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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 13. Auf Negation gründbare Sätze.
nicht übertragen lässt (siehe ibidem Schlussnote) vielmehr in diesem Betreff
dieser logische Kalkul noch weiter vom identischen zu divergiren, von ihm
sich zu entfernen scheint.

Wir dürfen fortan auch die Formeln 26), 27) und 28x) als Theo-
reme bezeichnen und ohne Einschränkung von denselben Gebrauch
machen. Dasselbe gilt von dem dualen Gegenstück des letzteren, wel-
ches bislang noch nicht erwähnt worden ist, und lautet:

28+) Theorem. Es ist
(a + c) (a + d) (b + c) (b + d) = a b + c d.

Beweis durch dreimalige Anwendung von 27+), wodurch sich
mittelst Zusammenziehung der beiden ersten und der beiden letzten
Faktoren linkerhand ergibt: (a + c d) (b + c d), und dies, ebenso zu-
sammengezogen in die rechte Seite übergeht.

Die Theoreme 26) bis 28) finden nunmehr -- ihrer vorgreifenden
Chiffrirung ungeachtet -- erst hier im System ihre Stelle.

Wir wollen deshalb die 27x) und 28x) auch einmal in ihrer all-
gemeinsten Fassung von binomischen Summen auf polynomische aus-
gedehnt aussprechen:
27x) Th. (a1 + a2 + a3 + ... + am) b = a1 b + a2 b + a3 b + ... + am b.
28x) Th. (a1 + a2 + a3 + ... + am) (b1 + b2 + ... + bn) =
= a1 b1 + a2 b1 + a3 b1 + ... + am b1 +
+ a1 b2 + a2 b2 + a3 b2 + ... + am b2 +
+ . . . . . . . . . . .
+ a1 bn + a2 bn + a3 bn + ... + am bn.

Bei den diesen dual entsprechenden 27+) und 28+) sei dies dem
Leser überlassen. Die Formulirung derselben dürfte hier kaum ver-
lohnen, weil die Erfahrung des Rechners darthut, dass man schon
mit den einschlägigen Theoremen auf der einen Seite des Mittelstrichs
überall bequem auskommt -- und diejenigen der linksseitigen Kolumne
sind aus der Arithmetik geläufig.

Von vorstehender Multiplikationsregel für Polynome kann man
sagen, dass sie auch das Distributionsgesetz 27) als besondern Fall
in sich schliesse, indem man es als zulässig erachtet und sich vor-
stellen kann, dass das eine der beiden zu multiplizirenden Polynome
von vornherein als ein Monom gedacht werde oder auf ein solches
sich reduzire [vergl. die Anm. 1 zu Th. 21) und 22)]. Schrumpft z. B.
das zweite Polynom in sein erstes Glied b1 zusammen, so ergibt sich
-- indem man dieses erste b als das einzige nun in Betracht kom-

§ 13. Auf Negation gründbare Sätze.
nicht übertragen lässt (siehe ibidem Schlussnote) vielmehr in diesem Betreff
dieser logische Kalkul noch weiter vom identischen zu divergiren, von ihm
sich zu entfernen scheint.

Wir dürfen fortan auch die Formeln 26), 27) und 28×) als Theo-
reme bezeichnen und ohne Einschränkung von denselben Gebrauch
machen. Dasselbe gilt von dem dualen Gegenstück des letzteren, wel-
ches bislang noch nicht erwähnt worden ist, und lautet:

28+) Theorem. Es ist
(a + c) (a + d) (b + c) (b + d) = a b + c d.

Beweis durch dreimalige Anwendung von 27+), wodurch sich
mittelst Zusammenziehung der beiden ersten und der beiden letzten
Faktoren linkerhand ergibt: (a + c d) (b + c d), und dies, ebenso zu-
sammengezogen in die rechte Seite übergeht.

Die Theoreme 26) bis 28) finden nunmehr — ihrer vorgreifenden
Chiffrirung ungeachtet — erst hier im System ihre Stelle.

