Denn wäre a1' eine zweite, so würden neben den beiden Glei- chungen 30), und mit demselben Rechte, auch diese beiden bestehen: a a1' = 0 und a + a1' = 1 und würde aus allen vier Gleichungen nach Hülfstheorem 29) [wo b dem a1 und c dem a1' entspricht] folgen: a1' = a1, d. h. die beiden Negationen wären identisch, einerlei, wären in der That nur eine.
Die Operation des Negirens, d. i. die Herstellung der Negation zu einem gegebenen Gebiete, wird darnach jedenfalls keine "mehrdeutige" sein, die Negation a1 von a ist ein höchstens eindeutiges Gebietsymbol. Dagegen könnte noch dieses Symbol als ein "undeutiges", die Opera- tion des Negirens als "unausführbar" erscheinen. Bislang ist noch die Möglichkeit zugelassen, dass -- vielleicht je nach dem "Werte" von a -- das Zeichen a1 ein sinnloses, einer Deutung als eigentliches Gebiet eventuell ganz unfähiges ist, welches dann als ein "uneigent- liches" Gebiet der Mannigfaltigkeit zu adjungiren die Def. (6) uns zumutet.
Diese Möglichkeit schliesst aus das folgende Postulat mit dem zu- gehörigen die Interpretation liefernden Nachweise.
Postulat ((3)). Zu jedem Gebiete a gibt es (mindestens) eine Nega- tion a1 (und dann wie schon gezeigt auch nur diese).
Dieselbe wird als Rückstand erhalten, wenn man das Gebiet a aus der ganzen Mannigfaltigkeit 1 fortlässt.
Dieses Restgebiet hat nämlich in der That die Eigenschaft, erstens: mit dem Gebiete a keinen Punkt gemeinsam zu haben, d. i. die Gleichung 30x) zu erfüllen; hätte es einen Punkt mit a gemein, so wäre ja dieser Punkt von a nicht pflichtschuldigst fortgelassen -- und zweitens: das Gebiet a auch zur ganzen Mannigfaltigkeit 1 zu ergänzen, d. i. die Gleichung 30+) zu erfüllen. Fehlte auch nur ein Punkt an dieser Mannigfaltigkeit, so wäre ja nicht der volle Rückstand genommen. Dasselbe ist sonach eine richtige Negation zu a, und weil es nur eine gibt, haben wir hier den bestimmten Artikel anzuwenden und zu sagen: die Negation von a.
Die Ausführungen des vorstehenden Absatzes sind nicht etwa als ein "Beweis" des vorhergehenden Postulates anzusehen, dessen Anerkennung vielmehr wir schlechthin fordern. Sie sollen nur beitragen, den Sinn des- selben voll zum Bewusstsein zu bringen, und der Anschauung resp. Intui- tion behülflich sein, dasselbe zu verifiziren.
Die Negation a1eines Gebietes a ist -- in unserm bevorzugten
§ 13. Die Negation für Gebiete, mit Postulat.
Denn wäre a1' eine zweite, so würden neben den beiden Glei- chungen 30), und mit demselben Rechte, auch diese beiden bestehen: a a1' = 0 und a + a1' = 1 und würde aus allen vier Gleichungen nach Hülfstheorem 29) [wo b dem a1 und c dem a1' entspricht] folgen: a1' = a1, d. h. die beiden Negationen wären identisch, einerlei, wären in der That nur eine.
Die Operation des Negirens, d. i. die Herstellung der Negation zu einem gegebenen Gebiete, wird darnach jedenfalls keine „mehrdeutige“ sein, die Negation a1 von a ist ein höchstens eindeutiges Gebietsymbol. Dagegen könnte noch dieses Symbol als ein „undeutiges“, die Opera- tion des Negirens als „unausführbar“ erscheinen. Bislang ist noch die Möglichkeit zugelassen, dass — vielleicht je nach dem „Werte“ von a — das Zeichen a1 ein sinnloses, einer Deutung als eigentliches Gebiet eventuell ganz unfähiges ist, welches dann als ein „uneigent- liches“ Gebiet der Mannigfaltigkeit zu adjungiren die Def. (6) uns zumutet.
Diese Möglichkeit schliesst aus das folgende Postulat mit dem zu- gehörigen die Interpretation liefernden Nachweise.
Postulat ((3)). Zu jedem Gebiete a gibt es (mindestens) eine Nega- tion a1 (und dann wie schon gezeigt auch nur diese).
