können als (ein- oder mehrfaktorige) Produkte aus einfachen Gebiet- symbolen, irgendwie herausgegriffen aus der Gruppe der in den Aus- druck ursprünglich eingehenden literalen Gebiete. q. e. d.
Man sagt von einem in solcher Weise dargestellten Ausdruck: derselbe sei in seine letzten Glieder ("ultimate aggregants") zerfällt, auf- gelöst (oder entwickelt).
Bemerkenswert ist, dass er dann keine Klammern mehr enthalten wird. In der That nur beim Multipliziren von Summen durfte die Klammer (um diese herum) nicht ohne weiteres weggelassen werden, wogegen beim Addiren von Produkten dem herrschenden Gebrauch gemäss die Klammern jeweils gespart werden.
Es versteht sich, dass man bei der geschilderten Zerfällungsarbeit von den Gesetzen der Tautologie und Absorption, -- Th. 14) und 23) -- im Sinne der Vereinfachung des Resultates umfassendsten Ge- brauch machen wird.
Geschieht letzteres nach Möglichkeit, also dass kein Term wiederholt angesetzt und jeder unterdrückt wird, der einen andern als Faktor ent- hält, so würde sich wol zeigen lassen, dass die Zerfällung eines Ausdruckes in seine letzten Aggreganten immer nur auf eine Weise möglich, dass sie eine vollkommen eindentig bestimmte ist, sobald wenigstens die in den Ausdruck eingehenden "einfachen" Gebiete von einander unabhängig be- liebige sind [solange also insbesondre unter diesen Gebieten auch keine vorkommen, welche die "Negation" von andern sind]. Indessen im Hin- blick auf spätere viel wichtigere Ausdehnungen unsres Satzes (vergl. § 19) dürfte es kaum verlohnen, diesen immerhin schwierig erscheinenden Nach- weis zu liefern.
Zur Illustration werde die Aufgabe gelöst den folgenden Ausdruck in seine letzten Aggreganten zu zerfällen: x = {a b c + (a b d + a c d)} + + {(a b + c d) (a c + b d) (a d + b c) + (a + b + c) (a + b + d) (a + c + d) (b + c + d)} x · {(a + b) (c + d) + (a + c) (b + d)} (a + b c) (a + b d) (a + c d) (a + b c d).
Als Nebenrechnung entwickle man erst die beiden Glieder in der zweiten Zeile.
Das erste wird (durch Ausmultipliziren): a b c d + a b c + a b d + a c d + b c d, wovon auch noch der erste Term eingeht; das zweite wird: (a + b + c d) (a b + c + d) = a b + a c + a d + b c + b d + c d + a b c d, wovon der letzte Term absorbirt wird.
Die stehen bleibenden sechs Terme absorbiren aber auch noch die sämtlichen des vorhergehenden Gliedes, und da die Entwickelung des In- haltes der geschwungenen Klammer in der dritten Zeile gerade die näm- lichen sechs Terme liefert, so erhalten wir:
§ 13. Auf Negation gründbare Sätze.
können als (ein- oder mehrfaktorige) Produkte aus einfachen Gebiet- symbolen, irgendwie herausgegriffen aus der Gruppe der in den Aus- druck ursprünglich eingehenden literalen Gebiete. q. e. d.
Man sagt von einem in solcher Weise dargestellten Ausdruck: derselbe sei in seine letzten Glieder („ultimate aggregants“) zerfällt, auf- gelöst (oder entwickelt).
Bemerkenswert ist, dass er dann keine Klammern mehr enthalten wird. In der That nur beim Multipliziren von Summen durfte die Klammer (um diese herum) nicht ohne weiteres weggelassen werden, wogegen beim Addiren von Produkten dem herrschenden Gebrauch gemäss die Klammern jeweils gespart werden.
Es versteht sich, dass man bei der geschilderten Zerfällungsarbeit von den Gesetzen der Tautologie und Absorption, — Th. 14) und 23) — im Sinne der Vereinfachung des Resultates umfassendsten Ge- brauch machen wird.
