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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Sechste Vorlesung.

Um weiter zu fahren, müssen wir uns vor allem klar machen,
dass die beiden Sätze 26x) und 26+) sich auf einander zurückführen lassen.

Gilt z. B. die Formel 26x) allgemein, so auch wie oben dargelegt
das "volle" Distributionsgesetz 27x). Und durch des letztern wieder-
holte Anwendung ist ihrerseits leicht zu beweisen die "Multiplikations-
regel für Polynome", welche in dem (uns zunächst genügenden) ein-
fachsten Falle ausgedrückt wird durch die Formel:
28x) (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d.

Beweis. Multiplizirt man erst nur die Summe a + b mit dem
hinter ihr stehenden Faktor nach 27x) aus, so ergibt sich:
(a + b) · (c + d) = a · (c + d) + b · (c + d)
und wenn man in den beiden Termen rechterhand nunmehr auch die
Summe c + d je mit dem vor ihr stehenden Faktor ausmultiplizirt, so
entsteht:
(a + b) (c + d) = (a c + a d) + (b c + b d),
wo nun die Klammern rechterhand auch weggelassen werden dürfen
[cf. Anhang 2] und der Satz sich bewiesen findet.

Meist wird die Formel 28x) im Sinne von links nach rechts an-
gewendet, und verlohnt es nur zu diesem Zwecke sie sich in Worten
einzuprägen (wobei wir wegen der späteren Ausdehnung des Satzes
auf beliebig viele Glieder die Gliederzahl, die bis jetzt nur "zwei" sein
dürfte, schon unerwähnt lassen wollen):

Zwei Polynome (mehrgliedrige Summen) können mit einander multipli-
zirt werden, indem man jedes Glied des einen Polynoms mit jedem Glied
des andern multiplizirt und die Einzelprodukte summirt (addirt).

Man nennt diesen Prozess das "Ausmultipliziren" der gedachten
Polynome -- in der Arithmetik auch wol das "Entwickeln" ihres Pro-
duktes; doch erscheint wieder letzteres aus später zutage tretenden
Gründen hier weniger geeignet (vergl. den § 19 über die "Entwicke-
lung" der Funktionen überhaupt.

Im umgekehrten Sinne, also von rechts nach links gelesen, zwecks
der "Zerfällung" eines gegebenen Aggregates von (monomischen binä-
ren) Produkten in polynomische Faktoren, wird in der Praxis mit
Recht der einmaligen Anwendung der komplizirten Formel 28x) vor-
gezogen die wiederholte Anwendung der einfacheren 27x) im Sinne des
"Ausscheidens" gemeinsamer Faktoren, so wie sie im umgekehrten
Sinne beim Beweis von 28x) bereits oben geleistet ist. Man wird hier
eben den Ansatz machen:
a c + a d + b c + b d = a (c + d) + b (c + d) = (a + b) (c + d).

Sechste Vorlesung.

Um weiter zu fahren, müssen wir uns vor allem klar machen,
dass die beiden Sätze 26×) und 26+) sich auf einander zurückführen lassen.

Gilt z. B. die Formel 26×) allgemein, so auch wie oben dargelegt
das „volle“ Distributionsgesetz 27×). Und durch des letztern wieder-
holte Anwendung ist ihrerseits leicht zu beweisen die „Multiplikations-
regel für Polynome“, welche in dem (uns zunächst genügenden) ein-
fachsten Falle ausgedrückt wird durch die Formel:
28×) (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d.

Beweis. Multiplizirt man erst nur die Summe a + b mit dem
hinter ihr stehenden Faktor nach 27×) aus, so ergibt sich:
(a + b) · (c + d) = a · (c + d) + b · (c + d)
und wenn man in den beiden Termen rechterhand nunmehr auch die
Summe c + d je mit dem vor ihr stehenden Faktor ausmultiplizirt, so
entsteht:
(a + b) (c + d) = (a c + a d) + (b c + b d),
wo nun die Klammern rechterhand auch weggelassen werden dürfen
[cf. Anhang 2] und der Satz sich bewiesen findet.