Wir wollen deshalb die 27×) und 28×) auch einmal in ihrer all-
gemeinsten Fassung von binomischen Summen auf polynomische aus-
gedehnt aussprechen:
27×) Th. (a1 + a2 + a3 + … + am) b = a1 b + a2 b + a3 b + … + am b.
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+ a1 bn + a2 bn + a3 bn + … + am bn.

Bei den diesen dual entsprechenden 27+) und 28+) sei dies dem
Leser überlassen. Die Formulirung derselben dürfte hier kaum ver-
lohnen, weil die Erfahrung des Rechners darthut, dass man schon
mit den einschlägigen Theoremen auf der einen Seite des Mittelstrichs
überall bequem auskommt — und diejenigen der linksseitigen Kolumne
sind aus der Arithmetik geläufig.

Von vorstehender Multiplikationsregel für Polynome kann man
sagen, dass sie auch das Distributionsgesetz 27) als besondern Fall
in sich schliesse, indem man es als zulässig erachtet und sich vor-
stellen kann, dass das eine der beiden zu multiplizirenden Polynome
von vornherein als ein Monom gedacht werde oder auf ein solches
sich reduzire [vergl. die Anm. 1 zu Th. 21) und 22)]. Schrumpft z. B.
das zweite Polynom in sein erstes Glied b1 zusammen, so ergibt sich
— indem man dieses erste b als das einzige nun in Betracht kom-

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[311/0331] § 13. Auf Negation gründbare Sätze. nicht übertragen lässt (siehe ibidem Schlussnote) vielmehr in diesem Betreff dieser logische Kalkul noch weiter vom identischen zu divergiren, von ihm sich zu entfernen scheint. Wir dürfen fortan auch die Formeln 26), 27) und 28×) als Theo- reme bezeichnen und ohne Einschränkung von denselben Gebrauch machen. Dasselbe gilt von dem dualen Gegenstück des letzteren, wel- ches bislang noch nicht erwähnt worden ist, und lautet: 28+) Theorem. Es ist (a + c) (a + d) (b + c) (b + d) = a b + c d. Beweis durch dreimalige Anwendung von 27+), wodurch sich mittelst Zusammenziehung der beiden ersten und der beiden letzten Faktoren linkerhand ergibt: (a + c d) (b + c d), und dies, ebenso zu- sammengezogen in die rechte Seite übergeht. Die Theoreme 26) bis 28) finden nunmehr — ihrer vorgreifenden Chiffrirung ungeachtet — erst hier im System ihre Stelle. Wir wollen deshalb die 27×) und 28×) auch einmal in ihrer all- gemeinsten Fassung von binomischen Summen auf polynomische aus- gedehnt aussprechen: 27×) Th. (a1 + a2 + a3 + … + am) b = a1 b + a2 b + a3 b + … + am b. 28×) Th. (a1 + a2 + a3 + … + am) (b1 + b2 + … + bn) = = a1 b1 + a2 b1 + a3 b1 + … + am b1 + + a1 b2 + a2 b2 + a3 b2 + … + am b2 + + . . . . . . . . . . . + a1 bn + a2 bn + a3 bn + … + am bn. Bei den diesen dual entsprechenden 27+) und 28+) sei dies dem Leser überlassen. Die Formulirung derselben dürfte hier kaum ver- lohnen, weil die Erfahrung des Rechners darthut, dass man schon mit den einschlägigen Theoremen auf der einen Seite des Mittelstrichs überall bequem auskommt — und diejenigen der linksseitigen Kolumne sind aus der Arithmetik geläufig. Von vorstehender Multiplikationsregel für Polynome kann man sagen, dass sie auch das Distributionsgesetz 27) als besondern Fall in sich schliesse, indem man es als zulässig erachtet und sich vor- stellen kann, dass das eine der beiden zu multiplizirenden Polynome von vornherein als ein Monom gedacht werde oder auf ein solches sich reduzire [vergl. die Anm. 1 zu Th. 21) und 22)]. Schrumpft z. B. das zweite Polynom in sein erstes Glied b1 zusammen, so ergibt sich — indem man dieses erste b als das einzige nun in Betracht kom-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 311. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/331>, abgerufen am 09.05.2024.