Geschieht letzteres nach Möglichkeit, also dass kein Term wiederholt angesetzt und jeder unterdrückt wird, der einen andern als Faktor ent- hält, so würde sich wol zeigen lassen, dass die Zerfällung eines Ausdruckes in seine letzten Aggreganten immer nur auf eine Weise möglich, dass sie eine vollkommen eindentig bestimmte ist, sobald wenigstens die in den Ausdruck eingehenden „einfachen“ Gebiete von einander unabhängig be- liebige sind [solange also insbesondre unter diesen Gebieten auch keine vorkommen, welche die „Negation“ von andern sind]. Indessen im Hin- blick auf spätere viel wichtigere Ausdehnungen unsres Satzes (vergl. § 19) dürfte es kaum verlohnen, diesen immerhin schwierig erscheinenden Nach- weis zu liefern.
Zur Illustration werde die Aufgabe gelöst den folgenden Ausdruck in seine letzten Aggreganten zu zerfällen: x = {a b c + (a b d + a c d)} + + {(a b + c d) (a c + b d) (a d + b c) + (a + b + c) (a + b + d) (a + c + d) (b + c + d)} × · {(a + b) (c + d) + (a + c) (b + d)} (a + b c) (a + b d) (a + c d) (a + b c d).
Als Nebenrechnung entwickle man erst die beiden Glieder in der zweiten Zeile.
Das erste wird (durch Ausmultipliziren): a b c d + a b c + a b d + a c d + b c d, wovon auch noch der erste Term eingeht; das zweite wird: (a + b + c d) (a b + c + d) = a b + a c + a d + b c + b d + c d + a b c d, wovon der letzte Term absorbirt wird.
Die stehen bleibenden sechs Terme absorbiren aber auch noch die sämtlichen des vorhergehenden Gliedes, und da die Entwickelung des In- haltes der geschwungenen Klammer in der dritten Zeile gerade die näm- lichen sechs Terme liefert, so erhalten wir:
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§ 13. Auf Negation gründbare Sätze.
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druck ursprünglich eingehenden literalen Gebiete. q. e. d.
Man sagt von einem in solcher Weise dargestellten Ausdruck:
derselbe sei in seine letzten Glieder („ultimate aggregants“) zerfällt, auf-
gelöst (oder entwickelt).
Bemerkenswert ist, dass er dann keine Klammern mehr enthalten
wird. In der That nur beim Multipliziren von Summen durfte die
Klammer (um diese herum) nicht ohne weiteres weggelassen werden,
wogegen beim Addiren von Produkten dem herrschenden Gebrauch
gemäss die Klammern jeweils gespart werden.
Es versteht sich, dass man bei der geschilderten Zerfällungsarbeit
von den Gesetzen der Tautologie und Absorption, — Th. 14) und
23) — im Sinne der Vereinfachung des Resultates umfassendsten Ge-
brauch machen wird.
Geschieht letzteres nach Möglichkeit, also dass kein Term wiederholt
angesetzt und jeder unterdrückt wird, der einen andern als Faktor ent-
hält, so würde sich wol zeigen lassen, dass die Zerfällung eines Ausdruckes
in seine letzten Aggreganten immer nur auf eine Weise möglich, dass sie
eine vollkommen eindentig bestimmte ist, sobald wenigstens die in den
Ausdruck eingehenden „einfachen“ Gebiete von einander unabhängig be-
liebige sind [solange also insbesondre unter diesen Gebieten auch keine
vorkommen, welche die „Negation“ von andern sind]. Indessen im Hin-
blick auf spätere viel wichtigere Ausdehnungen unsres Satzes (vergl. § 19)
dürfte es kaum verlohnen, diesen immerhin schwierig erscheinenden Nach-
weis zu liefern.
Zur Illustration werde die Aufgabe gelöst den folgenden Ausdruck in
seine letzten Aggreganten zu zerfällen:
x = {a b c + (a b d + a c d)} +
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Als Nebenrechnung entwickle man erst die beiden Glieder in der
zweiten Zeile.
Das erste wird (durch Ausmultipliziren):
a b c d + a b c + a b d + a c d + b c d,
wovon auch noch der erste Term eingeht; das zweite wird:
(a + b + c d) (a b + c + d) = a b + a c + a d + b c + b d + c d + a b c d,
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sämtlichen des vorhergehenden Gliedes, und da die Entwickelung des In-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 313. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/333>, abgerufen am 09.05.2024.
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