§ 12. Nichtbeweisbarkeit der 2. Subsumtion des Distributionsgesetzes.
ist. Bestand also ein Glied aus vielen Faktoren, so wird in ihm, nach Abtrennung des "gemeinsamen" erst das Produkt der übrigen Fakto- ren den "andern" Faktor vorstellen, von welchem in obiger Erklärung die Rede war (durchaus nicht dürfte die Summe von dessen Teilfak- toren gebildet werden).
Wie an dem Beispiel der Formel 27x) zu sehen ist, können die beiden Sätze, welche eine Formel vor- und rückwärts gelesen liefert, gänzlich verschieden klingen. Dies wird sich sogar als die Regel er- weisen. Gleichlauten, m. a. W. in einen Satz zusammenfallen, müssen die beiden nur dann, wenn die Formel symmetrisch ist, d. h. die eine Seite der Gleichung durch blosse Buchstabenvertauschung in die an- dere übergeführt werden kann, was dann nebenbei gesagt (durch die entgegengesetzte Vertauschung) auch immer umgekehrt der Fall sein muss. Es war dies unter den bisherigen Formeln oder Theoremen nur bei den Kommutationsgesetzen 12) der Fall.
Die Formel 27x) werden wir "das duale Gegenstück des Distribu- tionsgesetzes" nennen.*) Dass sie dies wirklich ist, nämlich durch blosse Vertauschung von "plus" und "mal" aus dem (eigentlichen) Distribu- tionsgesetze hervorgeht, erkennt man deutlichst, wenn man in beiden Formeln die unterdrückten Malzeichen nebst den gesparten, mental zu ergänzen gewesenen Klammern ausdrücklich anschreibt:
27x) a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
27+) a + (b · c) = (a + b) · (a + c).
Auch die Formel 27+) ist von distributivem Charakter; sie zeigt, dass ein Summand, welcher zu einem Produkte tritt, sich auf die Fak- toren des letzteren "verteilt". Statt ein Symbol zu einem Produkt zu addiren, kann man es zu jedem Faktor desselben addiren und die Ergeb- nisse (Einzelsummen) miteinander multipliziren. Umgekehrt: Wenn die Faktoren eines Produktes einen übereinstimmenden Term (Summanden) enthalten, so lässt sich das Produkt reduziren auf diesen Term vermehrt um das Produkt der restirenden Terme in den als nur zweigliedrige oder "binomische" Summen anzusehenden Faktoren.
Von diesen beiden Sätzen ist wol der letztere für die Technik des identischen Kalkuls noch von einigem Werte. Wie sich zeigen wird, lässt aber die Anwendung des Th. 27+) sich überhaupt umgehen, und kann man schon mit dem Distributionsgesetze 27x) auskommen.
In der Arithmetik gilt die Formel 27+) nicht; hier stehen Multipli- kation und Addition nur in einseitig distributivem Zusammenhange: die
*) In 2 glaubte ich, dieselbe entdeckt zu haben; jedoch war mir Herr Peirce in 1a zuvor gekommen.
§ 12. Nichtbeweisbarkeit der 2. Subsumtion des Distributionsgesetzes.
ist. Bestand also ein Glied aus vielen Faktoren, so wird in ihm, nach Abtrennung des „gemeinsamen“ erst das Produkt der übrigen Fakto- ren den „andern“ Faktor vorstellen, von welchem in obiger Erklärung die Rede war (durchaus nicht dürfte die Summe von dessen Teilfak- toren gebildet werden).
Wie an dem Beispiel der Formel 27×) zu sehen ist, können die beiden Sätze, welche eine Formel vor- und rückwärts gelesen liefert, gänzlich verschieden klingen. Dies wird sich sogar als die Regel er- weisen. Gleichlauten, m. a. W. in einen Satz zusammenfallen, müssen die beiden nur dann, wenn die Formel symmetrisch ist, d. h. die eine Seite der Gleichung durch blosse Buchstabenvertauschung in die an- dere übergeführt werden kann, was dann nebenbei gesagt (durch die entgegengesetzte Vertauschung) auch immer umgekehrt der Fall sein muss. Es war dies unter den bisherigen Formeln oder Theoremen nur bei den Kommutationsgesetzen 12) der Fall.
Die Formel 27×) werden wir „das duale Gegenstück des Distribu- tionsgesetzes“ nennen.*) Dass sie dies wirklich ist, nämlich durch blosse Vertauschung von „plus“ und „mal“ aus dem (eigentlichen) Distribu- tionsgesetze hervorgeht, erkennt man deutlichst, wenn man in beiden Formeln die unterdrückten Malzeichen nebst den gesparten, mental zu ergänzen gewesenen Klammern ausdrücklich anschreibt:
27×) a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
27+) a + (b · c) = (a + b) · (a + c).
