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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 11. Gemischte Gesetze.
werden, dicht hinter Th. 6), wenn man will; mit Beweis 2 sogar noch
vor dem letztern.

Zusätze. Da aus den zwei letzten (den behaupteten) Gleichungen
des Satzes auch umgekehrt die erste (die vorausgesetzte) nach 18)
und 21) folgt, so kann man sagen, dass diese eine Gleichung äqui-
valent ist dem System der beiden andern, simultan als gültig hin-
gestellten. Insbesondre also sagt rechterhand die eine Gleichung
a + b = 0 genau dasselbe aus, wie die beiden Gleichungen a = 0
und b = 0 zusammen genommen; denn aus jener folgen diese beiden,
und aus diesen beiden folgt umgekehrt auch jene. Aus einem bald
näher darzulegenden Grunde besitzt dieser Satz wiederum grössere
Wichtigkeit als sein duales Gegenstück.

Wir haben auch in der Arithmetik Analoga zu dem erwähnten Satze.
So ist, wenn a und b reelle Zahlen bedeuten und i die imaginäre Einheit
vorstellt, bekanntlich die Gleichung a + i b = 0 äquivalent dem Gleichungen-
paare: a = 0, b = 0. Desgleichen können diese letzteren beiden in die
eine Gleichung a2 + b2 = 0 zusammengezogen werden, indem im reellen
Zahlengebiet auch eine Summe von Quadraten nicht anders verschwinden
kann, als indem ihre Terme (somit auch die Grundzahlen dieser Quadrate
selbst) sämtlich verschwinden. Die Geltung des Th. 24+) weist darauf
hin, dass es im identischen Kalkul nichts geben wird, was den negativen
Zahlen der Arithmetik analog wäre. Namentlich kann es hier keine Gebiete
geben, die als Summanden oder Addenden zu einmal gesetzten Gebieten
hinzugefügt, diese wieder aufhöben. Es würden solche Gebiete sich hier
auch nicht fingiren lassen, ohne dass die fundamentalen Gesetze des Kal-
kuls umgestossen werden müssten. Gleichwol verfügt auch der identische
Kalkul über die Mittel, eine Ausschliessung, Ausnahme oder Exception vor-
zunehmen, worüber die einschlägigen Betrachtungen in § 23 zu vergleichen
sein werden.

Die Ausdehnung der Sätze 24) von zweien auf beliebig viele
Operationsglieder und Gleichungen ist leicht zu bewerkstelligen und
naheliegend.

So wird z. B. die Gleichung a + b + c = 0 das nämliche aussagen,
wie die drei Gleichungen a = 0, b = 0, c = 0 zusammen. Denn man
kann die dreigliedrige Summe a + b + c zunächst darstellen als eine
zweigliedrige: (a + b) + c. Die Anwendung des für Binome bewiesenen
Th. 24+) auf die Gleichung (a + b) + c = 0 zerfällt diese zunächst in
die beiden Gleichungen a + b = 0 nebst c = 0, und die erstere von
diesen wird durch abermalige Anwendung des Th. 24+) noch in a = 0
nebst b = 0 gespalten. Und so weiter.

Eine beliebige Menge von Gleichungen, deren eine Seite 0 (resp. 1)
ist, lässt sich demnach stets in eine einzige solche Gleichung zusammen-
ziehen und durch diese ausreichend vertreten.

§ 11. Gemischte Gesetze.
werden, dicht hinter Th. 6), wenn man will; mit Beweis 2 sogar noch
vor dem letztern.

Zusätze. Da aus den zwei letzten (den behaupteten) Gleichungen
des Satzes auch umgekehrt die erste (die vorausgesetzte) nach 18)
und 21) folgt, so kann man sagen, dass diese eine Gleichung äqui-
valent ist dem System der beiden andern, simultan als gültig hin-
gestellten. Insbesondre also sagt rechterhand die eine Gleichung
a + b = 0 genau dasselbe aus, wie die beiden Gleichungen a = 0
und b = 0 zusammen genommen; denn aus jener folgen diese beiden,
und aus diesen beiden folgt umgekehrt auch jene. Aus einem bald
näher darzulegenden Grunde besitzt dieser Satz wiederum grössere
Wichtigkeit als sein duales Gegenstück.

Wir haben auch in der Arithmetik Analoga zu dem erwähnten Satze.
So ist, wenn a und b reelle Zahlen bedeuten und i die imaginäre Einheit
vorstellt, bekanntlich die Gleichung a + i b = 0 äquivalent dem Gleichungen-
paare: a = 0, b = 0. Desgleichen können diese letzteren beiden in die
eine Gleichung a2 + b2 = 0 zusammengezogen werden, indem im reellen
Zahlengebiet auch eine Summe von Quadraten nicht anders verschwinden
kann, als indem ihre Terme (somit auch die Grundzahlen dieser Quadrate
selbst) sämtlich verschwinden. Die Geltung des Th. 24+) weist darauf
hin, dass es im identischen Kalkul nichts geben wird, was den negativen
Zahlen der Arithmetik analog wäre. Namentlich kann es hier keine Gebiete
geben, die als Summanden oder Addenden zu einmal gesetzten Gebieten
hinzugefügt, diese wieder aufhöben. Es würden solche Gebiete sich hier
auch nicht fingiren lassen, ohne dass die fundamentalen Gesetze des Kal-
kuls umgestossen werden müssten. Gleichwol verfügt auch der identische
Kalkul über die Mittel, eine Ausschliessung, Ausnahme oder Exception vor-
zunehmen, worüber die einschlägigen Betrachtungen in § 23 zu vergleichen
sein werden.

