.
Beweis. Die vorkommenden Operationsglieder können nämlich nur entweder Summanden oder Faktoren sein, und sofern sie selbst noch als zusammengesetzt erscheinen, können sie nur Produkte oder aber Summen sein. In Bezug auf einen zusammengesetzten Ausdruck- teil sind daher nur folgende vier Fälle denkbar:
10) derselbe ist eine Summe und tritt als Summand auf
20) „ „ „ „ „ „ „ Faktor „
30) „ „ ein Produkt „ „ „ „ „
40) „ „ „ „ „ „ „ Summand auf.
Der zweite Fall lässt sich überall, wo er vorkommt, durch Aus- multipliziren nach dem Distributionsgesetze beseitigen (zu gunsten einer Vermehrung des vierten Falles, indem dabei Produkte von Summen aufgelöst werden in Summen aus Produkten).
Die Fälle 10) und 30) kommen unmittelbar in Wegfall, indem man die den zusammengesetzten Ausdruckteil umschliessende Klammer unter- drückt — in Anbetracht, dass diese sich nach dem Assoziationsgesetze 13) nebst Zusatzdefinitionen in ebendiesen Fällen als überflüssig charak- terisirt. Eine Summe aus Summen (genauer gesagt: mit einer Summe als einem Gliede, oder auch mit mehreren Summen und vielleicht noch andern Gliedern als Gliedern) lässt sich ja immer ansehen als eine einzige Summe aus den sämtlichen Gliedern, und ebenso ein Produkt aus Produkten und vielleicht noch andern Faktoren immer darstellen als einziges Produkt aus den Faktoren jener nebst diesen übrigen Faktoren.
Hienach bleibt nur noch der vierte Fall übrig. Das heisst, unser Ausdruck wird nur mehr sein können eine Summe, ein (ein- oder mehr- gliedriges) Aggregat von Monomen, welche selbst nichts anderes sein
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Siebente Vorlesung.
mende statt mit b1 einfacher mit b schlechtweg bezeichnet — aus 28×)
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Es lässt sich also das Th. 28) als der allgemeinste Ausdruck des
Distributionsgesetzes ansehen.
Zusatz 1 zu Th. 28).
Ist aus Gebietsymbolen, die wir „einfache“ nennen wollen und
etwa durch Buchstaben dargestellt annehmen, ein Ausdruck aufgebaut
lediglich mittelst der Operationen der identischen Multiplikation und
Addition, mithin dadurch, dass jene Symbole untereinander und auch
mit sich selbst irgendwie verknüpft sind durch die genannten zwei
direkten Spezies, so lässt sich allemal der Ausdruck darstellen als ein
Aggregat von Monomen, als eine Summe, deren Glieder nur Produkte
sind aus lauter einfachen Symbolen.
Beweis. Die vorkommenden Operationsglieder können nämlich
nur entweder Summanden oder Faktoren sein, und sofern sie selbst
noch als zusammengesetzt erscheinen, können sie nur Produkte oder
aber Summen sein. In Bezug auf einen zusammengesetzten Ausdruck-
teil sind daher nur folgende vier Fälle denkbar:
10) derselbe ist eine Summe und tritt als Summand auf
20) „ „ „ „ „ „ „ Faktor „
30) „ „ ein Produkt „ „ „ „ „
40) „ „ „ „ „ „ „ Summand auf.
Der zweite Fall lässt sich überall, wo er vorkommt, durch Aus-
multipliziren nach dem Distributionsgesetze beseitigen (zu gunsten einer
Vermehrung des vierten Falles, indem dabei Produkte von Summen
aufgelöst werden in Summen aus Produkten).
Die Fälle 10) und 30) kommen unmittelbar in Wegfall, indem man
die den zusammengesetzten Ausdruckteil umschliessende Klammer unter-
drückt — in Anbetracht, dass diese sich nach dem Assoziationsgesetze
13) nebst Zusatzdefinitionen in ebendiesen Fällen als überflüssig charak-
terisirt. Eine Summe aus Summen (genauer gesagt: mit einer Summe
als einem Gliede, oder auch mit mehreren Summen und vielleicht noch
andern Gliedern als Gliedern) lässt sich ja immer ansehen als eine
einzige Summe aus den sämtlichen Gliedern, und ebenso ein Produkt
aus Produkten und vielleicht noch andern Faktoren immer darstellen
als einziges Produkt aus den Faktoren jener nebst diesen übrigen
Faktoren.
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gliedriges) Aggregat von Monomen, welche selbst nichts anderes sein
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 312. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/332>, abgerufen am 09.05.2024.
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