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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Sechste Vorlesung.
Multiplikation verhält sich distributiv zur Addition, aber nicht umge-
kehrt. Im identischen Kalkul dagegen stehen Addition und Multiplika-
tion in gegenseitig distributivem Zusammenhange.

Da die Formel 27x) die beiden vorhergehenden Subsumtionen 26x)
und 25x) ohnehin umfasst, so verlohnt es natürlich nicht, diese beiden,
weniger besagenden Sätze einzeln in Worte zu kleiden und sich ge-
sondert einzuprägen, sondern wird es vorzuziehen sein und hinreichen,
dies nur mit dem inhaltreicheren Satze 27x) zu thun. Wir durften
daher auf jenes verzichten, und begnügen wir uns, das letztere gethan
zu haben.

Dass nun die Formeln 27) -- und damit auch die vorhergehen-
den 26) -- in der That Geltung haben, lehrt für die bisher als an-
schauliches Substrat benutzten Flächengebiete oder Klassen von Punkten
der Ebene zunächst die Anschauung. Man überzeugt sich nämlich son-
der Mühe, dass sowol die linke als die rechte Seite einer jeden Glei-
chung 27) bezüglich denselben in der folgenden Figur schraffirten Teil
der Gebiete a, b, c vorstellt:

[Abbildung] Fig. 15x.
[Abbildung] Fig. 15+.

Die Anschauung konnte auch benutzt werden um alle bisherigen
Sätze des Gebietekalkuls unmittelbar als richtig zu erkennen. Doch
wird man zugeben, dass dies kein Beweis derselben sein würde, unter
welchem ja ihre (bewusste) Zurückführung auf die bisherigen Defini-
tionen (1) bis (3) durch zwingende nach den Prinzipien (I und II)
ausdrücklich erfolgende Schlüsse zu verstehen ist.

Sonach erscheinen auch die Sätze 27) bis jetzt noch als unbe-
wiesen.

Die Unmöglichkeit, ihren Beweis auf der Grundlage des Bisherigen
zu leisten, kann völlig ausser Zweifel gestellt werden auf eine Weise,
die ich jetzt auseinandersetzen will.

Ein solcher "negativer" Beweis kann nur durch Exemplifikation
geleistet werden.

Eine allgemeine Behauptung wird als in dieser Allgemeinheit ungültig
erwiesen sein, sobald man auch nur ein einziges Beispiel nachweist, für

Sechste Vorlesung.
Multiplikation verhält sich distributiv zur Addition, aber nicht umge-
kehrt. Im identischen Kalkul dagegen stehen Addition und Multiplika-
tion in gegenseitig distributivem Zusammenhange.

Da die Formel 27×) die beiden vorhergehenden Subsumtionen 26×)
und 25×) ohnehin umfasst, so verlohnt es natürlich nicht, diese beiden,
weniger besagenden Sätze einzeln in Worte zu kleiden und sich ge-
sondert einzuprägen, sondern wird es vorzuziehen sein und hinreichen,
dies nur mit dem inhaltreicheren Satze 27×) zu thun. Wir durften
daher auf jenes verzichten, und begnügen wir uns, das letztere gethan
zu haben.

Dass nun die Formeln 27) — und damit auch die vorhergehen-
den 26) — in der That Geltung haben, lehrt für die bisher als an-
schauliches Substrat benutzten Flächengebiete oder Klassen von Punkten
der Ebene zunächst die Anschauung. Man überzeugt sich nämlich son-
der Mühe, dass sowol die linke als die rechte Seite einer jeden Glei-
chung 27) bezüglich denselben in der folgenden Figur schraffirten Teil
der Gebiete a, b, c vorstellt:

[Abbildung] Fig. 15×.
[Abbildung] Fig. 15+.

Die Anschauung konnte auch benutzt werden um alle bisherigen
Sätze des Gebietekalkuls unmittelbar als richtig zu erkennen. Doch
wird man zugeben, dass dies kein Beweis derselben sein würde, unter
welchem ja ihre (bewusste) Zurückführung auf die bisherigen Defini-
tionen (1) bis (3) durch zwingende nach den Prinzipien (I und II)
ausdrücklich erfolgende Schlüsse zu verstehen ist.

Sonach erscheinen auch die Sätze 27) bis jetzt noch als unbe-
wiesen.

Die Unmöglichkeit, ihren Beweis auf der Grundlage des Bisherigen
zu leisten, kann völlig ausser Zweifel gestellt werden auf eine Weise,
die ich jetzt auseinandersetzen will.

Ein solcher „negativer“ Beweis kann nur durch Exemplifikation
geleistet werden.

Eine allgemeine Behauptung wird als in dieser Allgemeinheit ungültig
erwiesen sein, sobald man auch nur ein einziges Beispiel nachweist, für

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[286/0306] Sechste Vorlesung. Multiplikation verhält sich distributiv zur Addition, aber nicht umge- kehrt. Im identischen Kalkul dagegen stehen Addition und Multiplika- tion in gegenseitig distributivem Zusammenhange. Da die Formel 27×) die beiden vorhergehenden Subsumtionen 26×) und 25×) ohnehin umfasst, so verlohnt es natürlich nicht, diese beiden, weniger besagenden Sätze einzeln in Worte zu kleiden und sich ge- sondert einzuprägen, sondern wird es vorzuziehen sein und hinreichen, dies nur mit dem inhaltreicheren Satze 27×) zu thun. Wir durften daher auf jenes verzichten, und begnügen wir uns, das letztere gethan zu haben. Dass nun die Formeln 27) — und damit auch die vorhergehen- den 26) — in der That Geltung haben, lehrt für die bisher als an- schauliches Substrat benutzten Flächengebiete oder Klassen von Punkten der Ebene zunächst die Anschauung. Man überzeugt sich nämlich son- der Mühe, dass sowol die linke als die rechte Seite einer jeden Glei- chung 27) bezüglich denselben in der folgenden Figur schraffirten Teil der Gebiete a, b, c vorstellt: [Abbildung Fig. 15×.] [Abbildung Fig. 15+.] Die Anschauung konnte auch benutzt werden um alle bisherigen Sätze des Gebietekalkuls unmittelbar als richtig zu erkennen. Doch wird man zugeben, dass dies kein Beweis derselben sein würde, unter welchem ja ihre (bewusste) Zurückführung auf die bisherigen Defini- tionen (1) bis (3) durch zwingende nach den Prinzipien (I und II) ausdrücklich erfolgende Schlüsse zu verstehen ist. Sonach erscheinen auch die Sätze 27) bis jetzt noch als unbe- wiesen. Die Unmöglichkeit, ihren Beweis auf der Grundlage des Bisherigen zu leisten, kann völlig ausser Zweifel gestellt werden auf eine Weise, die ich jetzt auseinandersetzen will. Ein solcher „negativer“ Beweis kann nur durch Exemplifikation geleistet werden. Eine allgemeine Behauptung wird als in dieser Allgemeinheit ungültig erwiesen sein, sobald man auch nur ein einziges Beispiel nachweist, für

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 286. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/306>, abgerufen am 09.05.2024.