§ 12. Nichtbeweisbarkeit der 2. Subsumtion des Distributionsgesetzes.
ist. Bestand also ein Glied aus vielen Faktoren, so wird in ihm, nach Abtrennung des "gemeinsamen" erst das Produkt der übrigen Fakto- ren den "andern" Faktor vorstellen, von welchem in obiger Erklärung die Rede war (durchaus nicht dürfte die Summe von dessen Teilfak- toren gebildet werden).
Wie an dem Beispiel der Formel 27x) zu sehen ist, können die beiden Sätze, welche eine Formel vor- und rückwärts gelesen liefert, gänzlich verschieden klingen. Dies wird sich sogar als die Regel er- weisen. Gleichlauten, m. a. W. in einen Satz zusammenfallen, müssen die beiden nur dann, wenn die Formel symmetrisch ist, d. h. die eine Seite der Gleichung durch blosse Buchstabenvertauschung in die an- dere übergeführt werden kann, was dann nebenbei gesagt (durch die entgegengesetzte Vertauschung) auch immer umgekehrt der Fall sein muss. Es war dies unter den bisherigen Formeln oder Theoremen nur bei den Kommutationsgesetzen 12) der Fall.
Die Formel 27x) werden wir "das duale Gegenstück des Distribu- tionsgesetzes" nennen.*) Dass sie dies wirklich ist, nämlich durch blosse Vertauschung von "plus" und "mal" aus dem (eigentlichen) Distribu- tionsgesetze hervorgeht, erkennt man deutlichst, wenn man in beiden Formeln die unterdrückten Malzeichen nebst den gesparten, mental zu ergänzen gewesenen Klammern ausdrücklich anschreibt:
27x) a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
27+) a + (b · c) = (a + b) · (a + c).
Auch die Formel 27+) ist von distributivem Charakter; sie zeigt, dass ein Summand, welcher zu einem Produkte tritt, sich auf die Fak- toren des letzteren "verteilt". Statt ein Symbol zu einem Produkt zu addiren, kann man es zu jedem Faktor desselben addiren und die Ergeb- nisse (Einzelsummen) miteinander multipliziren. Umgekehrt: Wenn die Faktoren eines Produktes einen übereinstimmenden Term (Summanden) enthalten, so lässt sich das Produkt reduziren auf diesen Term vermehrt um das Produkt der restirenden Terme in den als nur zweigliedrige oder "binomische" Summen anzusehenden Faktoren.
Von diesen beiden Sätzen ist wol der letztere für die Technik des identischen Kalkuls noch von einigem Werte. Wie sich zeigen wird, lässt aber die Anwendung des Th. 27+) sich überhaupt umgehen, und kann man schon mit dem Distributionsgesetze 27x) auskommen.
In der Arithmetik gilt die Formel 27+) nicht; hier stehen Multipli- kation und Addition nur in einseitig distributivem Zusammenhange: die
*) In 2 glaubte ich, dieselbe entdeckt zu haben; jedoch war mir Herr Peirce in 1a zuvor gekommen.
§ 12. Nichtbeweisbarkeit der 2. Subsumtion des Distributionsgesetzes.
ist. Bestand also ein Glied aus vielen Faktoren, so wird in ihm, nach Abtrennung des „gemeinsamen“ erst das Produkt der übrigen Fakto- ren den „andern“ Faktor vorstellen, von welchem in obiger Erklärung die Rede war (durchaus nicht dürfte die Summe von dessen Teilfak- toren gebildet werden).
Wie an dem Beispiel der Formel 27×) zu sehen ist, können die beiden Sätze, welche eine Formel vor- und rückwärts gelesen liefert, gänzlich verschieden klingen. Dies wird sich sogar als die Regel er- weisen. Gleichlauten, m. a. W. in einen Satz zusammenfallen, müssen die beiden nur dann, wenn die Formel symmetrisch ist, d. h. die eine Seite der Gleichung durch blosse Buchstabenvertauschung in die an- dere übergeführt werden kann, was dann nebenbei gesagt (durch die entgegengesetzte Vertauschung) auch immer umgekehrt der Fall sein muss. Es war dies unter den bisherigen Formeln oder Theoremen nur bei den Kommutationsgesetzen 12) der Fall.
Die Formel 27×) werden wir „das duale Gegenstück des Distribu- tionsgesetzes“ nennen.*) Dass sie dies wirklich ist, nämlich durch blosse Vertauschung von „plus“ und „mal“ aus dem (eigentlichen) Distribu- tionsgesetze hervorgeht, erkennt man deutlichst, wenn man in beiden Formeln die unterdrückten Malzeichen nebst den gesparten, mental zu ergänzen gewesenen Klammern ausdrücklich anschreibt:
27×) a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
27+) a + (b · c) = (a + b) · (a + c).