Meist wird die Formel 28×) im Sinne von links nach rechts an-
gewendet, und verlohnt es nur zu diesem Zwecke sie sich in Worten
einzuprägen (wobei wir wegen der späteren Ausdehnung des Satzes
auf beliebig viele Glieder die Gliederzahl, die bis jetzt nur „zwei“ sein
dürfte, schon unerwähnt lassen wollen):

Zwei Polynome (mehrgliedrige Summen) können mit einander multipli-
zirt werden, indem man jedes Glied des einen Polynoms mit jedem Glied
des andern multiplizirt und die Einzelprodukte summirt (addirt).

Man nennt diesen Prozess das „Ausmultipliziren“ der gedachten
Polynome — in der Arithmetik auch wol das „Entwickeln“ ihres Pro-
duktes; doch erscheint wieder letzteres aus später zutage tretenden
Gründen hier weniger geeignet (vergl. den § 19 über die „Entwicke-
lung“ der Funktionen überhaupt.

Im umgekehrten Sinne, also von rechts nach links gelesen, zwecks
der „Zerfällung“ eines gegebenen Aggregates von (monomischen binä-
ren) Produkten in polynomische Faktoren, wird in der Praxis mit
Recht der einmaligen Anwendung der komplizirten Formel 28×) vor-
gezogen die wiederholte Anwendung der einfacheren 27×) im Sinne des
„Ausscheidens“ gemeinsamer Faktoren, so wie sie im umgekehrten
Sinne beim Beweis von 28×) bereits oben geleistet ist. Man wird hier
eben den Ansatz machen:
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[292/0312] Sechste Vorlesung. Um weiter zu fahren, müssen wir uns vor allem klar machen, dass die beiden Sätze 26×) und 26+) sich auf einander zurückführen lassen. Gilt z. B. die Formel 26×) allgemein, so auch wie oben dargelegt das „volle“ Distributionsgesetz 27×). Und durch des letztern wieder- holte Anwendung ist ihrerseits leicht zu beweisen die „Multiplikations- regel für Polynome“, welche in dem (uns zunächst genügenden) ein- fachsten Falle ausgedrückt wird durch die Formel: 28×) (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d. Beweis. Multiplizirt man erst nur die Summe a + b mit dem hinter ihr stehenden Faktor nach 27×) aus, so ergibt sich: (a + b) · (c + d) = a · (c + d) + b · (c + d) und wenn man in den beiden Termen rechterhand nunmehr auch die Summe c + d je mit dem vor ihr stehenden Faktor ausmultiplizirt, so entsteht: (a + b) (c + d) = (a c + a d) + (b c + b d), wo nun die Klammern rechterhand auch weggelassen werden dürfen [cf. Anhang 2] und der Satz sich bewiesen findet. Meist wird die Formel 28×) im Sinne von links nach rechts an- gewendet, und verlohnt es nur zu diesem Zwecke sie sich in Worten einzuprägen (wobei wir wegen der späteren Ausdehnung des Satzes auf beliebig viele Glieder die Gliederzahl, die bis jetzt nur „zwei“ sein dürfte, schon unerwähnt lassen wollen): Zwei Polynome (mehrgliedrige Summen) können mit einander multipli- zirt werden, indem man jedes Glied des einen Polynoms mit jedem Glied des andern multiplizirt und die Einzelprodukte summirt (addirt). Man nennt diesen Prozess das „Ausmultipliziren“ der gedachten Polynome — in der Arithmetik auch wol das „Entwickeln“ ihres Pro- duktes; doch erscheint wieder letzteres aus später zutage tretenden Gründen hier weniger geeignet (vergl. den § 19 über die „Entwicke- lung“ der Funktionen überhaupt. Im umgekehrten Sinne, also von rechts nach links gelesen, zwecks der „Zerfällung“ eines gegebenen Aggregates von (monomischen binä- ren) Produkten in polynomische Faktoren, wird in der Praxis mit Recht der einmaligen Anwendung der komplizirten Formel 28×) vor- gezogen die wiederholte Anwendung der einfacheren 27×) im Sinne des „Ausscheidens“ gemeinsamer Faktoren, so wie sie im umgekehrten Sinne beim Beweis von 28×) bereits oben geleistet ist. Man wird hier eben den Ansatz machen: a c + a d + b c + b d = a (c + d) + b (c + d) = (a + b) (c + d).

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 292. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/312>, abgerufen am 09.05.2024.