Auch die Formel 27+) ist von distributivem Charakter; sie zeigt, dass ein Summand, welcher zu einem Produkte tritt, sich auf die Fak- toren des letzteren „verteilt“. Statt ein Symbol zu einem Produkt zu addiren, kann man es zu jedem Faktor desselben addiren und die Ergeb- nisse (Einzelsummen) miteinander multipliziren. Umgekehrt: Wenn die Faktoren eines Produktes einen übereinstimmenden Term (Summanden) enthalten, so lässt sich das Produkt reduziren auf diesen Term vermehrt um das Produkt der restirenden Terme in den als nur zweigliedrige oder „binomische“ Summen anzusehenden Faktoren.
Von diesen beiden Sätzen ist wol der letztere für die Technik des identischen Kalkuls noch von einigem Werte. Wie sich zeigen wird, lässt aber die Anwendung des Th. 27+) sich überhaupt umgehen, und kann man schon mit dem Distributionsgesetze 27×) auskommen.
In der Arithmetik gilt die Formel 27+) nicht; hier stehen Multipli- kation und Addition nur in einseitig distributivem Zusammenhange: die
*) In 2 glaubte ich, dieselbe entdeckt zu haben; jedoch war mir Herr Peirce in 1a zuvor gekommen.
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§ 12. Nichtbeweisbarkeit der 2. Subsumtion des Distributionsgesetzes.
ist. Bestand also ein Glied aus vielen Faktoren, so wird in ihm, nach
Abtrennung des „gemeinsamen“ erst das Produkt der übrigen Fakto-
ren den „andern“ Faktor vorstellen, von welchem in obiger Erklärung
die Rede war (durchaus nicht dürfte die Summe von dessen Teilfak-
toren gebildet werden).
Wie an dem Beispiel der Formel 27×) zu sehen ist, können die
beiden Sätze, welche eine Formel vor- und rückwärts gelesen liefert,
gänzlich verschieden klingen. Dies wird sich sogar als die Regel er-
weisen. Gleichlauten, m. a. W. in einen Satz zusammenfallen, müssen
die beiden nur dann, wenn die Formel symmetrisch ist, d. h. die eine
Seite der Gleichung durch blosse Buchstabenvertauschung in die an-
dere übergeführt werden kann, was dann nebenbei gesagt (durch die
entgegengesetzte Vertauschung) auch immer umgekehrt der Fall sein
muss. Es war dies unter den bisherigen Formeln oder Theoremen
nur bei den Kommutationsgesetzen 12) der Fall.
Die Formel 27×) werden wir „das duale Gegenstück des Distribu-
tionsgesetzes“ nennen. *) Dass sie dies wirklich ist, nämlich durch blosse
Vertauschung von „plus“ und „mal“ aus dem (eigentlichen) Distribu-
tionsgesetze hervorgeht, erkennt man deutlichst, wenn man in beiden
Formeln die unterdrückten Malzeichen nebst den gesparten, mental
zu ergänzen gewesenen Klammern ausdrücklich anschreibt:
27×) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) 27+) a + (b · c) = (a + b) · (a + c).
Auch die Formel 27+) ist von distributivem Charakter; sie zeigt,
dass ein Summand, welcher zu einem Produkte tritt, sich auf die Fak-
toren des letzteren „verteilt“. Statt ein Symbol zu einem Produkt zu
addiren, kann man es zu jedem Faktor desselben addiren und die Ergeb-
nisse (Einzelsummen) miteinander multipliziren. Umgekehrt: Wenn die
Faktoren eines Produktes einen übereinstimmenden Term (Summanden)
enthalten, so lässt sich das Produkt reduziren auf diesen Term vermehrt
um das Produkt der restirenden Terme in den als nur zweigliedrige oder
„binomische“ Summen anzusehenden Faktoren.
Von diesen beiden Sätzen ist wol der letztere für die Technik
des identischen Kalkuls noch von einigem Werte. Wie sich zeigen
wird, lässt aber die Anwendung des Th. 27+) sich überhaupt umgehen,
und kann man schon mit dem Distributionsgesetze 27×) auskommen.
In der Arithmetik gilt die Formel 27+) nicht; hier stehen Multipli-
kation und Addition nur in einseitig distributivem Zusammenhange: die
*) In 2 glaubte ich, dieselbe entdeckt zu haben; jedoch war mir Herr Peirce
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 285. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/305>, abgerufen am 26.11.2024.
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