Die Ausdehnung der Sätze 24) von zweien auf beliebig viele
Operationsglieder und Gleichungen ist leicht zu bewerkstelligen und
naheliegend.

So wird z. B. die Gleichung a + b + c = 0 das nämliche aussagen,
wie die drei Gleichungen a = 0, b = 0, c = 0 zusammen. Denn man
kann die dreigliedrige Summe a + b + c zunächst darstellen als eine
zweigliedrige: (a + b) + c. Die Anwendung des für Binome bewiesenen
Th. 24+) auf die Gleichung (a + b) + c = 0 zerfällt diese zunächst in
die beiden Gleichungen a + b = 0 nebst c = 0, und die erstere von
diesen wird durch abermalige Anwendung des Th. 24+) noch in a = 0
nebst b = 0 gespalten. Und so weiter.

Eine beliebige Menge von Gleichungen, deren eine Seite 0 (resp. 1)
ist, lässt sich demnach stets in eine einzige solche Gleichung zusammen-
ziehen und durch diese ausreichend vertreten.

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[279/0299] § 11. Gemischte Gesetze. werden, dicht hinter Th. 6), wenn man will; mit Beweis 2 sogar noch vor dem letztern. Zusätze. Da aus den zwei letzten (den behaupteten) Gleichungen des Satzes auch umgekehrt die erste (die vorausgesetzte) nach 18) und 21) folgt, so kann man sagen, dass diese eine Gleichung äqui- valent ist dem System der beiden andern, simultan als gültig hin- gestellten. Insbesondre also sagt rechterhand die eine Gleichung a + b = 0 genau dasselbe aus, wie die beiden Gleichungen a = 0 und b = 0 zusammen genommen; denn aus jener folgen diese beiden, und aus diesen beiden folgt umgekehrt auch jene. Aus einem bald näher darzulegenden Grunde besitzt dieser Satz wiederum grössere Wichtigkeit als sein duales Gegenstück. Wir haben auch in der Arithmetik Analoga zu dem erwähnten Satze. So ist, wenn a und b reelle Zahlen bedeuten und i die imaginäre Einheit vorstellt, bekanntlich die Gleichung a + i b = 0 äquivalent dem Gleichungen- paare: a = 0, b = 0. Desgleichen können diese letzteren beiden in die eine Gleichung a2 + b2 = 0 zusammengezogen werden, indem im reellen Zahlengebiet auch eine Summe von Quadraten nicht anders verschwinden kann, als indem ihre Terme (somit auch die Grundzahlen dieser Quadrate selbst) sämtlich verschwinden. Die Geltung des Th. 24+) weist darauf hin, dass es im identischen Kalkul nichts geben wird, was den negativen Zahlen der Arithmetik analog wäre. Namentlich kann es hier keine Gebiete geben, die als Summanden oder Addenden zu einmal gesetzten Gebieten hinzugefügt, diese wieder aufhöben. Es würden solche Gebiete sich hier auch nicht fingiren lassen, ohne dass die fundamentalen Gesetze des Kal- kuls umgestossen werden müssten. Gleichwol verfügt auch der identische Kalkul über die Mittel, eine Ausschliessung, Ausnahme oder Exception vor- zunehmen, worüber die einschlägigen Betrachtungen in § 23 zu vergleichen sein werden. Die Ausdehnung der Sätze 24) von zweien auf beliebig viele Operationsglieder und Gleichungen ist leicht zu bewerkstelligen und naheliegend. So wird z. B. die Gleichung a + b + c = 0 das nämliche aussagen, wie die drei Gleichungen a = 0, b = 0, c = 0 zusammen. Denn man kann die dreigliedrige Summe a + b + c zunächst darstellen als eine zweigliedrige: (a + b) + c. Die Anwendung des für Binome bewiesenen Th. 24+) auf die Gleichung (a + b) + c = 0 zerfällt diese zunächst in die beiden Gleichungen a + b = 0 nebst c = 0, und die erstere von diesen wird durch abermalige Anwendung des Th. 24+) noch in a = 0 nebst b = 0 gespalten. Und so weiter. Eine beliebige Menge von Gleichungen, deren eine Seite 0 (resp. 1) ist, lässt sich demnach stets in eine einzige solche Gleichung zusammen- ziehen und durch diese ausreichend vertreten.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 279. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/299>, abgerufen am 09.05.2024.