Auch die Formel 27+) ist von distributivem Charakter; sie zeigt, dass ein Summand, welcher zu einem Produkte tritt, sich auf die Fak- toren des letzteren „verteilt“. Statt ein Symbol zu einem Produkt zu addiren, kann man es zu jedem Faktor desselben addiren und die Ergeb- nisse (Einzelsummen) miteinander multipliziren. Umgekehrt: Wenn die Faktoren eines Produktes einen übereinstimmenden Term (Summanden) enthalten, so lässt sich das Produkt reduziren auf diesen Term vermehrt um das Produkt der restirenden Terme in den als nur zweigliedrige oder „binomische“ Summen anzusehenden Faktoren.
Von diesen beiden Sätzen ist wol der letztere für die Technik des identischen Kalkuls noch von einigem Werte. Wie sich zeigen wird, lässt aber die Anwendung des Th. 27+) sich überhaupt umgehen, und kann man schon mit dem Distributionsgesetze 27×) auskommen.
In der Arithmetik gilt die Formel 27+) nicht; hier stehen Multipli- kation und Addition nur in einseitig distributivem Zusammenhange: die
*) In 2 glaubte ich, dieselbe entdeckt zu haben; jedoch war mir Herr Peirce in 1a zuvor gekommen.
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><p><pbfacs="#f0305"n="285"/><fwplace="top"type="header">§ 12. Nichtbeweisbarkeit der 2. Subsumtion des Distributionsgesetzes.</fw><lb/>
ist. Bestand also ein Glied aus vielen Faktoren, so wird in ihm, nach<lb/>
Abtrennung des „gemeinsamen“ erst das Produkt der übrigen Fakto-<lb/>
ren den „andern“ Faktor vorstellen, von welchem in obiger Erklärung<lb/>
die Rede war (durchaus nicht dürfte die Summe von dessen Teilfak-<lb/>
toren gebildet werden).</p><lb/><p>Wie an dem Beispiel der Formel 27<hirendition="#sub">×</hi>) zu sehen ist, können die<lb/>
beiden Sätze, welche eine Formel vor- und rückwärts gelesen liefert,<lb/>
gänzlich verschieden klingen. Dies wird sich sogar als die Regel er-<lb/>
weisen. Gleichlauten, m. a. W. in <hirendition="#i">einen</hi> Satz zusammenfallen, müssen<lb/>
die beiden nur dann, wenn die Formel symmetrisch ist, d. h. die eine<lb/>
Seite der Gleichung durch blosse Buchstabenvertauschung in die an-<lb/>
dere übergeführt werden kann, was dann nebenbei gesagt (durch die<lb/>
entgegengesetzte Vertauschung) auch immer umgekehrt der Fall sein<lb/>
muss. Es war dies unter den bisherigen Formeln oder Theoremen<lb/>
nur bei den Kommutationsgesetzen 12) der Fall.</p><lb/><p>Die Formel 27<hirendition="#sub">×</hi>) werden wir „<hirendition="#i">das duale Gegenstück des Distribu-<lb/>
tionsgesetzes</hi>“ nennen.<noteplace="foot"n="*)">In <hirendition="#sup">2</hi> glaubte ich, dieselbe entdeckt zu haben; jedoch war mir Herr <hirendition="#g">Peirce</hi><lb/>
in <hirendition="#sup">1a</hi> zuvor gekommen.</note> Dass sie dies wirklich ist, nämlich durch blosse<lb/>
Vertauschung von „plus“ und „mal“ aus dem (eigentlichen) Distribu-<lb/>
tionsgesetze hervorgeht, erkennt man deutlichst, wenn man in beiden<lb/>
Formeln die unterdrückten Malzeichen nebst den gesparten, mental<lb/>
zu ergänzen gewesenen Klammern ausdrücklich anschreibt:<lb/><table><row><cell>27<hirendition="#sub">×</hi>) <hirendition="#i">a</hi> · (<hirendition="#i">b</hi> + <hirendition="#i">c</hi>) = (<hirendition="#i">a</hi> · <hirendition="#i">b</hi>) + (<hirendition="#i">a</hi> · <hirendition="#i">c</hi>)</cell><cell>27<hirendition="#sub">+</hi>) <hirendition="#i">a</hi> + (<hirendition="#i">b</hi> · <hirendition="#i">c</hi>) = (<hirendition="#i">a</hi> + <hirendition="#i">b</hi>) · (<hirendition="#i">a</hi> + <hirendition="#i">c</hi>).</cell></row><lb/></table></p><p>Auch die Formel 27<hirendition="#sub">+</hi>) ist von distributivem Charakter; sie zeigt,<lb/>
dass ein Summand, welcher zu einem Produkte tritt, sich auf die Fak-<lb/>
toren des letzteren „verteilt“. <hirendition="#i">Statt ein Symbol zu einem Produkt zu<lb/>
addiren</hi>, <hirendition="#i">kann man es zu jedem Faktor desselben addiren und die Ergeb-<lb/>
