Theorem [ohne Nummer]. Auch wenn b c nicht gleich O ist, somit ganz allgemein, gilt die Subsumtion 26x) und damit auch das volle Distributionsgesetz 27x).
Wir mögen sogleich das letztere beweisen.
Beweis. Einerseits ist: a b + a c = a b · 1 + a c · 1 = = a b (c + c1) + a c (b + b1) = = a b c + a b c1 + a c b + a c b1 = = a b c + a b c1 + a b1c nach IIIx [sogar schon nach IIIx0].
Andrerseits ist wegen 33+): a (b + c) = a (b c + b c1 + b1c).
Und da die Produkte je zweier von den rechts eingeklammerten Gliedern O geben müssen, indem hier jedesmal mindestens zwei Fak- toren zusammenkommen, die als Negationen von einander sich gegen- seitig vernichten, da m. a. W.: b c · b c1 = 0, b c · b1c = 0, b c1 · b1c = 0 ist, so dürfen wir nach dem Zusatz 2 zu Prinzip IIIx nun rechterhand ausmultipliziren. Dies liefert: a (b + c) = a b c + a b c1 + a b1c. Durch Vergleichung mit dem obigen Ausdruck folgt also nach Th. 4): a (b + c) = a b + a c, q. e. d. Mit dem durch Prinzip IIIx, Def. (6) und Postulat ((3)) ver stärkten Beweiskapitale ist hienach der Beweis des Distributionsgesetzes nunmehr gelungen.
Anmerkung. Eben um zu zeigen, dass auch das Produkt a (b c + b c1 + b1c) durch Ausmultipliziren entwickelt werden darf, würde augenscheinlich der speziellere Satz IIIx0 nicht ausgereicht haben und war es unumgänglich, den umfassenderen IIIx als Prinzip hinzu- stellen.
Dies scheint mir allerdings mathematisch noch nicht vollkommen sicher- gestellt. Und ebenso muss ich es hier noch dahingestellt sein lassen, ob nicht schon ohne das Prinzip IIIx -- auf Grund lediglich des Zuzugs von Def. (6) und Postulat ((3)) mit Hülfe des (vielleicht auch für Aussagen in Anspruch zu nehmenden) Theorems 30) und 31) (d. i. den Sätzen des Widerspruchs, des ausgeschlossenen Mittels und der doppelten Verneinung) ein Beweis des Distributionsgesetzes möglich wäre. Den in Anhang 4 und 5 entwickelten logischen Kalkul mit Algorithmen kann man hiefür nicht als beweiskräftig gelten lassen, sofern sich in ihn der Begriff der Negation
Siebente Vorlesung.
Theorem [ohne Nummer]. Auch wenn b c nicht gleich O ist, somit ganz allgemein, gilt die Subsumtion 26×) und damit auch das volle Distributionsgesetz 27×).
Wir mögen sogleich das letztere beweisen.
Beweis. Einerseits ist: a b + a c = a b · 1 + a c · 1 = = a b (c + c1) + a c (b + b1) = = a b c + a b c1 + a c b + a c b1 = = a b c + a b c1 + a b1c nach III× [sogar schon nach III×0].
Andrerseits ist wegen 33+): a (b + c) = a (b c + b c1 + b1c).
Und da die Produkte je zweier von den rechts eingeklammerten Gliedern O geben müssen, indem hier jedesmal mindestens zwei Fak- toren zusammenkommen, die als Negationen von einander sich gegen- seitig vernichten, da m. a. W.: b c · b c1 = 0, b c · b1c = 0, b c1 · b1c = 0 ist, so dürfen wir nach dem Zusatz 2 zu Prinzip III× nun rechterhand ausmultipliziren. Dies liefert: a (b + c) = a b c + a b c1 + a b1c. Durch Vergleichung mit dem obigen Ausdruck folgt also nach Th. 4): a (b + c) = a b + a c, q. e. d. Mit dem durch Prinzip III×, Def. (6) und Postulat ((3)) ver stärkten Beweiskapitale ist hienach der Beweis des Distributionsgesetzes nunmehr gelungen.
Anmerkung. Eben um zu zeigen, dass auch das Produkt a (b c + b c1 + b1c) durch Ausmultipliziren entwickelt werden darf, würde augenscheinlich der speziellere Satz III×0 nicht ausgereicht haben und war es unumgänglich, den umfassenderen III× als Prinzip hinzu- stellen.
Dies scheint mir allerdings mathematisch noch nicht vollkommen sicher- gestellt. Und ebenso muss ich es hier noch dahingestellt sein lassen, ob nicht schon ohne das Prinzip III× — auf Grund lediglich des Zuzugs von Def. (6) und Postulat ((3)) mit Hülfe des (vielleicht auch für Aussagen in Anspruch zu nehmenden) Theorems 30) und 31) (d. i. den Sätzen des Widerspruchs, des ausgeschlossenen Mittels und der doppelten Verneinung) ein Beweis des Distributionsgesetzes möglich wäre. Den in Anhang 4 und 5 entwickelten logischen Kalkul mit Algorithmen kann man hiefür nicht als beweiskräftig gelten lassen, sofern sich in ihn der Begriff der Negation
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[310/0330]
Siebente Vorlesung.
Theorem [ohne Nummer]. Auch wenn b c nicht gleich O ist,
somit ganz allgemein, gilt die Subsumtion 26×) und damit auch das volle
Distributionsgesetz 27×).
Wir mögen sogleich das letztere beweisen.
Beweis. Einerseits ist:
a b + a c = a b · 1 + a c · 1 =
= a b (c + c1) + a c (b + b1) =
= a b c + a b c1 + a c b + a c b1 =
= a b c + a b c1 + a b1 c
nach III× [sogar schon nach III×0].
Andrerseits ist wegen 33+):
a (b + c) = a (b c + b c1 + b1 c).
Und da die Produkte je zweier von den rechts eingeklammerten
Gliedern O geben müssen, indem hier jedesmal mindestens zwei Fak-
toren zusammenkommen, die als Negationen von einander sich gegen-
seitig vernichten, da m. a. W.:
b c · b c1 = 0, b c · b1 c = 0, b c1 · b1 c = 0
ist, so dürfen wir nach dem Zusatz 2 zu Prinzip III× nun rechterhand
ausmultipliziren. Dies liefert:
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Durch Vergleichung mit dem obigen Ausdruck folgt also nach Th. 4):
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q. e. d. Mit dem durch Prinzip III×, Def. (6) und Postulat ((3)) ver
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nunmehr gelungen.
Anmerkung. Eben um zu zeigen, dass auch das Produkt
a (b c + b c1 + b1 c) durch Ausmultipliziren entwickelt werden darf, würde
augenscheinlich der speziellere Satz III×0 nicht ausgereicht haben und
war es unumgänglich, den umfassenderen III× als Prinzip hinzu-
stellen.
Dies scheint mir allerdings mathematisch noch nicht vollkommen sicher-
gestellt. Und ebenso muss ich es hier noch dahingestellt sein lassen, ob
nicht schon ohne das Prinzip III× — auf Grund lediglich des Zuzugs von
Def. (6) und Postulat ((3)) mit Hülfe des (vielleicht auch für Aussagen
in Anspruch zu nehmenden) Theorems 30) und 31) (d. i. den Sätzen des
Widerspruchs, des ausgeschlossenen Mittels und der doppelten Verneinung)
ein Beweis des Distributionsgesetzes möglich wäre. Den in Anhang 4 und 5
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 310. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/330>, abgerufen am 09.05.2024.
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