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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 13. Negation (mit Postulat) und darauf zu gründende Sätze.
Gebiete die ganze Ebene der Tafel im Allgemeinen zerschnitten wird
-- wie dies Fig. 17 veranschaulicht. Man sieht zugleich, dass das [in
Fig. 9+) schraffirte] Gebiet a + b aus den drei
ersten dieser Terme zusammengesetzt ist, und
ebensoleicht, wie Th. 33+), ist auch der Zusatz
zu demselben durch die Anschauung zu bewahr-
heiten.

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 17.

Zur Erläuterung sei erinnert, dass man der
unter Postulat ((3)), Fig. 16 gegebenen Interpreta-
tion von a1 und b1 eingedenk sein muss. Hienach
wird a b1 -- z. B. -- dasjenige Gebiet vorstellen,
welches der Innenfläche des Kreises a und der Aussenfläche des Kreises b
gemeinsam ist, kurz gesagt: den Teil der Kreisfläche a, der ausserhalb b
fällt. Und a1 b1 muss das den beiden Aussenflächen der Kreise a und b
gemeinsame Gebiet vorstellen, mithin die Punkte umfassen, die ausserhalb
beider Kreise zugleich liegen, ein Gebiet, das man als Aussenfläche des
(als ein liegender Achter erscheinenden) Gebietes a + b bezeichnen darf.

Berührten sich die Kreise a und b, so würde das Gebiet a b in einen
Punkt, den Berührungspunkt zusammenschrumpfen, und hätten ihre Kon-
turen gar keinen Punkt gemein, so würde das Gebiet a b fortfallen, nicht
existiren, O sein; dann würde a b1 mit dem ganzen Kreis a und a1 b mit b
zusammenfallen.

Zusatz. Ersetzt man in 34+) die Summe der drei ersten Glieder
rechterhand durch den einfacheren Ausdruck, welchem dieselbe nach
Th. 33+) gleich ist, so ergibt sich noch:
1 = a + b + a1 b1.

Für die Zwecke des Unterrichts muss zum Bewusstsein gebracht
werden, dass bei der korrekten Ausführung jener Substitution zweimal
vom Assoziationsgesetze 13+) der Addition, nebst Zusatz, Gebrauch zu
machen war, und zwar in entgegengesetztem Sinne: einmal behufs Ein-
führung einer Klammer, durch welche die Gleichung 34+) in
1 = (a b + a b1 + a1 b) + a1 b1
umgeschrieben, die rechte Seite als zweigliedrige Summe dargestellt wird,
deren erster Term nun erst durch das ihm gleiche a + b ersetzbar ist,
welches als ein zusammengesetzter Ausdruck zunächst wieder selbst auch
eingeklammert werden muss (cf. Anhang 2) -- sodann bei dem Substitu-
tionsergebnisse: 1 = (a + b) + a b behufs Unterdrückung der letzten Klammer.

Dergleichen Zwischenoperationen übergehen wir zumeist mit Still-
schweigen.

Nunmehr können wir zur Begründung des vollen Distributionsgesetzes
schreiten. Dazu bedürfen wir sogar des Th. 34+) nicht, und wurde
dieses blos wegen seiner nahen Verwandtschaft mit 33+) gleich hinter
diesem angereiht.

§ 13. Negation (mit Postulat) und darauf zu gründende Sätze.
Gebiete die ganze Ebene der Tafel im Allgemeinen zerschnitten wird
— wie dies Fig. 17 veranschaulicht. Man sieht zugleich, dass das [in
Fig. 9+) schraffirte] Gebiet a + b aus den drei
ersten dieser Terme zusammengesetzt ist, und
ebensoleicht, wie Th. 33+), ist auch der Zusatz
zu demselben durch die Anschauung zu bewahr-
heiten.

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 17.

Zur Erläuterung sei erinnert, dass man der
unter Postulat ((3)), Fig. 16 gegebenen Interpreta-
tion von a1 und b1 eingedenk sein muss. Hienach
wird a b1 — z. B. — dasjenige Gebiet vorstellen,
welches der Innenfläche des Kreises a und der Aussenfläche des Kreises b
gemeinsam ist, kurz gesagt: den Teil der Kreisfläche a, der ausserhalb b
fällt. Und a1 b1 muss das den beiden Aussenflächen der Kreise a und b
gemeinsame Gebiet vorstellen, mithin die Punkte umfassen, die ausserhalb
beider Kreise zugleich liegen, ein Gebiet, das man als Aussenfläche des
(als ein liegender Achter erscheinenden) Gebietes a + b bezeichnen darf.

Berührten sich die Kreise a und b, so würde das Gebiet a b in einen
Punkt, den Berührungspunkt zusammenschrumpfen, und hätten ihre Kon-
turen gar keinen Punkt gemein, so würde das Gebiet a b fortfallen, nicht
existiren, O sein; dann würde a b1 mit dem ganzen Kreis a und a1 b mit b
zusammenfallen.

Zusatz. Ersetzt man in 34+) die Summe der drei ersten Glieder
rechterhand durch den einfacheren Ausdruck, welchem dieselbe nach
Th. 33+) gleich ist, so ergibt sich noch:
1 = a + b + a1 b1.

Für die Zwecke des Unterrichts muss zum Bewusstsein gebracht
werden, dass bei der korrekten Ausführung jener Substitution zweimal
vom Assoziationsgesetze 13+) der Addition, nebst Zusatz, Gebrauch zu
machen war, und zwar in entgegengesetztem Sinne: einmal behufs Ein-
führung einer Klammer, durch welche die Gleichung 34+) in
1 = (a b + a b1 + a1 b) + a1 b1
umgeschrieben, die rechte Seite als zweigliedrige Summe dargestellt wird,
deren erster Term nun erst durch das ihm gleiche a + b ersetzbar ist,
welches als ein zusammengesetzter Ausdruck zunächst wieder selbst auch
eingeklammert werden muss (cf. Anhang 2) — sodann bei dem Substitu-
tionsergebnisse: 1 = (a + b) + a b behufs Unterdrückung der letzten Klammer.

Dergleichen Zwischenoperationen übergehen wir zumeist mit Still-
schweigen.

Nunmehr können wir zur Begründung des vollen Distributionsgesetzes
schreiten. Dazu bedürfen wir sogar des Th. 34+) nicht, und wurde
dieses blos wegen seiner nahen Verwandtschaft mit 33+) gleich hinter
diesem angereiht.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 309. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/329>, abgerufen am 09.05.2024.