nisse (Einzelsummen) miteinander multipliziren</hi>. Umgekehrt: <hirendition="#i">Wenn die<lb/>
Faktoren eines Produktes einen übereinstimmenden Term</hi> (Summanden)<lb/><hirendition="#i">enthalten</hi>, <hirendition="#i">so lässt sich das Produkt reduziren auf diesen Term vermehrt<lb/>
um das Produkt der restirenden Terme</hi> in den als nur zweigliedrige oder<lb/>„<hirendition="#i">binomische</hi>“ Summen anzusehenden Faktoren.</p><lb/><p>Von diesen beiden Sätzen ist wol der letztere für die Technik<lb/>
des identischen Kalkuls noch von einigem Werte. Wie sich zeigen<lb/>
wird, lässt aber die Anwendung des Th. 27<hirendition="#sub">+</hi>) sich überhaupt umgehen,<lb/>
und kann man schon mit dem Distributionsgesetze 27<hirendition="#sub">×</hi>) auskommen.</p><lb/><p>In der Arithmetik gilt die Formel 27<hirendition="#sub">+</hi>) <hirendition="#i">nicht;</hi> hier stehen Multipli-<lb/>
kation und Addition nur <hirendition="#i">in einseitig distributivem Zusammenhange:</hi> die<lb/></p></div></div></body></text></TEI>
[285/0305]
§ 12. Nichtbeweisbarkeit der 2. Subsumtion des Distributionsgesetzes.
ist. Bestand also ein Glied aus vielen Faktoren, so wird in ihm, nach
Abtrennung des „gemeinsamen“ erst das Produkt der übrigen Fakto-
ren den „andern“ Faktor vorstellen, von welchem in obiger Erklärung
die Rede war (durchaus nicht dürfte die Summe von dessen Teilfak-
toren gebildet werden).
Wie an dem Beispiel der Formel 27×) zu sehen ist, können die
beiden Sätze, welche eine Formel vor- und rückwärts gelesen liefert,
gänzlich verschieden klingen. Dies wird sich sogar als die Regel er-
weisen. Gleichlauten, m. a. W. in einen Satz zusammenfallen, müssen
die beiden nur dann, wenn die Formel symmetrisch ist, d. h. die eine
Seite der Gleichung durch blosse Buchstabenvertauschung in die an-
dere übergeführt werden kann, was dann nebenbei gesagt (durch die
entgegengesetzte Vertauschung) auch immer umgekehrt der Fall sein
muss. Es war dies unter den bisherigen Formeln oder Theoremen
nur bei den Kommutationsgesetzen 12) der Fall.
Die Formel 27×) werden wir „das duale Gegenstück des Distribu-
tionsgesetzes“ nennen. *) Dass sie dies wirklich ist, nämlich durch blosse
Vertauschung von „plus“ und „mal“ aus dem (eigentlichen) Distribu-
tionsgesetze hervorgeht, erkennt man deutlichst, wenn man in beiden
Formeln die unterdrückten Malzeichen nebst den gesparten, mental
zu ergänzen gewesenen Klammern ausdrücklich anschreibt:
27×) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) 27+) a + (b · c) = (a + b) · (a + c).
Auch die Formel 27+) ist von distributivem Charakter; sie zeigt,
dass ein Summand, welcher zu einem Produkte tritt, sich auf die Fak-
toren des letzteren „verteilt“. Statt ein Symbol zu einem Produkt zu
addiren, kann man es zu jedem Faktor desselben addiren und die Ergeb-
nisse (Einzelsummen) miteinander multipliziren. Umgekehrt: Wenn die
Faktoren eines Produktes einen übereinstimmenden Term (Summanden)
enthalten, so lässt sich das Produkt reduziren auf diesen Term vermehrt
um das Produkt der restirenden Terme in den als nur zweigliedrige oder
„binomische“ Summen anzusehenden Faktoren.
Von diesen beiden Sätzen ist wol der letztere für die Technik
des identischen Kalkuls noch von einigem Werte. Wie sich zeigen
wird, lässt aber die Anwendung des Th. 27+) sich überhaupt umgehen,
und kann man schon mit dem Distributionsgesetze 27×) auskommen.
In der Arithmetik gilt die Formel 27+) nicht; hier stehen Multipli-
kation und Addition nur in einseitig distributivem Zusammenhange: die
*) In 2 glaubte ich, dieselbe entdeckt zu haben; jedoch war mir Herr Peirce
in 1a zuvor gekommen.
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 285. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/305>, abgerufen am 09.05.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