Dieselbe wird als Rückstand erhalten, wenn man das Gebiet a aus der ganzen Mannigfaltigkeit 1 fortlässt.
Dieses Restgebiet hat nämlich in der That die Eigenschaft, erstens: mit dem Gebiete a keinen Punkt gemeinsam zu haben, d. i. die Gleichung 30×) zu erfüllen; hätte es einen Punkt mit a gemein, so wäre ja dieser Punkt von a nicht pflichtschuldigst fortgelassen — und zweitens: das Gebiet a auch zur ganzen Mannigfaltigkeit 1 zu ergänzen, d. i. die Gleichung 30+) zu erfüllen. Fehlte auch nur ein Punkt an dieser Mannigfaltigkeit, so wäre ja nicht der volle Rückstand genommen. Dasselbe ist sonach eine richtige Negation zu a, und weil es nur eine gibt, haben wir hier den bestimmten Artikel anzuwenden und zu sagen: die Negation von a.
Die Ausführungen des vorstehenden Absatzes sind nicht etwa als ein „Beweis“ des vorhergehenden Postulates anzusehen, dessen Anerkennung vielmehr wir schlechthin fordern. Sie sollen nur beitragen, den Sinn des- selben voll zum Bewusstsein zu bringen, und der Anschauung resp. Intui- tion behülflich sein, dasselbe zu verifiziren.
Die Negation a1eines Gebietes a ist — in unserm bevorzugten
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§ 13. Die Negation für Gebiete, mit Postulat.
Denn wäre a1' eine zweite, so würden neben den beiden Glei-
chungen 30), und mit demselben Rechte, auch diese beiden bestehen:
a a1' = 0 und a + a1' = 1
und würde aus allen vier Gleichungen nach Hülfstheorem 29) [wo b
dem a1 und c dem a1' entspricht] folgen:
a1' = a1,
d. h. die beiden Negationen wären identisch, einerlei, wären in der
That nur eine.
Die Operation des Negirens, d. i. die Herstellung der Negation zu
einem gegebenen Gebiete, wird darnach jedenfalls keine „mehrdeutige“
sein, die Negation a1 von a ist ein höchstens eindeutiges Gebietsymbol.
Dagegen könnte noch dieses Symbol als ein „undeutiges“, die Opera-
tion des Negirens als „unausführbar“ erscheinen. Bislang ist noch die
Möglichkeit zugelassen, dass — vielleicht je nach dem „Werte“ von a
— das Zeichen a1 ein sinnloses, einer Deutung als eigentliches
Gebiet eventuell ganz unfähiges ist, welches dann als ein „uneigent-
liches“ Gebiet der Mannigfaltigkeit zu adjungiren die Def. (6) uns
zumutet.
Diese Möglichkeit schliesst aus das folgende Postulat mit dem zu-
gehörigen die Interpretation liefernden Nachweise.
Postulat ((3)). Zu jedem Gebiete a gibt es (mindestens) eine Nega-
tion a1 (und dann wie schon gezeigt auch nur diese).
Dieselbe wird als Rückstand erhalten, wenn man das Gebiet a aus
der ganzen Mannigfaltigkeit 1 fortlässt.
Dieses Restgebiet hat nämlich in der That die Eigenschaft, erstens:
mit dem Gebiete a keinen Punkt gemeinsam zu haben, d. i. die
Gleichung 30×) zu erfüllen; hätte es einen Punkt mit a gemein, so
wäre ja dieser Punkt von a nicht pflichtschuldigst fortgelassen — und
zweitens: das Gebiet a auch zur ganzen Mannigfaltigkeit 1 zu ergänzen,
d. i. die Gleichung 30+) zu erfüllen. Fehlte auch nur ein Punkt an
dieser Mannigfaltigkeit, so wäre ja nicht der volle Rückstand genommen.
Dasselbe ist sonach eine richtige Negation zu a, und weil es nur eine
gibt, haben wir hier den bestimmten Artikel anzuwenden und zu sagen:
die Negation von a.
Die Ausführungen des vorstehenden Absatzes sind nicht etwa als ein
„Beweis“ des vorhergehenden Postulates anzusehen, dessen Anerkennung
vielmehr wir schlechthin fordern. Sie sollen nur beitragen, den Sinn des-
selben voll zum Bewusstsein zu bringen, und der Anschauung resp. Intui-
tion behülflich sein, dasselbe zu verifiziren.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 303. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/323>, abgerufen am 09.05.2024.
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